-0,000 282 011 81 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 011 81(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 011 81(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 011 81| = 0,000 282 011 81


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 011 81.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 011 81 × 2 = 0 + 0,000 564 023 62;
  • 2) 0,000 564 023 62 × 2 = 0 + 0,001 128 047 24;
  • 3) 0,001 128 047 24 × 2 = 0 + 0,002 256 094 48;
  • 4) 0,002 256 094 48 × 2 = 0 + 0,004 512 188 96;
  • 5) 0,004 512 188 96 × 2 = 0 + 0,009 024 377 92;
  • 6) 0,009 024 377 92 × 2 = 0 + 0,018 048 755 84;
  • 7) 0,018 048 755 84 × 2 = 0 + 0,036 097 511 68;
  • 8) 0,036 097 511 68 × 2 = 0 + 0,072 195 023 36;
  • 9) 0,072 195 023 36 × 2 = 0 + 0,144 390 046 72;
  • 10) 0,144 390 046 72 × 2 = 0 + 0,288 780 093 44;
  • 11) 0,288 780 093 44 × 2 = 0 + 0,577 560 186 88;
  • 12) 0,577 560 186 88 × 2 = 1 + 0,155 120 373 76;
  • 13) 0,155 120 373 76 × 2 = 0 + 0,310 240 747 52;
  • 14) 0,310 240 747 52 × 2 = 0 + 0,620 481 495 04;
  • 15) 0,620 481 495 04 × 2 = 1 + 0,240 962 990 08;
  • 16) 0,240 962 990 08 × 2 = 0 + 0,481 925 980 16;
  • 17) 0,481 925 980 16 × 2 = 0 + 0,963 851 960 32;
  • 18) 0,963 851 960 32 × 2 = 1 + 0,927 703 920 64;
  • 19) 0,927 703 920 64 × 2 = 1 + 0,855 407 841 28;
  • 20) 0,855 407 841 28 × 2 = 1 + 0,710 815 682 56;
  • 21) 0,710 815 682 56 × 2 = 1 + 0,421 631 365 12;
  • 22) 0,421 631 365 12 × 2 = 0 + 0,843 262 730 24;
  • 23) 0,843 262 730 24 × 2 = 1 + 0,686 525 460 48;
  • 24) 0,686 525 460 48 × 2 = 1 + 0,373 050 920 96;
  • 25) 0,373 050 920 96 × 2 = 0 + 0,746 101 841 92;
  • 26) 0,746 101 841 92 × 2 = 1 + 0,492 203 683 84;
  • 27) 0,492 203 683 84 × 2 = 0 + 0,984 407 367 68;
  • 28) 0,984 407 367 68 × 2 = 1 + 0,968 814 735 36;
  • 29) 0,968 814 735 36 × 2 = 1 + 0,937 629 470 72;
  • 30) 0,937 629 470 72 × 2 = 1 + 0,875 258 941 44;
  • 31) 0,875 258 941 44 × 2 = 1 + 0,750 517 882 88;
  • 32) 0,750 517 882 88 × 2 = 1 + 0,501 035 765 76;
  • 33) 0,501 035 765 76 × 2 = 1 + 0,002 071 531 52;
  • 34) 0,002 071 531 52 × 2 = 0 + 0,004 143 063 04;
  • 35) 0,004 143 063 04 × 2 = 0 + 0,008 286 126 08;
  • 36) 0,008 286 126 08 × 2 = 0 + 0,016 572 252 16;
  • 37) 0,016 572 252 16 × 2 = 0 + 0,033 144 504 32;
  • 38) 0,033 144 504 32 × 2 = 0 + 0,066 289 008 64;
  • 39) 0,066 289 008 64 × 2 = 0 + 0,132 578 017 28;
  • 40) 0,132 578 017 28 × 2 = 0 + 0,265 156 034 56;
  • 41) 0,265 156 034 56 × 2 = 0 + 0,530 312 069 12;
  • 42) 0,530 312 069 12 × 2 = 1 + 0,060 624 138 24;
  • 43) 0,060 624 138 24 × 2 = 0 + 0,121 248 276 48;
  • 44) 0,121 248 276 48 × 2 = 0 + 0,242 496 552 96;
  • 45) 0,242 496 552 96 × 2 = 0 + 0,484 993 105 92;
  • 46) 0,484 993 105 92 × 2 = 0 + 0,969 986 211 84;
  • 47) 0,969 986 211 84 × 2 = 1 + 0,939 972 423 68;
  • 48) 0,939 972 423 68 × 2 = 1 + 0,879 944 847 36;
  • 49) 0,879 944 847 36 × 2 = 1 + 0,759 889 694 72;
  • 50) 0,759 889 694 72 × 2 = 1 + 0,519 779 389 44;
  • 51) 0,519 779 389 44 × 2 = 1 + 0,039 558 778 88;
  • 52) 0,039 558 778 88 × 2 = 0 + 0,079 117 557 76;
  • 53) 0,079 117 557 76 × 2 = 0 + 0,158 235 115 52;
  • 54) 0,158 235 115 52 × 2 = 0 + 0,316 470 231 04;
  • 55) 0,316 470 231 04 × 2 = 0 + 0,632 940 462 08;
  • 56) 0,632 940 462 08 × 2 = 1 + 0,265 880 924 16;
  • 57) 0,265 880 924 16 × 2 = 0 + 0,531 761 848 32;
  • 58) 0,531 761 848 32 × 2 = 1 + 0,063 523 696 64;
  • 59) 0,063 523 696 64 × 2 = 0 + 0,127 047 393 28;
  • 60) 0,127 047 393 28 × 2 = 0 + 0,254 094 786 56;
  • 61) 0,254 094 786 56 × 2 = 0 + 0,508 189 573 12;
  • 62) 0,508 189 573 12 × 2 = 1 + 0,016 379 146 24;
  • 63) 0,016 379 146 24 × 2 = 0 + 0,032 758 292 48;
  • 64) 0,032 758 292 48 × 2 = 0 + 0,065 516 584 96;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 011 81(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1111 1000 0000 0100 0011 1110 0001 0100 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 011 81(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1111 1000 0000 0100 0011 1110 0001 0100 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 011 81(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1111 1000 0000 0100 0011 1110 0001 0100 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0101 1111 1000 0000 0100 0011 1110 0001 0100 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0101 1111 1000 0000 0100 0011 1110 0001 0100 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0101 1111 1000 0000 0100 0011 1110 0001 0100 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0101 1111 1000 0000 0100 0011 1110 0001 0100 0100 =

0010 0111 1011 0101 1111 1000 0000 0100 0011 1110 0001 0100 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0101 1111 1000 0000 0100 0011 1110 0001 0100 0100


Numărul zecimal -0,000 282 011 81 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0101 1111 1000 0000 0100 0011 1110 0001 0100 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 012 24 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100