-0,000 375 658 489 56 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 375 658 489 56(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 375 658 489 56(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 375 658 489 56| = 0,000 375 658 489 56


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 375 658 489 56.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 375 658 489 56 × 2 = 0 + 0,000 751 316 979 12;
  • 2) 0,000 751 316 979 12 × 2 = 0 + 0,001 502 633 958 24;
  • 3) 0,001 502 633 958 24 × 2 = 0 + 0,003 005 267 916 48;
  • 4) 0,003 005 267 916 48 × 2 = 0 + 0,006 010 535 832 96;
  • 5) 0,006 010 535 832 96 × 2 = 0 + 0,012 021 071 665 92;
  • 6) 0,012 021 071 665 92 × 2 = 0 + 0,024 042 143 331 84;
  • 7) 0,024 042 143 331 84 × 2 = 0 + 0,048 084 286 663 68;
  • 8) 0,048 084 286 663 68 × 2 = 0 + 0,096 168 573 327 36;
  • 9) 0,096 168 573 327 36 × 2 = 0 + 0,192 337 146 654 72;
  • 10) 0,192 337 146 654 72 × 2 = 0 + 0,384 674 293 309 44;
  • 11) 0,384 674 293 309 44 × 2 = 0 + 0,769 348 586 618 88;
  • 12) 0,769 348 586 618 88 × 2 = 1 + 0,538 697 173 237 76;
  • 13) 0,538 697 173 237 76 × 2 = 1 + 0,077 394 346 475 52;
  • 14) 0,077 394 346 475 52 × 2 = 0 + 0,154 788 692 951 04;
  • 15) 0,154 788 692 951 04 × 2 = 0 + 0,309 577 385 902 08;
  • 16) 0,309 577 385 902 08 × 2 = 0 + 0,619 154 771 804 16;
  • 17) 0,619 154 771 804 16 × 2 = 1 + 0,238 309 543 608 32;
  • 18) 0,238 309 543 608 32 × 2 = 0 + 0,476 619 087 216 64;
  • 19) 0,476 619 087 216 64 × 2 = 0 + 0,953 238 174 433 28;
  • 20) 0,953 238 174 433 28 × 2 = 1 + 0,906 476 348 866 56;
  • 21) 0,906 476 348 866 56 × 2 = 1 + 0,812 952 697 733 12;
  • 22) 0,812 952 697 733 12 × 2 = 1 + 0,625 905 395 466 24;
  • 23) 0,625 905 395 466 24 × 2 = 1 + 0,251 810 790 932 48;
  • 24) 0,251 810 790 932 48 × 2 = 0 + 0,503 621 581 864 96;
  • 25) 0,503 621 581 864 96 × 2 = 1 + 0,007 243 163 729 92;
  • 26) 0,007 243 163 729 92 × 2 = 0 + 0,014 486 327 459 84;
  • 27) 0,014 486 327 459 84 × 2 = 0 + 0,028 972 654 919 68;
  • 28) 0,028 972 654 919 68 × 2 = 0 + 0,057 945 309 839 36;
  • 29) 0,057 945 309 839 36 × 2 = 0 + 0,115 890 619 678 72;
  • 30) 0,115 890 619 678 72 × 2 = 0 + 0,231 781 239 357 44;
  • 31) 0,231 781 239 357 44 × 2 = 0 + 0,463 562 478 714 88;
  • 32) 0,463 562 478 714 88 × 2 = 0 + 0,927 124 957 429 76;
  • 33) 0,927 124 957 429 76 × 2 = 1 + 0,854 249 914 859 52;
  • 34) 0,854 249 914 859 52 × 2 = 1 + 0,708 499 829 719 04;
  • 35) 0,708 499 829 719 04 × 2 = 1 + 0,416 999 659 438 08;
  • 36) 0,416 999 659 438 08 × 2 = 0 + 0,833 999 318 876 16;
  • 37) 0,833 999 318 876 16 × 2 = 1 + 0,667 998 637 752 32;
  • 38) 0,667 998 637 752 32 × 2 = 1 + 0,335 997 275 504 64;
  • 39) 0,335 997 275 504 64 × 2 = 0 + 0,671 994 551 009 28;
  • 40) 0,671 994 551 009 28 × 2 = 1 + 0,343 989 102 018 56;
  • 41) 0,343 989 102 018 56 × 2 = 0 + 0,687 978 204 037 12;
  • 42) 0,687 978 204 037 12 × 2 = 1 + 0,375 956 408 074 24;
  • 43) 0,375 956 408 074 24 × 2 = 0 + 0,751 912 816 148 48;
  • 44) 0,751 912 816 148 48 × 2 = 1 + 0,503 825 632 296 96;
  • 45) 0,503 825 632 296 96 × 2 = 1 + 0,007 651 264 593 92;
  • 46) 0,007 651 264 593 92 × 2 = 0 + 0,015 302 529 187 84;
  • 47) 0,015 302 529 187 84 × 2 = 0 + 0,030 605 058 375 68;
  • 48) 0,030 605 058 375 68 × 2 = 0 + 0,061 210 116 751 36;
  • 49) 0,061 210 116 751 36 × 2 = 0 + 0,122 420 233 502 72;
  • 50) 0,122 420 233 502 72 × 2 = 0 + 0,244 840 467 005 44;
  • 51) 0,244 840 467 005 44 × 2 = 0 + 0,489 680 934 010 88;
  • 52) 0,489 680 934 010 88 × 2 = 0 + 0,979 361 868 021 76;
  • 53) 0,979 361 868 021 76 × 2 = 1 + 0,958 723 736 043 52;
  • 54) 0,958 723 736 043 52 × 2 = 1 + 0,917 447 472 087 04;
  • 55) 0,917 447 472 087 04 × 2 = 1 + 0,834 894 944 174 08;
  • 56) 0,834 894 944 174 08 × 2 = 1 + 0,669 789 888 348 16;
  • 57) 0,669 789 888 348 16 × 2 = 1 + 0,339 579 776 696 32;
  • 58) 0,339 579 776 696 32 × 2 = 0 + 0,679 159 553 392 64;
  • 59) 0,679 159 553 392 64 × 2 = 1 + 0,358 319 106 785 28;
  • 60) 0,358 319 106 785 28 × 2 = 0 + 0,716 638 213 570 56;
  • 61) 0,716 638 213 570 56 × 2 = 1 + 0,433 276 427 141 12;
  • 62) 0,433 276 427 141 12 × 2 = 0 + 0,866 552 854 282 24;
  • 63) 0,866 552 854 282 24 × 2 = 1 + 0,733 105 708 564 48;
  • 64) 0,733 105 708 564 48 × 2 = 1 + 0,466 211 417 128 96;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 375 658 489 56(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0101 1000 0000 1111 1010 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 375 658 489 56(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0101 1000 0000 1111 1010 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 375 658 489 56(10) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0101 1000 0000 1111 1010 1011(2) =

0,0000 0000 0001 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0101 1000 0000 1111 1010 1011(2) × 20 =

1,1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0101 1000 0000 1111 1010 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0101 1000 0000 1111 1010 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0101 1000 0000 1111 1010 1011 =

1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0101 1000 0000 1111 1010 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0101 1000 0000 1111 1010 1011


Numărul zecimal -0,000 375 658 489 56 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 1000 1001 1110 1000 0000 1110 1101 0101 1000 0000 1111 1010 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 375 658 488 91 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100