-0,008 788 423 612 703 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,008 788 423 612 703 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,008 788 423 612 703 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,008 788 423 612 703 1| = 0,008 788 423 612 703 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,008 788 423 612 703 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,008 788 423 612 703 1 × 2 = 0 + 0,017 576 847 225 406 2;
  • 2) 0,017 576 847 225 406 2 × 2 = 0 + 0,035 153 694 450 812 4;
  • 3) 0,035 153 694 450 812 4 × 2 = 0 + 0,070 307 388 901 624 8;
  • 4) 0,070 307 388 901 624 8 × 2 = 0 + 0,140 614 777 803 249 6;
  • 5) 0,140 614 777 803 249 6 × 2 = 0 + 0,281 229 555 606 499 2;
  • 6) 0,281 229 555 606 499 2 × 2 = 0 + 0,562 459 111 212 998 4;
  • 7) 0,562 459 111 212 998 4 × 2 = 1 + 0,124 918 222 425 996 8;
  • 8) 0,124 918 222 425 996 8 × 2 = 0 + 0,249 836 444 851 993 6;
  • 9) 0,249 836 444 851 993 6 × 2 = 0 + 0,499 672 889 703 987 2;
  • 10) 0,499 672 889 703 987 2 × 2 = 0 + 0,999 345 779 407 974 4;
  • 11) 0,999 345 779 407 974 4 × 2 = 1 + 0,998 691 558 815 948 8;
  • 12) 0,998 691 558 815 948 8 × 2 = 1 + 0,997 383 117 631 897 6;
  • 13) 0,997 383 117 631 897 6 × 2 = 1 + 0,994 766 235 263 795 2;
  • 14) 0,994 766 235 263 795 2 × 2 = 1 + 0,989 532 470 527 590 4;
  • 15) 0,989 532 470 527 590 4 × 2 = 1 + 0,979 064 941 055 180 8;
  • 16) 0,979 064 941 055 180 8 × 2 = 1 + 0,958 129 882 110 361 6;
  • 17) 0,958 129 882 110 361 6 × 2 = 1 + 0,916 259 764 220 723 2;
  • 18) 0,916 259 764 220 723 2 × 2 = 1 + 0,832 519 528 441 446 4;
  • 19) 0,832 519 528 441 446 4 × 2 = 1 + 0,665 039 056 882 892 8;
  • 20) 0,665 039 056 882 892 8 × 2 = 1 + 0,330 078 113 765 785 6;
  • 21) 0,330 078 113 765 785 6 × 2 = 0 + 0,660 156 227 531 571 2;
  • 22) 0,660 156 227 531 571 2 × 2 = 1 + 0,320 312 455 063 142 4;
  • 23) 0,320 312 455 063 142 4 × 2 = 0 + 0,640 624 910 126 284 8;
  • 24) 0,640 624 910 126 284 8 × 2 = 1 + 0,281 249 820 252 569 6;
  • 25) 0,281 249 820 252 569 6 × 2 = 0 + 0,562 499 640 505 139 2;
  • 26) 0,562 499 640 505 139 2 × 2 = 1 + 0,124 999 281 010 278 4;
  • 27) 0,124 999 281 010 278 4 × 2 = 0 + 0,249 998 562 020 556 8;
  • 28) 0,249 998 562 020 556 8 × 2 = 0 + 0,499 997 124 041 113 6;
  • 29) 0,499 997 124 041 113 6 × 2 = 0 + 0,999 994 248 082 227 2;
  • 30) 0,999 994 248 082 227 2 × 2 = 1 + 0,999 988 496 164 454 4;
  • 31) 0,999 988 496 164 454 4 × 2 = 1 + 0,999 976 992 328 908 8;
  • 32) 0,999 976 992 328 908 8 × 2 = 1 + 0,999 953 984 657 817 6;
  • 33) 0,999 953 984 657 817 6 × 2 = 1 + 0,999 907 969 315 635 2;
  • 34) 0,999 907 969 315 635 2 × 2 = 1 + 0,999 815 938 631 270 4;
  • 35) 0,999 815 938 631 270 4 × 2 = 1 + 0,999 631 877 262 540 8;
  • 36) 0,999 631 877 262 540 8 × 2 = 1 + 0,999 263 754 525 081 6;
  • 37) 0,999 263 754 525 081 6 × 2 = 1 + 0,998 527 509 050 163 2;
  • 38) 0,998 527 509 050 163 2 × 2 = 1 + 0,997 055 018 100 326 4;
  • 39) 0,997 055 018 100 326 4 × 2 = 1 + 0,994 110 036 200 652 8;
  • 40) 0,994 110 036 200 652 8 × 2 = 1 + 0,988 220 072 401 305 6;
  • 41) 0,988 220 072 401 305 6 × 2 = 1 + 0,976 440 144 802 611 2;
  • 42) 0,976 440 144 802 611 2 × 2 = 1 + 0,952 880 289 605 222 4;
  • 43) 0,952 880 289 605 222 4 × 2 = 1 + 0,905 760 579 210 444 8;
  • 44) 0,905 760 579 210 444 8 × 2 = 1 + 0,811 521 158 420 889 6;
  • 45) 0,811 521 158 420 889 6 × 2 = 1 + 0,623 042 316 841 779 2;
  • 46) 0,623 042 316 841 779 2 × 2 = 1 + 0,246 084 633 683 558 4;
  • 47) 0,246 084 633 683 558 4 × 2 = 0 + 0,492 169 267 367 116 8;
  • 48) 0,492 169 267 367 116 8 × 2 = 0 + 0,984 338 534 734 233 6;
  • 49) 0,984 338 534 734 233 6 × 2 = 1 + 0,968 677 069 468 467 2;
  • 50) 0,968 677 069 468 467 2 × 2 = 1 + 0,937 354 138 936 934 4;
  • 51) 0,937 354 138 936 934 4 × 2 = 1 + 0,874 708 277 873 868 8;
  • 52) 0,874 708 277 873 868 8 × 2 = 1 + 0,749 416 555 747 737 6;
  • 53) 0,749 416 555 747 737 6 × 2 = 1 + 0,498 833 111 495 475 2;
  • 54) 0,498 833 111 495 475 2 × 2 = 0 + 0,997 666 222 990 950 4;
  • 55) 0,997 666 222 990 950 4 × 2 = 1 + 0,995 332 445 981 900 8;
  • 56) 0,995 332 445 981 900 8 × 2 = 1 + 0,990 664 891 963 801 6;
  • 57) 0,990 664 891 963 801 6 × 2 = 1 + 0,981 329 783 927 603 2;
  • 58) 0,981 329 783 927 603 2 × 2 = 1 + 0,962 659 567 855 206 4;
  • 59) 0,962 659 567 855 206 4 × 2 = 1 + 0,925 319 135 710 412 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,008 788 423 612 703 1(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1100 1111 1011 111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,008 788 423 612 703 1(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1100 1111 1011 111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,008 788 423 612 703 1(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1100 1111 1011 111(2) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1100 1111 1011 111(2) × 20 =

1,0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1110 0111 1101 1111(2) × 2-7


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -7

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1110 0111 1101 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-7 + 2(11-1) - 1 =

(-7 + 1 023)(10) =

1 016(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 016 : 2 = 508 + 0;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1016(10) =

011 1111 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1110 0111 1101 1111 =

0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1110 0111 1101 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1000

Mantisă (52 biți) =
0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1110 0111 1101 1111


Numărul zecimal -0,008 788 423 612 703 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1000 - 0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1110 0111 1101 1111

Distribuie

» Scriere -0,008 788 423 612 711 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100