-0,000 323 037 664 11 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 323 037 664 11(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 323 037 664 11(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 323 037 664 11| = 0,000 323 037 664 11


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 323 037 664 11.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 323 037 664 11 × 2 = 0 + 0,000 646 075 328 22;
  • 2) 0,000 646 075 328 22 × 2 = 0 + 0,001 292 150 656 44;
  • 3) 0,001 292 150 656 44 × 2 = 0 + 0,002 584 301 312 88;
  • 4) 0,002 584 301 312 88 × 2 = 0 + 0,005 168 602 625 76;
  • 5) 0,005 168 602 625 76 × 2 = 0 + 0,010 337 205 251 52;
  • 6) 0,010 337 205 251 52 × 2 = 0 + 0,020 674 410 503 04;
  • 7) 0,020 674 410 503 04 × 2 = 0 + 0,041 348 821 006 08;
  • 8) 0,041 348 821 006 08 × 2 = 0 + 0,082 697 642 012 16;
  • 9) 0,082 697 642 012 16 × 2 = 0 + 0,165 395 284 024 32;
  • 10) 0,165 395 284 024 32 × 2 = 0 + 0,330 790 568 048 64;
  • 11) 0,330 790 568 048 64 × 2 = 0 + 0,661 581 136 097 28;
  • 12) 0,661 581 136 097 28 × 2 = 1 + 0,323 162 272 194 56;
  • 13) 0,323 162 272 194 56 × 2 = 0 + 0,646 324 544 389 12;
  • 14) 0,646 324 544 389 12 × 2 = 1 + 0,292 649 088 778 24;
  • 15) 0,292 649 088 778 24 × 2 = 0 + 0,585 298 177 556 48;
  • 16) 0,585 298 177 556 48 × 2 = 1 + 0,170 596 355 112 96;
  • 17) 0,170 596 355 112 96 × 2 = 0 + 0,341 192 710 225 92;
  • 18) 0,341 192 710 225 92 × 2 = 0 + 0,682 385 420 451 84;
  • 19) 0,682 385 420 451 84 × 2 = 1 + 0,364 770 840 903 68;
  • 20) 0,364 770 840 903 68 × 2 = 0 + 0,729 541 681 807 36;
  • 21) 0,729 541 681 807 36 × 2 = 1 + 0,459 083 363 614 72;
  • 22) 0,459 083 363 614 72 × 2 = 0 + 0,918 166 727 229 44;
  • 23) 0,918 166 727 229 44 × 2 = 1 + 0,836 333 454 458 88;
  • 24) 0,836 333 454 458 88 × 2 = 1 + 0,672 666 908 917 76;
  • 25) 0,672 666 908 917 76 × 2 = 1 + 0,345 333 817 835 52;
  • 26) 0,345 333 817 835 52 × 2 = 0 + 0,690 667 635 671 04;
  • 27) 0,690 667 635 671 04 × 2 = 1 + 0,381 335 271 342 08;
  • 28) 0,381 335 271 342 08 × 2 = 0 + 0,762 670 542 684 16;
  • 29) 0,762 670 542 684 16 × 2 = 1 + 0,525 341 085 368 32;
  • 30) 0,525 341 085 368 32 × 2 = 1 + 0,050 682 170 736 64;
  • 31) 0,050 682 170 736 64 × 2 = 0 + 0,101 364 341 473 28;
  • 32) 0,101 364 341 473 28 × 2 = 0 + 0,202 728 682 946 56;
  • 33) 0,202 728 682 946 56 × 2 = 0 + 0,405 457 365 893 12;
  • 34) 0,405 457 365 893 12 × 2 = 0 + 0,810 914 731 786 24;
  • 35) 0,810 914 731 786 24 × 2 = 1 + 0,621 829 463 572 48;
  • 36) 0,621 829 463 572 48 × 2 = 1 + 0,243 658 927 144 96;
  • 37) 0,243 658 927 144 96 × 2 = 0 + 0,487 317 854 289 92;
  • 38) 0,487 317 854 289 92 × 2 = 0 + 0,974 635 708 579 84;
  • 39) 0,974 635 708 579 84 × 2 = 1 + 0,949 271 417 159 68;
  • 40) 0,949 271 417 159 68 × 2 = 1 + 0,898 542 834 319 36;
