-0,000 375 658 488 91 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 375 658 488 91(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 375 658 488 91(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 375 658 488 91| = 0,000 375 658 488 91


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 375 658 488 91.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 375 658 488 91 × 2 = 0 + 0,000 751 316 977 82;
  • 2) 0,000 751 316 977 82 × 2 = 0 + 0,001 502 633 955 64;
  • 3) 0,001 502 633 955 64 × 2 = 0 + 0,003 005 267 911 28;
  • 4) 0,003 005 267 911 28 × 2 = 0 + 0,006 010 535 822 56;
  • 5) 0,006 010 535 822 56 × 2 = 0 + 0,012 021 071 645 12;
  • 6) 0,012 021 071 645 12 × 2 = 0 + 0,024 042 143 290 24;
  • 7) 0,024 042 143 290 24 × 2 = 0 + 0,048 084 286 580 48;
  • 8) 0,048 084 286 580 48 × 2 = 0 + 0,096 168 573 160 96;
  • 9) 0,096 168 573 160 96 × 2 = 0 + 0,192 337 146 321 92;
  • 10) 0,192 337 146 321 92 × 2 = 0 + 0,384 674 292 643 84;
  • 11) 0,384 674 292 643 84 × 2 = 0 + 0,769 348 585 287 68;
  • 12) 0,769 348 585 287 68 × 2 = 1 + 0,538 697 170 575 36;
  • 13) 0,538 697 170 575 36 × 2 = 1 + 0,077 394 341 150 72;
  • 14) 0,077 394 341 150 72 × 2 = 0 + 0,154 788 682 301 44;
  • 15) 0,154 788 682 301 44 × 2 = 0 + 0,309 577 364 602 88;
  • 16) 0,309 577 364 602 88 × 2 = 0 + 0,619 154 729 205 76;
  • 17) 0,619 154 729 205 76 × 2 = 1 + 0,238 309 458 411 52;
  • 18) 0,238 309 458 411 52 × 2 = 0 + 0,476 618 916 823 04;
  • 19) 0,476 618 916 823 04 × 2 = 0 + 0,953 237 833 646 08;
  • 20) 0,953 237 833 646 08 × 2 = 1 + 0,906 475 667 292 16;
  • 21) 0,906 475 667 292 16 × 2 = 1 + 0,812 951 334 584 32;
  • 22) 0,812 951 334 584 32 × 2 = 1 + 0,625 902 669 168 64;
  • 23) 0,625 902 669 168 64 × 2 = 1 + 0,251 805 338 337 28;
  • 24) 0,251 805 338 337 28 × 2 = 0 + 0,503 610 676 674 56;
  • 25) 0,503 610 676 674 56 × 2 = 1 + 0,007 221 353 349 12;
  • 26) 0,007 221 353 349 12 × 2 = 0 + 0,014 442 706 698 24;
  • 27) 0,014 442 706 698 24 × 2 = 0 + 0,028 885 413 396 48;
  • 28) 0,028 885 413 396 48 × 2 = 0 + 0,057 770 826 792 96;
  • 29) 0,057 770 826 792 96 × 2 = 0 + 0,115 541 653 585 92;
  • 30) 0,115 541 653 585 92 × 2 = 0 + 0,231 083 307 171 84;
  • 31) 0,231 083 307 171 84 × 2 = 0 + 0,462 166 614 343 68;
  • 32) 0,462 166 614 343 68 × 2 = 0 + 0,924 333 228 687 36;
  • 33) 0,924 333 228 687 36 × 2 = 1 + 0,848 666 457 374 72;
  • 34) 0,848 666 457 374 72 × 2 = 1 + 0,697 332 914 749 44;
  • 35) 0,697 332 914 749 44 × 2 = 1 + 0,394 665 829 498 88;
  • 36) 0,394 665 829 498 88 × 2 = 0 + 0,789 331 658 997 76;
  • 37) 0,789 331 658 997 76 × 2 = 1 + 0,578 663 317 995 52;
  • 38) 0,578 663 317 995 52 × 2 = 1 + 0,157 326 635 991 04;
  • 39) 0,157 326 635 991 04 × 2 = 0 + 0,314 653 271 982 08;
  • 40) 0,314 653 271 982 08 × 2 = 0 + 0,629 306 543 964 16;
  • 41) 0,629 306 543 964 16 × 2 = 1 + 0,258 613 087 928 32;
  • 42) 0,258 613 087 928 32 × 2 = 0 + 0,517 226 175 856 64;
  • 43) 0,517 226 175 856 64 × 2 = 1 + 0,034 452 351 713 28;
  • 44) 0,034 452 351 713 28 × 2 = 0 + 0,068 904 703 426 56;
  • 45) 0,068 904 703 426 56 × 2 = 0 + 0,137 809 406 853 12;
  • 46) 0,137 809 406 853 12 × 2 = 0 + 0,275 618 813 706 24;
  • 47) 0,275 618 813 706 24 × 2 = 0 + 0,551 237 627 412 48;
  • 48) 0,551 237 627 412 48 × 2 = 1 + 0,102 475 254 824 96;
  • 49) 0,102 475 254 824 96 × 2 = 0 + 0,204 950 509 649 92;
  • 50) 0,204 950 509 649 92 × 2 = 0 + 0,409 901 019 299 84;
  • 51) 0,409 901 019 299 84 × 2 = 0 + 0,819 802 038 599 68;
  • 52) 0,819 802 038 599 68 × 2 = 1 + 0,639 604 077 199 36;
  • 53) 0,639 604 077 199 36 × 2 = 1 + 0,279 208 154 398 72;
  • 54) 0,279 208 154 398 72 × 2 = 0 + 0,558 416 308 797 44;
  • 55) 0,558 416 308 797 44 × 2 = 1 + 0,116 832 617 594 88;
  • 56) 0,116 832 617 594 88 × 2 = 0 + 0,233 665 235 189 76;
  • 57) 0,233 665 235 189 76 × 2 = 0 + 0,467 330 470 379 52;
  • 58) 0,467 330 470 379 52 × 2 = 0 + 0,934 660 940 759 04;
  • 59) 0,934 660 940 759 04 × 2 = 1 + 0,869 321 881 518 08;
  • 60) 0,869 321 881 518 08 × 2 = 1 + 0,738 643 763 036 16;
  • 61) 0,738 643 763 036 16 × 2 = 1 + 0,477 287 526 072 32;
  • 62) 0,477 287 526 072 32 × 2 = 0 + 0,954 575 052 144 64;
  • 63) 0,954 575 052 144 64 × 2 = 1 + 0,909 150 104 289 28;
  • 64) 0,909 150 104 289 28 × 2 = 1 + 0,818 300 208 578 56;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 375 658 488 91(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1010 0001 0001 1010 0011 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 375 658 488 91(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1010 0001 0001 1010 0011 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 375 658 488 91(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1010 0001 0001 1010 0011 1011(2) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1010 0001 0001 1010 0011 1011(2) × 20 =

1,1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1010 0001 0001 1010 0011 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1010 0001 0001 1010 0011 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1010 0001 0001 1010 0011 1011 =

1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1010 0001 0001 1010 0011 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1010 0001 0001 1010 0011 1011


Numărul zecimal -0,000 375 658 488 91 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1010 0001 0001 1010 0011 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 375 658 488 61 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100