-0,000 282 043 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 043 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 043 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 043 6| = 0,000 282 043 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 043 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 043 6 × 2 = 0 + 0,000 564 087 2;
  • 2) 0,000 564 087 2 × 2 = 0 + 0,001 128 174 4;
  • 3) 0,001 128 174 4 × 2 = 0 + 0,002 256 348 8;
  • 4) 0,002 256 348 8 × 2 = 0 + 0,004 512 697 6;
  • 5) 0,004 512 697 6 × 2 = 0 + 0,009 025 395 2;
  • 6) 0,009 025 395 2 × 2 = 0 + 0,018 050 790 4;
  • 7) 0,018 050 790 4 × 2 = 0 + 0,036 101 580 8;
  • 8) 0,036 101 580 8 × 2 = 0 + 0,072 203 161 6;
  • 9) 0,072 203 161 6 × 2 = 0 + 0,144 406 323 2;
  • 10) 0,144 406 323 2 × 2 = 0 + 0,288 812 646 4;
  • 11) 0,288 812 646 4 × 2 = 0 + 0,577 625 292 8;
  • 12) 0,577 625 292 8 × 2 = 1 + 0,155 250 585 6;
  • 13) 0,155 250 585 6 × 2 = 0 + 0,310 501 171 2;
  • 14) 0,310 501 171 2 × 2 = 0 + 0,621 002 342 4;
  • 15) 0,621 002 342 4 × 2 = 1 + 0,242 004 684 8;
  • 16) 0,242 004 684 8 × 2 = 0 + 0,484 009 369 6;
  • 17) 0,484 009 369 6 × 2 = 0 + 0,968 018 739 2;
  • 18) 0,968 018 739 2 × 2 = 1 + 0,936 037 478 4;
  • 19) 0,936 037 478 4 × 2 = 1 + 0,872 074 956 8;
  • 20) 0,872 074 956 8 × 2 = 1 + 0,744 149 913 6;
  • 21) 0,744 149 913 6 × 2 = 1 + 0,488 299 827 2;
  • 22) 0,488 299 827 2 × 2 = 0 + 0,976 599 654 4;
  • 23) 0,976 599 654 4 × 2 = 1 + 0,953 199 308 8;
  • 24) 0,953 199 308 8 × 2 = 1 + 0,906 398 617 6;
  • 25) 0,906 398 617 6 × 2 = 1 + 0,812 797 235 2;
  • 26) 0,812 797 235 2 × 2 = 1 + 0,625 594 470 4;
  • 27) 0,625 594 470 4 × 2 = 1 + 0,251 188 940 8;
  • 28) 0,251 188 940 8 × 2 = 0 + 0,502 377 881 6;
  • 29) 0,502 377 881 6 × 2 = 1 + 0,004 755 763 2;
  • 30) 0,004 755 763 2 × 2 = 0 + 0,009 511 526 4;
  • 31) 0,009 511 526 4 × 2 = 0 + 0,019 023 052 8;
  • 32) 0,019 023 052 8 × 2 = 0 + 0,038 046 105 6;
  • 33) 0,038 046 105 6 × 2 = 0 + 0,076 092 211 2;
  • 34) 0,076 092 211 2 × 2 = 0 + 0,152 184 422 4;
  • 35) 0,152 184 422 4 × 2 = 0 + 0,304 368 844 8;
  • 36) 0,304 368 844 8 × 2 = 0 + 0,608 737 689 6;
  • 37) 0,608 737 689 6 × 2 = 1 + 0,217 475 379 2;
  • 38) 0,217 475 379 2 × 2 = 0 + 0,434 950 758 4;
  • 39) 0,434 950 758 4 × 2 = 0 + 0,869 901 516 8;
  • 40) 0,869 901 516 8 × 2 = 1 + 0,739 803 033 6;
  • 41) 0,739 803 033 6 × 2 = 1 + 0,479 606 067 2;
  • 42) 0,479 606 067 2 × 2 = 0 + 0,959 212 134 4;
  • 43) 0,959 212 134 4 × 2 = 1 + 0,918 424 268 8;
  • 44) 0,918 424 268 8 × 2 = 1 + 0,836 848 537 6;
  • 45) 0,836 848 537 6 × 2 = 1 + 0,673 697 075 2;
  • 46) 0,673 697 075 2 × 2 = 1 + 0,347 394 150 4;
  • 47) 0,347 394 150 4 × 2 = 0 + 0,694 788 300 8;
  • 48) 0,694 788 300 8 × 2 = 1 + 0,389 576 601 6;
  • 49) 0,389 576 601 6 × 2 = 0 + 0,779 153 203 2;
  • 50) 0,779 153 203 2 × 2 = 1 + 0,558 306 406 4;
  • 51) 0,558 306 406 4 × 2 = 1 + 0,116 612 812 8;
  • 52) 0,116 612 812 8 × 2 = 0 + 0,233 225 625 6;
  • 53) 0,233 225 625 6 × 2 = 0 + 0,466 451 251 2;
  • 54) 0,466 451 251 2 × 2 = 0 + 0,932 902 502 4;
  • 55) 0,932 902 502 4 × 2 = 1 + 0,865 805 004 8;
  • 56) 0,865 805 004 8 × 2 = 1 + 0,731 610 009 6;
  • 57) 0,731 610 009 6 × 2 = 1 + 0,463 220 019 2;
  • 58) 0,463 220 019 2 × 2 = 0 + 0,926 440 038 4;
  • 59) 0,926 440 038 4 × 2 = 1 + 0,852 880 076 8;
  • 60) 0,852 880 076 8 × 2 = 1 + 0,705 760 153 6;
  • 61) 0,705 760 153 6 × 2 = 1 + 0,411 520 307 2;
  • 62) 0,411 520 307 2 × 2 = 0 + 0,823 040 614 4;
  • 63) 0,823 040 614 4 × 2 = 1 + 0,646 081 228 8;
  • 64) 0,646 081 228 8 × 2 = 1 + 0,292 162 457 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 043 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1110 1000 0000 1001 1011 1101 0110 0011 1011 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 043 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1110 1000 0000 1001 1011 1101 0110 0011 1011 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 043 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1110 1000 0000 1001 1011 1101 0110 0011 1011 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 1110 1000 0000 1001 1011 1101 0110 0011 1011 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 1110 1000 0000 1001 1011 1101 0110 0011 1011 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 1110 1000 0000 1001 1011 1101 0110 0011 1011 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 1110 1000 0000 1001 1011 1101 0110 0011 1011 1011 =

0010 0111 1011 1110 1000 0000 1001 1011 1101 0110 0011 1011 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 1110 1000 0000 1001 1011 1101 0110 0011 1011 1011


Numărul zecimal -0,000 282 043 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 1110 1000 0000 1001 1011 1101 0110 0011 1011 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 050 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100