  • 41) 0,898 542 834 319 36 × 2 = 1 + 0,797 085 668 638 72;
  • 42) 0,797 085 668 638 72 × 2 = 1 + 0,594 171 337 277 44;
  • 43) 0,594 171 337 277 44 × 2 = 1 + 0,188 342 674 554 88;
  • 44) 0,188 342 674 554 88 × 2 = 0 + 0,376 685 349 109 76;
  • 45) 0,376 685 349 109 76 × 2 = 0 + 0,753 370 698 219 52;
  • 46) 0,753 370 698 219 52 × 2 = 1 + 0,506 741 396 439 04;
  • 47) 0,506 741 396 439 04 × 2 = 1 + 0,013 482 792 878 08;
  • 48) 0,013 482 792 878 08 × 2 = 0 + 0,026 965 585 756 16;
  • 49) 0,026 965 585 756 16 × 2 = 0 + 0,053 931 171 512 32;
  • 50) 0,053 931 171 512 32 × 2 = 0 + 0,107 862 343 024 64;
  • 51) 0,107 862 343 024 64 × 2 = 0 + 0,215 724 686 049 28;
  • 52) 0,215 724 686 049 28 × 2 = 0 + 0,431 449 372 098 56;
  • 53) 0,431 449 372 098 56 × 2 = 0 + 0,862 898 744 197 12;
  • 54) 0,862 898 744 197 12 × 2 = 1 + 0,725 797 488 394 24;
  • 55) 0,725 797 488 394 24 × 2 = 1 + 0,451 594 976 788 48;
  • 56) 0,451 594 976 788 48 × 2 = 0 + 0,903 189 953 576 96;
  • 57) 0,903 189 953 576 96 × 2 = 1 + 0,806 379 907 153 92;
  • 58) 0,806 379 907 153 92 × 2 = 1 + 0,612 759 814 307 84;
  • 59) 0,612 759 814 307 84 × 2 = 1 + 0,225 519 628 615 68;
  • 60) 0,225 519 628 615 68 × 2 = 0 + 0,451 039 257 231 36;
  • 61) 0,451 039 257 231 36 × 2 = 0 + 0,902 078 514 462 72;
  • 62) 0,902 078 514 462 72 × 2 = 1 + 0,804 157 028 925 44;
  • 63) 0,804 157 028 925 44 × 2 = 1 + 0,608 314 057 850 88;
  • 64) 0,608 314 057 850 88 × 2 = 1 + 0,216 628 115 701 76;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 323 037 664 11(10) =

0,0000 0000 0001 0101 0010 1011 1010 1100 0011 0011 1110 0110 0000 0110 1110 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 323 037 664 11(10) =

0,0000 0000 0001 0101 0010 1011 1010 1100 0011 0011 1110 0110 0000 0110 1110 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 323 037 664 11(10) =

0,0000 0000 0001 0101 0010 1011 1010 1100 0011 0011 1110 0110 0000 0110 1110 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0101 0010 1011 1010 1100 0011 0011 1110 0110 0000 0110 1110 0111(2) × 20 =

1,0101 0010 1011 1010 1100 0011 0011 1110 0110 0000 0110 1110 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 0010 1011 1010 1100 0011 0011 1110 0110 0000 0110 1110 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 0010 1011 1010 1100 0011 0011 1110 0110 0000 0110 1110 0111 =

0101 0010 1011 1010 1100 0011 0011 1110 0110 0000 0110 1110 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0101 0010 1011 1010 1100 0011 0011 1110 0110 0000 0110 1110 0111


Numărul zecimal -0,000 323 037 664 11 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0101 0010 1011 1010 1100 0011 0011 1110 0110 0000 0110 1110 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 323 037 664 89 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100