-0,000 375 658 488 97 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 375 658 488 97(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 375 658 488 97(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 375 658 488 97| = 0,000 375 658 488 97


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 375 658 488 97.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 375 658 488 97 × 2 = 0 + 0,000 751 316 977 94;
  • 2) 0,000 751 316 977 94 × 2 = 0 + 0,001 502 633 955 88;
  • 3) 0,001 502 633 955 88 × 2 = 0 + 0,003 005 267 911 76;
  • 4) 0,003 005 267 911 76 × 2 = 0 + 0,006 010 535 823 52;
  • 5) 0,006 010 535 823 52 × 2 = 0 + 0,012 021 071 647 04;
  • 6) 0,012 021 071 647 04 × 2 = 0 + 0,024 042 143 294 08;
  • 7) 0,024 042 143 294 08 × 2 = 0 + 0,048 084 286 588 16;
  • 8) 0,048 084 286 588 16 × 2 = 0 + 0,096 168 573 176 32;
  • 9) 0,096 168 573 176 32 × 2 = 0 + 0,192 337 146 352 64;
  • 10) 0,192 337 146 352 64 × 2 = 0 + 0,384 674 292 705 28;
  • 11) 0,384 674 292 705 28 × 2 = 0 + 0,769 348 585 410 56;
  • 12) 0,769 348 585 410 56 × 2 = 1 + 0,538 697 170 821 12;
  • 13) 0,538 697 170 821 12 × 2 = 1 + 0,077 394 341 642 24;
  • 14) 0,077 394 341 642 24 × 2 = 0 + 0,154 788 683 284 48;
  • 15) 0,154 788 683 284 48 × 2 = 0 + 0,309 577 366 568 96;
  • 16) 0,309 577 366 568 96 × 2 = 0 + 0,619 154 733 137 92;
  • 17) 0,619 154 733 137 92 × 2 = 1 + 0,238 309 466 275 84;
  • 18) 0,238 309 466 275 84 × 2 = 0 + 0,476 618 932 551 68;
  • 19) 0,476 618 932 551 68 × 2 = 0 + 0,953 237 865 103 36;
  • 20) 0,953 237 865 103 36 × 2 = 1 + 0,906 475 730 206 72;
  • 21) 0,906 475 730 206 72 × 2 = 1 + 0,812 951 460 413 44;
  • 22) 0,812 951 460 413 44 × 2 = 1 + 0,625 902 920 826 88;
  • 23) 0,625 902 920 826 88 × 2 = 1 + 0,251 805 841 653 76;
  • 24) 0,251 805 841 653 76 × 2 = 0 + 0,503 611 683 307 52;
  • 25) 0,503 611 683 307 52 × 2 = 1 + 0,007 223 366 615 04;
  • 26) 0,007 223 366 615 04 × 2 = 0 + 0,014 446 733 230 08;
  • 27) 0,014 446 733 230 08 × 2 = 0 + 0,028 893 466 460 16;
  • 28) 0,028 893 466 460 16 × 2 = 0 + 0,057 786 932 920 32;
  • 29) 0,057 786 932 920 32 × 2 = 0 + 0,115 573 865 840 64;
  • 30) 0,115 573 865 840 64 × 2 = 0 + 0,231 147 731 681 28;
  • 31) 0,231 147 731 681 28 × 2 = 0 + 0,462 295 463 362 56;
  • 32) 0,462 295 463 362 56 × 2 = 0 + 0,924 590 926 725 12;
  • 33) 0,924 590 926 725 12 × 2 = 1 + 0,849 181 853 450 24;
  • 34) 0,849 181 853 450 24 × 2 = 1 + 0,698 363 706 900 48;
  • 35) 0,698 363 706 900 48 × 2 = 1 + 0,396 727 413 800 96;
  • 36) 0,396 727 413 800 96 × 2 = 0 + 0,793 454 827 601 92;
  • 37) 0,793 454 827 601 92 × 2 = 1 + 0,586 909 655 203 84;
  • 38) 0,586 909 655 203 84 × 2 = 1 + 0,173 819 310 407 68;
  • 39) 0,173 819 310 407 68 × 2 = 0 + 0,347 638 620 815 36;
  • 40) 0,347 638 620 815 36 × 2 = 0 + 0,695 277 241 630 72;
  • 41) 0,695 277 241 630 72 × 2 = 1 + 0,390 554 483 261 44;
  • 42) 0,390 554 483 261 44 × 2 = 0 + 0,781 108 966 522 88;
  • 43) 0,781 108 966 522 88 × 2 = 1 + 0,562 217 933 045 76;
  • 44) 0,562 217 933 045 76 × 2 = 1 + 0,124 435 866 091 52;
  • 45) 0,124 435 866 091 52 × 2 = 0 + 0,248 871 732 183 04;
  • 46) 0,248 871 732 183 04 × 2 = 0 + 0,497 743 464 366 08;
  • 47) 0,497 743 464 366 08 × 2 = 0 + 0,995 486 928 732 16;
  • 48) 0,995 486 928 732 16 × 2 = 1 + 0,990 973 857 464 32;
  • 49) 0,990 973 857 464 32 × 2 = 1 + 0,981 947 714 928 64;
  • 50) 0,981 947 714 928 64 × 2 = 1 + 0,963 895 429 857 28;
  • 51) 0,963 895 429 857 28 × 2 = 1 + 0,927 790 859 714 56;
  • 52) 0,927 790 859 714 56 × 2 = 1 + 0,855 581 719 429 12;
  • 53) 0,855 581 719 429 12 × 2 = 1 + 0,711 163 438 858 24;
  • 54) 0,711 163 438 858 24 × 2 = 1 + 0,422 326 877 716 48;
  • 55) 0,422 326 877 716 48 × 2 = 0 + 0,844 653 755 432 96;
  • 56) 0,844 653 755 432 96 × 2 = 1 + 0,689 307 510 865 92;
  • 57) 0,689 307 510 865 92 × 2 = 1 + 0,378 615 021 731 84;
  • 58) 0,378 615 021 731 84 × 2 = 0 + 0,757 230 043 463 68;
  • 59) 0,757 230 043 463 68 × 2 = 1 + 0,514 460 086 927 36;
  • 60) 0,514 460 086 927 36 × 2 = 1 + 0,028 920 173 854 72;
  • 61) 0,028 920 173 854 72 × 2 = 0 + 0,057 840 347 709 44;
  • 62) 0,057 840 347 709 44 × 2 = 0 + 0,115 680 695 418 88;
  • 63) 0,115 680 695 418 88 × 2 = 0 + 0,231 361 390 837 76;
  • 64) 0,231 361 390 837 76 × 2 = 0 + 0,462 722 781 675 52;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 375 658 488 97(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1011 0001 1111 1101 1011 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 375 658 488 97(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1011 0001 1111 1101 1011 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 375 658 488 97(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1011 0001 1111 1101 1011 0000(2) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1011 0001 1111 1101 1011 0000(2) × 20 =

1,1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1011 0001 1111 1101 1011 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1011 0001 1111 1101 1011 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1011 0001 1111 1101 1011 0000 =

1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1011 0001 1111 1101 1011 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1011 0001 1111 1101 1011 0000


Numărul zecimal -0,000 375 658 488 97 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1100 1011 0001 1111 1101 1011 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 375 658 489 61 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100