-0,001 139 111 62 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,001 139 111 62(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,001 139 111 62(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,001 139 111 62| = 0,001 139 111 62


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,001 139 111 62.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,001 139 111 62 × 2 = 0 + 0,002 278 223 24;
  • 2) 0,002 278 223 24 × 2 = 0 + 0,004 556 446 48;
  • 3) 0,004 556 446 48 × 2 = 0 + 0,009 112 892 96;
  • 4) 0,009 112 892 96 × 2 = 0 + 0,018 225 785 92;
  • 5) 0,018 225 785 92 × 2 = 0 + 0,036 451 571 84;
  • 6) 0,036 451 571 84 × 2 = 0 + 0,072 903 143 68;
  • 7) 0,072 903 143 68 × 2 = 0 + 0,145 806 287 36;
  • 8) 0,145 806 287 36 × 2 = 0 + 0,291 612 574 72;
  • 9) 0,291 612 574 72 × 2 = 0 + 0,583 225 149 44;
  • 10) 0,583 225 149 44 × 2 = 1 + 0,166 450 298 88;
  • 11) 0,166 450 298 88 × 2 = 0 + 0,332 900 597 76;
  • 12) 0,332 900 597 76 × 2 = 0 + 0,665 801 195 52;
  • 13) 0,665 801 195 52 × 2 = 1 + 0,331 602 391 04;
  • 14) 0,331 602 391 04 × 2 = 0 + 0,663 204 782 08;
  • 15) 0,663 204 782 08 × 2 = 1 + 0,326 409 564 16;
  • 16) 0,326 409 564 16 × 2 = 0 + 0,652 819 128 32;
  • 17) 0,652 819 128 32 × 2 = 1 + 0,305 638 256 64;
  • 18) 0,305 638 256 64 × 2 = 0 + 0,611 276 513 28;
  • 19) 0,611 276 513 28 × 2 = 1 + 0,222 553 026 56;
  • 20) 0,222 553 026 56 × 2 = 0 + 0,445 106 053 12;
  • 21) 0,445 106 053 12 × 2 = 0 + 0,890 212 106 24;
  • 22) 0,890 212 106 24 × 2 = 1 + 0,780 424 212 48;
  • 23) 0,780 424 212 48 × 2 = 1 + 0,560 848 424 96;
  • 24) 0,560 848 424 96 × 2 = 1 + 0,121 696 849 92;
  • 25) 0,121 696 849 92 × 2 = 0 + 0,243 393 699 84;
  • 26) 0,243 393 699 84 × 2 = 0 + 0,486 787 399 68;
  • 27) 0,486 787 399 68 × 2 = 0 + 0,973 574 799 36;
  • 28) 0,973 574 799 36 × 2 = 1 + 0,947 149 598 72;
  • 29) 0,947 149 598 72 × 2 = 1 + 0,894 299 197 44;
  • 30) 0,894 299 197 44 × 2 = 1 + 0,788 598 394 88;
  • 31) 0,788 598 394 88 × 2 = 1 + 0,577 196 789 76;
  • 32) 0,577 196 789 76 × 2 = 1 + 0,154 393 579 52;
  • 33) 0,154 393 579 52 × 2 = 0 + 0,308 787 159 04;
  • 34) 0,308 787 159 04 × 2 = 0 + 0,617 574 318 08;
  • 35) 0,617 574 318 08 × 2 = 1 + 0,235 148 636 16;
  • 36) 0,235 148 636 16 × 2 = 0 + 0,470 297 272 32;
  • 37) 0,470 297 272 32 × 2 = 0 + 0,940 594 544 64;
  • 38) 0,940 594 544 64 × 2 = 1 + 0,881 189 089 28;
  • 39) 0,881 189 089 28 × 2 = 1 + 0,762 378 178 56;
  • 40) 0,762 378 178 56 × 2 = 1 + 0,524 756 357 12;
  • 41) 0,524 756 357 12 × 2 = 1 + 0,049 512 714 24;
  • 42) 0,049 512 714 24 × 2 = 0 + 0,099 025 428 48;
  • 43) 0,099 025 428 48 × 2 = 0 + 0,198 050 856 96;
  • 44) 0,198 050 856 96 × 2 = 0 + 0,396 101 713 92;
  • 45) 0,396 101 713 92 × 2 = 0 + 0,792 203 427 84;
  • 46) 0,792 203 427 84 × 2 = 1 + 0,584 406 855 68;
  • 47) 0,584 406 855 68 × 2 = 1 + 0,168 813 711 36;
  • 48) 0,168 813 711 36 × 2 = 0 + 0,337 627 422 72;
  • 49) 0,337 627 422 72 × 2 = 0 + 0,675 254 845 44;
  • 50) 0,675 254 845 44 × 2 = 1 + 0,350 509 690 88;
  • 51) 0,350 509 690 88 × 2 = 0 + 0,701 019 381 76;
  • 52) 0,701 019 381 76 × 2 = 1 + 0,402 038 763 52;
  • 53) 0,402 038 763 52 × 2 = 0 + 0,804 077 527 04;
  • 54) 0,804 077 527 04 × 2 = 1 + 0,608 155 054 08;
  • 55) 0,608 155 054 08 × 2 = 1 + 0,216 310 108 16;
  • 56) 0,216 310 108 16 × 2 = 0 + 0,432 620 216 32;
  • 57) 0,432 620 216 32 × 2 = 0 + 0,865 240 432 64;
  • 58) 0,865 240 432 64 × 2 = 1 + 0,730 480 865 28;
  • 59) 0,730 480 865 28 × 2 = 1 + 0,460 961 730 56;
  • 60) 0,460 961 730 56 × 2 = 0 + 0,921 923 461 12;
  • 61) 0,921 923 461 12 × 2 = 1 + 0,843 846 922 24;
  • 62) 0,843 846 922 24 × 2 = 1 + 0,687 693 844 48;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,001 139 111 62(10) =

0,0000 0000 0100 1010 1010 0111 0001 1111 0010 0111 1000 0110 0101 0110 0110 11(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,001 139 111 62(10) =

0,0000 0000 0100 1010 1010 0111 0001 1111 0010 0111 1000 0110 0101 0110 0110 11(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 10 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,001 139 111 62(10) =

0,0000 0000 0100 1010 1010 0111 0001 1111 0010 0111 1000 0110 0101 0110 0110 11(2) =

0,0000 0000 0100 1010 1010 0111 0001 1111 0010 0111 1000 0110 0101 0110 0110 11(2) × 20 =

1,0010 1010 1001 1100 0111 1100 1001 1110 0001 1001 0101 1001 1011(2) × 2-10


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -10

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1010 1001 1100 0111 1100 1001 1110 0001 1001 0101 1001 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-10 + 2(11-1) - 1 =

(-10 + 1 023)(10) =

1 013(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 013 : 2 = 506 + 1;
  • 506 : 2 = 253 + 0;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1013(10) =

011 1111 0101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1010 1001 1100 0111 1100 1001 1110 0001 1001 0101 1001 1011 =

0010 1010 1001 1100 0111 1100 1001 1110 0001 1001 0101 1001 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0101

Mantisă (52 biți) =
0010 1010 1001 1100 0111 1100 1001 1110 0001 1001 0101 1001 1011


Numărul zecimal -0,001 139 111 62 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0101 - 0010 1010 1001 1100 0111 1100 1001 1110 0001 1001 0101 1001 1011

Distribuie

» Scriere -0,001 139 111 08 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100