-0,000 792 035 636 42 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 792 035 636 42(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 792 035 636 42(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 792 035 636 42| = 0,000 792 035 636 42


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 792 035 636 42.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 792 035 636 42 × 2 = 0 + 0,001 584 071 272 84;
  • 2) 0,001 584 071 272 84 × 2 = 0 + 0,003 168 142 545 68;
  • 3) 0,003 168 142 545 68 × 2 = 0 + 0,006 336 285 091 36;
  • 4) 0,006 336 285 091 36 × 2 = 0 + 0,012 672 570 182 72;
  • 5) 0,012 672 570 182 72 × 2 = 0 + 0,025 345 140 365 44;
  • 6) 0,025 345 140 365 44 × 2 = 0 + 0,050 690 280 730 88;
  • 7) 0,050 690 280 730 88 × 2 = 0 + 0,101 380 561 461 76;
  • 8) 0,101 380 561 461 76 × 2 = 0 + 0,202 761 122 923 52;
  • 9) 0,202 761 122 923 52 × 2 = 0 + 0,405 522 245 847 04;
  • 10) 0,405 522 245 847 04 × 2 = 0 + 0,811 044 491 694 08;
  • 11) 0,811 044 491 694 08 × 2 = 1 + 0,622 088 983 388 16;
  • 12) 0,622 088 983 388 16 × 2 = 1 + 0,244 177 966 776 32;
  • 13) 0,244 177 966 776 32 × 2 = 0 + 0,488 355 933 552 64;
  • 14) 0,488 355 933 552 64 × 2 = 0 + 0,976 711 867 105 28;
  • 15) 0,976 711 867 105 28 × 2 = 1 + 0,953 423 734 210 56;
  • 16) 0,953 423 734 210 56 × 2 = 1 + 0,906 847 468 421 12;
  • 17) 0,906 847 468 421 12 × 2 = 1 + 0,813 694 936 842 24;
  • 18) 0,813 694 936 842 24 × 2 = 1 + 0,627 389 873 684 48;
  • 19) 0,627 389 873 684 48 × 2 = 1 + 0,254 779 747 368 96;
  • 20) 0,254 779 747 368 96 × 2 = 0 + 0,509 559 494 737 92;
  • 21) 0,509 559 494 737 92 × 2 = 1 + 0,019 118 989 475 84;
  • 22) 0,019 118 989 475 84 × 2 = 0 + 0,038 237 978 951 68;
  • 23) 0,038 237 978 951 68 × 2 = 0 + 0,076 475 957 903 36;
  • 24) 0,076 475 957 903 36 × 2 = 0 + 0,152 951 915 806 72;
  • 25) 0,152 951 915 806 72 × 2 = 0 + 0,305 903 831 613 44;
  • 26) 0,305 903 831 613 44 × 2 = 0 + 0,611 807 663 226 88;
  • 27) 0,611 807 663 226 88 × 2 = 1 + 0,223 615 326 453 76;
  • 28) 0,223 615 326 453 76 × 2 = 0 + 0,447 230 652 907 52;
  • 29) 0,447 230 652 907 52 × 2 = 0 + 0,894 461 305 815 04;
  • 30) 0,894 461 305 815 04 × 2 = 1 + 0,788 922 611 630 08;
  • 31) 0,788 922 611 630 08 × 2 = 1 + 0,577 845 223 260 16;
  • 32) 0,577 845 223 260 16 × 2 = 1 + 0,155 690 446 520 32;
  • 33) 0,155 690 446 520 32 × 2 = 0 + 0,311 380 893 040 64;
  • 34) 0,311 380 893 040 64 × 2 = 0 + 0,622 761 786 081 28;
  • 35) 0,622 761 786 081 28 × 2 = 1 + 0,245 523 572 162 56;
  • 36) 0,245 523 572 162 56 × 2 = 0 + 0,491 047 144 325 12;
  • 37) 0,491 047 144 325 12 × 2 = 0 + 0,982 094 288 650 24;
  • 38) 0,982 094 288 650 24 × 2 = 1 + 0,964 188 577 300 48;
  • 39) 0,964 188 577 300 48 × 2 = 1 + 0,928 377 154 600 96;
  • 40) 0,928 377 154 600 96 × 2 = 1 + 0,856 754 309 201 92;
  • 41) 0,856 754 309 201 92 × 2 = 1 + 0,713 508 618 403 84;
  • 42) 0,713 508 618 403 84 × 2 = 1 + 0,427 017 236 807 68;
  • 43) 0,427 017 236 807 68 × 2 = 0 + 0,854 034 473 615 36;
  • 44) 0,854 034 473 615 36 × 2 = 1 + 0,708 068 947 230 72;
  • 45) 0,708 068 947 230 72 × 2 = 1 + 0,416 137 894 461 44;
  • 46) 0,416 137 894 461 44 × 2 = 0 + 0,832 275 788 922 88;
  • 47) 0,832 275 788 922 88 × 2 = 1 + 0,664 551 577 845 76;
  • 48) 0,664 551 577 845 76 × 2 = 1 + 0,329 103 155 691 52;
  • 49) 0,329 103 155 691 52 × 2 = 0 + 0,658 206 311 383 04;
  • 50) 0,658 206 311 383 04 × 2 = 1 + 0,316 412 622 766 08;
  • 51) 0,316 412 622 766 08 × 2 = 0 + 0,632 825 245 532 16;
  • 52) 0,632 825 245 532 16 × 2 = 1 + 0,265 650 491 064 32;
  • 53) 0,265 650 491 064 32 × 2 = 0 + 0,531 300 982 128 64;
  • 54) 0,531 300 982 128 64 × 2 = 1 + 0,062 601 964 257 28;
  • 55) 0,062 601 964 257 28 × 2 = 0 + 0,125 203 928 514 56;
  • 56) 0,125 203 928 514 56 × 2 = 0 + 0,250 407 857 029 12;
  • 57) 0,250 407 857 029 12 × 2 = 0 + 0,500 815 714 058 24;
  • 58) 0,500 815 714 058 24 × 2 = 1 + 0,001 631 428 116 48;
  • 59) 0,001 631 428 116 48 × 2 = 0 + 0,003 262 856 232 96;
  • 60) 0,003 262 856 232 96 × 2 = 0 + 0,006 525 712 465 92;
  • 61) 0,006 525 712 465 92 × 2 = 0 + 0,013 051 424 931 84;
  • 62) 0,013 051 424 931 84 × 2 = 0 + 0,026 102 849 863 68;
  • 63) 0,026 102 849 863 68 × 2 = 0 + 0,052 205 699 727 36;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 792 035 636 42(10) =

