-0,000 282 031 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 031 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 031 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 031 8| = 0,000 282 031 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 031 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 031 8 × 2 = 0 + 0,000 564 063 6;
  • 2) 0,000 564 063 6 × 2 = 0 + 0,001 128 127 2;
  • 3) 0,001 128 127 2 × 2 = 0 + 0,002 256 254 4;
  • 4) 0,002 256 254 4 × 2 = 0 + 0,004 512 508 8;
  • 5) 0,004 512 508 8 × 2 = 0 + 0,009 025 017 6;
  • 6) 0,009 025 017 6 × 2 = 0 + 0,018 050 035 2;
  • 7) 0,018 050 035 2 × 2 = 0 + 0,036 100 070 4;
  • 8) 0,036 100 070 4 × 2 = 0 + 0,072 200 140 8;
  • 9) 0,072 200 140 8 × 2 = 0 + 0,144 400 281 6;
  • 10) 0,144 400 281 6 × 2 = 0 + 0,288 800 563 2;
  • 11) 0,288 800 563 2 × 2 = 0 + 0,577 601 126 4;
  • 12) 0,577 601 126 4 × 2 = 1 + 0,155 202 252 8;
  • 13) 0,155 202 252 8 × 2 = 0 + 0,310 404 505 6;
  • 14) 0,310 404 505 6 × 2 = 0 + 0,620 809 011 2;
  • 15) 0,620 809 011 2 × 2 = 1 + 0,241 618 022 4;
  • 16) 0,241 618 022 4 × 2 = 0 + 0,483 236 044 8;
  • 17) 0,483 236 044 8 × 2 = 0 + 0,966 472 089 6;
  • 18) 0,966 472 089 6 × 2 = 1 + 0,932 944 179 2;
  • 19) 0,932 944 179 2 × 2 = 1 + 0,865 888 358 4;
  • 20) 0,865 888 358 4 × 2 = 1 + 0,731 776 716 8;
  • 21) 0,731 776 716 8 × 2 = 1 + 0,463 553 433 6;
  • 22) 0,463 553 433 6 × 2 = 0 + 0,927 106 867 2;
  • 23) 0,927 106 867 2 × 2 = 1 + 0,854 213 734 4;
  • 24) 0,854 213 734 4 × 2 = 1 + 0,708 427 468 8;
  • 25) 0,708 427 468 8 × 2 = 1 + 0,416 854 937 6;
  • 26) 0,416 854 937 6 × 2 = 0 + 0,833 709 875 2;
  • 27) 0,833 709 875 2 × 2 = 1 + 0,667 419 750 4;
  • 28) 0,667 419 750 4 × 2 = 1 + 0,334 839 500 8;
  • 29) 0,334 839 500 8 × 2 = 0 + 0,669 679 001 6;
  • 30) 0,669 679 001 6 × 2 = 1 + 0,339 358 003 2;
  • 31) 0,339 358 003 2 × 2 = 0 + 0,678 716 006 4;
  • 32) 0,678 716 006 4 × 2 = 1 + 0,357 432 012 8;
  • 33) 0,357 432 012 8 × 2 = 0 + 0,714 864 025 6;
  • 34) 0,714 864 025 6 × 2 = 1 + 0,429 728 051 2;
  • 35) 0,429 728 051 2 × 2 = 0 + 0,859 456 102 4;
  • 36) 0,859 456 102 4 × 2 = 1 + 0,718 912 204 8;
  • 37) 0,718 912 204 8 × 2 = 1 + 0,437 824 409 6;
  • 38) 0,437 824 409 6 × 2 = 0 + 0,875 648 819 2;
  • 39) 0,875 648 819 2 × 2 = 1 + 0,751 297 638 4;
  • 40) 0,751 297 638 4 × 2 = 1 + 0,502 595 276 8;
  • 41) 0,502 595 276 8 × 2 = 1 + 0,005 190 553 6;
  • 42) 0,005 190 553 6 × 2 = 0 + 0,010 381 107 2;
  • 43) 0,010 381 107 2 × 2 = 0 + 0,020 762 214 4;
  • 44) 0,020 762 214 4 × 2 = 0 + 0,041 524 428 8;
  • 45) 0,041 524 428 8 × 2 = 0 + 0,083 048 857 6;
  • 46) 0,083 048 857 6 × 2 = 0 + 0,166 097 715 2;
  • 47) 0,166 097 715 2 × 2 = 0 + 0,332 195 430 4;
  • 48) 0,332 195 430 4 × 2 = 0 + 0,664 390 860 8;
  • 49) 0,664 390 860 8 × 2 = 1 + 0,328 781 721 6;
  • 50) 0,328 781 721 6 × 2 = 0 + 0,657 563 443 2;
  • 51) 0,657 563 443 2 × 2 = 1 + 0,315 126 886 4;
  • 52) 0,315 126 886 4 × 2 = 0 + 0,630 253 772 8;
  • 53) 0,630 253 772 8 × 2 = 1 + 0,260 507 545 6;
  • 54) 0,260 507 545 6 × 2 = 0 + 0,521 015 091 2;
  • 55) 0,521 015 091 2 × 2 = 1 + 0,042 030 182 4;
  • 56) 0,042 030 182 4 × 2 = 0 + 0,084 060 364 8;
  • 57) 0,084 060 364 8 × 2 = 0 + 0,168 120 729 6;
  • 58) 0,168 120 729 6 × 2 = 0 + 0,336 241 459 2;
  • 59) 0,336 241 459 2 × 2 = 0 + 0,672 482 918 4;
  • 60) 0,672 482 918 4 × 2 = 1 + 0,344 965 836 8;
  • 61) 0,344 965 836 8 × 2 = 0 + 0,689 931 673 6;
  • 62) 0,689 931 673 6 × 2 = 1 + 0,379 863 347 2;
  • 63) 0,379 863 347 2 × 2 = 0 + 0,759 726 694 4;
  • 64) 0,759 726 694 4 × 2 = 1 + 0,519 453 388 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 031 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1011 0101 0101 1011 1000 0000 1010 1010 0001 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 031 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1011 0101 0101 1011 1000 0000 1010 1010 0001 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 031 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1011 0101 0101 1011 1000 0000 1010 1010 0001 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1011 0101 0101 1011 1000 0000 1010 1010 0001 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 1011 0101 0101 1011 1000 0000 1010 1010 0001 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 1011 0101 0101 1011 1000 0000 1010 1010 0001 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 1011 0101 0101 1011 1000 0000 1010 1010 0001 0101 =

0010 0111 1011 1011 0101 0101 1011 1000 0000 1010 1010 0001 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 1011 0101 0101 1011 1000 0000 1010 1010 0001 0101


Numărul zecimal -0,000 282 031 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 1011 0101 0101 1011 1000 0000 1010 1010 0001 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 040 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100