-0,000 282 012 24 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 012 24(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 012 24(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 012 24| = 0,000 282 012 24


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 012 24.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 012 24 × 2 = 0 + 0,000 564 024 48;
  • 2) 0,000 564 024 48 × 2 = 0 + 0,001 128 048 96;
  • 3) 0,001 128 048 96 × 2 = 0 + 0,002 256 097 92;
  • 4) 0,002 256 097 92 × 2 = 0 + 0,004 512 195 84;
  • 5) 0,004 512 195 84 × 2 = 0 + 0,009 024 391 68;
  • 6) 0,009 024 391 68 × 2 = 0 + 0,018 048 783 36;
  • 7) 0,018 048 783 36 × 2 = 0 + 0,036 097 566 72;
  • 8) 0,036 097 566 72 × 2 = 0 + 0,072 195 133 44;
  • 9) 0,072 195 133 44 × 2 = 0 + 0,144 390 266 88;
  • 10) 0,144 390 266 88 × 2 = 0 + 0,288 780 533 76;
  • 11) 0,288 780 533 76 × 2 = 0 + 0,577 561 067 52;
  • 12) 0,577 561 067 52 × 2 = 1 + 0,155 122 135 04;
  • 13) 0,155 122 135 04 × 2 = 0 + 0,310 244 270 08;
  • 14) 0,310 244 270 08 × 2 = 0 + 0,620 488 540 16;
  • 15) 0,620 488 540 16 × 2 = 1 + 0,240 977 080 32;
  • 16) 0,240 977 080 32 × 2 = 0 + 0,481 954 160 64;
  • 17) 0,481 954 160 64 × 2 = 0 + 0,963 908 321 28;
  • 18) 0,963 908 321 28 × 2 = 1 + 0,927 816 642 56;
  • 19) 0,927 816 642 56 × 2 = 1 + 0,855 633 285 12;
  • 20) 0,855 633 285 12 × 2 = 1 + 0,711 266 570 24;
  • 21) 0,711 266 570 24 × 2 = 1 + 0,422 533 140 48;
  • 22) 0,422 533 140 48 × 2 = 0 + 0,845 066 280 96;
  • 23) 0,845 066 280 96 × 2 = 1 + 0,690 132 561 92;
  • 24) 0,690 132 561 92 × 2 = 1 + 0,380 265 123 84;
  • 25) 0,380 265 123 84 × 2 = 0 + 0,760 530 247 68;
  • 26) 0,760 530 247 68 × 2 = 1 + 0,521 060 495 36;
  • 27) 0,521 060 495 36 × 2 = 1 + 0,042 120 990 72;
  • 28) 0,042 120 990 72 × 2 = 0 + 0,084 241 981 44;
  • 29) 0,084 241 981 44 × 2 = 0 + 0,168 483 962 88;
  • 30) 0,168 483 962 88 × 2 = 0 + 0,336 967 925 76;
  • 31) 0,336 967 925 76 × 2 = 0 + 0,673 935 851 52;
  • 32) 0,673 935 851 52 × 2 = 1 + 0,347 871 703 04;
  • 33) 0,347 871 703 04 × 2 = 0 + 0,695 743 406 08;
  • 34) 0,695 743 406 08 × 2 = 1 + 0,391 486 812 16;
  • 35) 0,391 486 812 16 × 2 = 0 + 0,782 973 624 32;
  • 36) 0,782 973 624 32 × 2 = 1 + 0,565 947 248 64;
  • 37) 0,565 947 248 64 × 2 = 1 + 0,131 894 497 28;
  • 38) 0,131 894 497 28 × 2 = 0 + 0,263 788 994 56;
  • 39) 0,263 788 994 56 × 2 = 0 + 0,527 577 989 12;
  • 40) 0,527 577 989 12 × 2 = 1 + 0,055 155 978 24;
  • 41) 0,055 155 978 24 × 2 = 0 + 0,110 311 956 48;
  • 42) 0,110 311 956 48 × 2 = 0 + 0,220 623 912 96;
  • 43) 0,220 623 912 96 × 2 = 0 + 0,441 247 825 92;
  • 44) 0,441 247 825 92 × 2 = 0 + 0,882 495 651 84;
  • 45) 0,882 495 651 84 × 2 = 1 + 0,764 991 303 68;
  • 46) 0,764 991 303 68 × 2 = 1 + 0,529 982 607 36;
  • 47) 0,529 982 607 36 × 2 = 1 + 0,059 965 214 72;
  • 48) 0,059 965 214 72 × 2 = 0 + 0,119 930 429 44;
  • 49) 0,119 930 429 44 × 2 = 0 + 0,239 860 858 88;
  • 50) 0,239 860 858 88 × 2 = 0 + 0,479 721 717 76;
  • 51) 0,479 721 717 76 × 2 = 0 + 0,959 443 435 52;
  • 52) 0,959 443 435 52 × 2 = 1 + 0,918 886 871 04;
  • 53) 0,918 886 871 04 × 2 = 1 + 0,837 773 742 08;
  • 54) 0,837 773 742 08 × 2 = 1 + 0,675 547 484 16;
  • 55) 0,675 547 484 16 × 2 = 1 + 0,351 094 968 32;
  • 56) 0,351 094 968 32 × 2 = 0 + 0,702 189 936 64;
  • 57) 0,702 189 936 64 × 2 = 1 + 0,404 379 873 28;
  • 58) 0,404 379 873 28 × 2 = 0 + 0,808 759 746 56;
  • 59) 0,808 759 746 56 × 2 = 1 + 0,617 519 493 12;
  • 60) 0,617 519 493 12 × 2 = 1 + 0,235 038 986 24;
  • 61) 0,235 038 986 24 × 2 = 0 + 0,470 077 972 48;
  • 62) 0,470 077 972 48 × 2 = 0 + 0,940 155 944 96;
  • 63) 0,940 155 944 96 × 2 = 1 + 0,880 311 889 92;
  • 64) 0,880 311 889 92 × 2 = 1 + 0,760 623 779 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 012 24(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0001 0101 1001 0000 1110 0001 1110 1011 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 012 24(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0001 0101 1001 0000 1110 0001 1110 1011 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 012 24(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0001 0101 1001 0000 1110 0001 1110 1011 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0110 0001 0101 1001 0000 1110 0001 1110 1011 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0110 0001 0101 1001 0000 1110 0001 1110 1011 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0110 0001 0101 1001 0000 1110 0001 1110 1011 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0110 0001 0101 1001 0000 1110 0001 1110 1011 0011 =

0010 0111 1011 0110 0001 0101 1001 0000 1110 0001 1110 1011 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0110 0001 0101 1001 0000 1110 0001 1110 1011 0011


Numărul zecimal -0,000 282 012 24 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0110 0001 0101 1001 0000 1110 0001 1110 1011 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 012 23 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100