0,0000 0000 0011 0011 1110 1000 0010 0111 0010 0111 1101 1011 0101 0100 0100 000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 792 035 636 42(10) =

0,0000 0000 0011 0011 1110 1000 0010 0111 0010 0111 1101 1011 0101 0100 0100 000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 11 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 792 035 636 42(10) =

0,0000 0000 0011 0011 1110 1000 0010 0111 0010 0111 1101 1011 0101 0100 0100 000(2) =

0,0000 0000 0011 0011 1110 1000 0010 0111 0010 0111 1101 1011 0101 0100 0100 000(2) × 20 =

1,1001 1111 0100 0001 0011 1001 0011 1110 1101 1010 1010 0010 0000(2) × 2-11


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -11

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1111 0100 0001 0011 1001 0011 1110 1101 1010 1010 0010 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-11 + 2(11-1) - 1 =

(-11 + 1 023)(10) =

1 012(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 012 : 2 = 506 + 0;
  • 506 : 2 = 253 + 0;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1012(10) =

011 1111 0100(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 1111 0100 0001 0011 1001 0011 1110 1101 1010 1010 0010 0000 =

1001 1111 0100 0001 0011 1001 0011 1110 1101 1010 1010 0010 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0100

Mantisă (52 biți) =
1001 1111 0100 0001 0011 1001 0011 1110 1101 1010 1010 0010 0000


Numărul zecimal -0,000 792 035 636 42 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0100 - 1001 1111 0100 0001 0011 1001 0011 1110 1101 1010 1010 0010 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 792 035 636 06 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100