-0,008 788 423 612 711 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,008 788 423 612 711 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,008 788 423 612 711 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,008 788 423 612 711 4| = 0,008 788 423 612 711 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,008 788 423 612 711 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,008 788 423 612 711 4 × 2 = 0 + 0,017 576 847 225 422 8;
  • 2) 0,017 576 847 225 422 8 × 2 = 0 + 0,035 153 694 450 845 6;
  • 3) 0,035 153 694 450 845 6 × 2 = 0 + 0,070 307 388 901 691 2;
  • 4) 0,070 307 388 901 691 2 × 2 = 0 + 0,140 614 777 803 382 4;
  • 5) 0,140 614 777 803 382 4 × 2 = 0 + 0,281 229 555 606 764 8;
  • 6) 0,281 229 555 606 764 8 × 2 = 0 + 0,562 459 111 213 529 6;
  • 7) 0,562 459 111 213 529 6 × 2 = 1 + 0,124 918 222 427 059 2;
  • 8) 0,124 918 222 427 059 2 × 2 = 0 + 0,249 836 444 854 118 4;
  • 9) 0,249 836 444 854 118 4 × 2 = 0 + 0,499 672 889 708 236 8;
  • 10) 0,499 672 889 708 236 8 × 2 = 0 + 0,999 345 779 416 473 6;
  • 11) 0,999 345 779 416 473 6 × 2 = 1 + 0,998 691 558 832 947 2;
  • 12) 0,998 691 558 832 947 2 × 2 = 1 + 0,997 383 117 665 894 4;
  • 13) 0,997 383 117 665 894 4 × 2 = 1 + 0,994 766 235 331 788 8;
  • 14) 0,994 766 235 331 788 8 × 2 = 1 + 0,989 532 470 663 577 6;
  • 15) 0,989 532 470 663 577 6 × 2 = 1 + 0,979 064 941 327 155 2;
  • 16) 0,979 064 941 327 155 2 × 2 = 1 + 0,958 129 882 654 310 4;
  • 17) 0,958 129 882 654 310 4 × 2 = 1 + 0,916 259 765 308 620 8;
  • 18) 0,916 259 765 308 620 8 × 2 = 1 + 0,832 519 530 617 241 6;
  • 19) 0,832 519 530 617 241 6 × 2 = 1 + 0,665 039 061 234 483 2;
  • 20) 0,665 039 061 234 483 2 × 2 = 1 + 0,330 078 122 468 966 4;
  • 21) 0,330 078 122 468 966 4 × 2 = 0 + 0,660 156 244 937 932 8;
  • 22) 0,660 156 244 937 932 8 × 2 = 1 + 0,320 312 489 875 865 6;
  • 23) 0,320 312 489 875 865 6 × 2 = 0 + 0,640 624 979 751 731 2;
  • 24) 0,640 624 979 751 731 2 × 2 = 1 + 0,281 249 959 503 462 4;
  • 25) 0,281 249 959 503 462 4 × 2 = 0 + 0,562 499 919 006 924 8;
  • 26) 0,562 499 919 006 924 8 × 2 = 1 + 0,124 999 838 013 849 6;
  • 27) 0,124 999 838 013 849 6 × 2 = 0 + 0,249 999 676 027 699 2;
  • 28) 0,249 999 676 027 699 2 × 2 = 0 + 0,499 999 352 055 398 4;
  • 29) 0,499 999 352 055 398 4 × 2 = 0 + 0,999 998 704 110 796 8;
  • 30) 0,999 998 704 110 796 8 × 2 = 1 + 0,999 997 408 221 593 6;
  • 31) 0,999 997 408 221 593 6 × 2 = 1 + 0,999 994 816 443 187 2;
  • 32) 0,999 994 816 443 187 2 × 2 = 1 + 0,999 989 632 886 374 4;
  • 33) 0,999 989 632 886 374 4 × 2 = 1 + 0,999 979 265 772 748 8;
  • 34) 0,999 979 265 772 748 8 × 2 = 1 + 0,999 958 531 545 497 6;
  • 35) 0,999 958 531 545 497 6 × 2 = 1 + 0,999 917 063 090 995 2;
  • 36) 0,999 917 063 090 995 2 × 2 = 1 + 0,999 834 126 181 990 4;
  • 37) 0,999 834 126 181 990 4 × 2 = 1 + 0,999 668 252 363 980 8;
  • 38) 0,999 668 252 363 980 8 × 2 = 1 + 0,999 336 504 727 961 6;
  • 39) 0,999 336 504 727 961 6 × 2 = 1 + 0,998 673 009 455 923 2;
  • 40) 0,998 673 009 455 923 2 × 2 = 1 + 0,997 346 018 911 846 4;
  • 41) 0,997 346 018 911 846 4 × 2 = 1 + 0,994 692 037 823 692 8;
  • 42) 0,994 692 037 823 692 8 × 2 = 1 + 0,989 384 075 647 385 6;
  • 43) 0,989 384 075 647 385 6 × 2 = 1 + 0,978 768 151 294 771 2;
  • 44) 0,978 768 151 294 771 2 × 2 = 1 + 0,957 536 302 589 542 4;
  • 45) 0,957 536 302 589 542 4 × 2 = 1 + 0,915 072 605 179 084 8;
  • 46) 0,915 072 605 179 084 8 × 2 = 1 + 0,830 145 210 358 169 6;
  • 47) 0,830 145 210 358 169 6 × 2 = 1 + 0,660 290 420 716 339 2;
  • 48) 0,660 290 420 716 339 2 × 2 = 1 + 0,320 580 841 432 678 4;
  • 49) 0,320 580 841 432 678 4 × 2 = 0 + 0,641 161 682 865 356 8;
  • 50) 0,641 161 682 865 356 8 × 2 = 1 + 0,282 323 365 730 713 6;
  • 51) 0,282 323 365 730 713 6 × 2 = 0 + 0,564 646 731 461 427 2;
  • 52) 0,564 646 731 461 427 2 × 2 = 1 + 0,129 293 462 922 854 4;
  • 53) 0,129 293 462 922 854 4 × 2 = 0 + 0,258 586 925 845 708 8;
  • 54) 0,258 586 925 845 708 8 × 2 = 0 + 0,517 173 851 691 417 6;
  • 55) 0,517 173 851 691 417 6 × 2 = 1 + 0,034 347 703 382 835 2;
  • 56) 0,034 347 703 382 835 2 × 2 = 0 + 0,068 695 406 765 670 4;
  • 57) 0,068 695 406 765 670 4 × 2 = 0 + 0,137 390 813 531 340 8;
  • 58) 0,137 390 813 531 340 8 × 2 = 0 + 0,274 781 627 062 681 6;
  • 59) 0,274 781 627 062 681 6 × 2 = 0 + 0,549 563 254 125 363 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,008 788 423 612 711 4(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1111 0101 0010 000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,008 788 423 612 711 4(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1111 0101 0010 000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,008 788 423 612 711 4(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1111 0101 0010 000(2) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1111 0101 0010 000(2) × 20 =

1,0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 1010 1001 0000(2) × 2-7


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -7

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 1010 1001 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-7 + 2(11-1) - 1 =

(-7 + 1 023)(10) =

1 016(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 016 : 2 = 508 + 0;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1016(10) =

011 1111 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 1010 1001 0000 =

0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 1010 1001 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1000

Mantisă (52 biți) =
0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 1010 1001 0000


Numărul zecimal -0,008 788 423 612 711 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1000 - 0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 1010 1001 0000

Distribuie

» Scriere -0,008 788 423 612 708 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100