-0,008 788 423 612 708 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,008 788 423 612 708 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,008 788 423 612 708 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,008 788 423 612 708 2| = 0,008 788 423 612 708 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,008 788 423 612 708 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,008 788 423 612 708 2 × 2 = 0 + 0,017 576 847 225 416 4;
  • 2) 0,017 576 847 225 416 4 × 2 = 0 + 0,035 153 694 450 832 8;
  • 3) 0,035 153 694 450 832 8 × 2 = 0 + 0,070 307 388 901 665 6;
  • 4) 0,070 307 388 901 665 6 × 2 = 0 + 0,140 614 777 803 331 2;
  • 5) 0,140 614 777 803 331 2 × 2 = 0 + 0,281 229 555 606 662 4;
  • 6) 0,281 229 555 606 662 4 × 2 = 0 + 0,562 459 111 213 324 8;
  • 7) 0,562 459 111 213 324 8 × 2 = 1 + 0,124 918 222 426 649 6;
  • 8) 0,124 918 222 426 649 6 × 2 = 0 + 0,249 836 444 853 299 2;
  • 9) 0,249 836 444 853 299 2 × 2 = 0 + 0,499 672 889 706 598 4;
  • 10) 0,499 672 889 706 598 4 × 2 = 0 + 0,999 345 779 413 196 8;
  • 11) 0,999 345 779 413 196 8 × 2 = 1 + 0,998 691 558 826 393 6;
  • 12) 0,998 691 558 826 393 6 × 2 = 1 + 0,997 383 117 652 787 2;
  • 13) 0,997 383 117 652 787 2 × 2 = 1 + 0,994 766 235 305 574 4;
  • 14) 0,994 766 235 305 574 4 × 2 = 1 + 0,989 532 470 611 148 8;
  • 15) 0,989 532 470 611 148 8 × 2 = 1 + 0,979 064 941 222 297 6;
  • 16) 0,979 064 941 222 297 6 × 2 = 1 + 0,958 129 882 444 595 2;
  • 17) 0,958 129 882 444 595 2 × 2 = 1 + 0,916 259 764 889 190 4;
  • 18) 0,916 259 764 889 190 4 × 2 = 1 + 0,832 519 529 778 380 8;
  • 19) 0,832 519 529 778 380 8 × 2 = 1 + 0,665 039 059 556 761 6;
  • 20) 0,665 039 059 556 761 6 × 2 = 1 + 0,330 078 119 113 523 2;
  • 21) 0,330 078 119 113 523 2 × 2 = 0 + 0,660 156 238 227 046 4;
  • 22) 0,660 156 238 227 046 4 × 2 = 1 + 0,320 312 476 454 092 8;
  • 23) 0,320 312 476 454 092 8 × 2 = 0 + 0,640 624 952 908 185 6;
  • 24) 0,640 624 952 908 185 6 × 2 = 1 + 0,281 249 905 816 371 2;
  • 25) 0,281 249 905 816 371 2 × 2 = 0 + 0,562 499 811 632 742 4;
  • 26) 0,562 499 811 632 742 4 × 2 = 1 + 0,124 999 623 265 484 8;
  • 27) 0,124 999 623 265 484 8 × 2 = 0 + 0,249 999 246 530 969 6;
  • 28) 0,249 999 246 530 969 6 × 2 = 0 + 0,499 998 493 061 939 2;
  • 29) 0,499 998 493 061 939 2 × 2 = 0 + 0,999 996 986 123 878 4;
  • 30) 0,999 996 986 123 878 4 × 2 = 1 + 0,999 993 972 247 756 8;
  • 31) 0,999 993 972 247 756 8 × 2 = 1 + 0,999 987 944 495 513 6;
  • 32) 0,999 987 944 495 513 6 × 2 = 1 + 0,999 975 888 991 027 2;
  • 33) 0,999 975 888 991 027 2 × 2 = 1 + 0,999 951 777 982 054 4;
  • 34) 0,999 951 777 982 054 4 × 2 = 1 + 0,999 903 555 964 108 8;
  • 35) 0,999 903 555 964 108 8 × 2 = 1 + 0,999 807 111 928 217 6;
  • 36) 0,999 807 111 928 217 6 × 2 = 1 + 0,999 614 223 856 435 2;
  • 37) 0,999 614 223 856 435 2 × 2 = 1 + 0,999 228 447 712 870 4;
  • 38) 0,999 228 447 712 870 4 × 2 = 1 + 0,998 456 895 425 740 8;
  • 39) 0,998 456 895 425 740 8 × 2 = 1 + 0,996 913 790 851 481 6;
  • 40) 0,996 913 790 851 481 6 × 2 = 1 + 0,993 827 581 702 963 2;
  • 41) 0,993 827 581 702 963 2 × 2 = 1 + 0,987 655 163 405 926 4;
  • 42) 0,987 655 163 405 926 4 × 2 = 1 + 0,975 310 326 811 852 8;
  • 43) 0,975 310 326 811 852 8 × 2 = 1 + 0,950 620 653 623 705 6;
  • 44) 0,950 620 653 623 705 6 × 2 = 1 + 0,901 241 307 247 411 2;
  • 45) 0,901 241 307 247 411 2 × 2 = 1 + 0,802 482 614 494 822 4;
  • 46) 0,802 482 614 494 822 4 × 2 = 1 + 0,604 965 228 989 644 8;
  • 47) 0,604 965 228 989 644 8 × 2 = 1 + 0,209 930 457 979 289 6;
  • 48) 0,209 930 457 979 289 6 × 2 = 0 + 0,419 860 915 958 579 2;
  • 49) 0,419 860 915 958 579 2 × 2 = 0 + 0,839 721 831 917 158 4;
  • 50) 0,839 721 831 917 158 4 × 2 = 1 + 0,679 443 663 834 316 8;
  • 51) 0,679 443 663 834 316 8 × 2 = 1 + 0,358 887 327 668 633 6;
  • 52) 0,358 887 327 668 633 6 × 2 = 0 + 0,717 774 655 337 267 2;
  • 53) 0,717 774 655 337 267 2 × 2 = 1 + 0,435 549 310 674 534 4;
  • 54) 0,435 549 310 674 534 4 × 2 = 0 + 0,871 098 621 349 068 8;
  • 55) 0,871 098 621 349 068 8 × 2 = 1 + 0,742 197 242 698 137 6;
  • 56) 0,742 197 242 698 137 6 × 2 = 1 + 0,484 394 485 396 275 2;
  • 57) 0,484 394 485 396 275 2 × 2 = 0 + 0,968 788 970 792 550 4;
  • 58) 0,968 788 970 792 550 4 × 2 = 1 + 0,937 577 941 585 100 8;
  • 59) 0,937 577 941 585 100 8 × 2 = 1 + 0,875 155 883 170 201 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,008 788 423 612 708 2(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1110 0110 1011 011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,008 788 423 612 708 2(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1110 0110 1011 011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,008 788 423 612 708 2(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1110 0110 1011 011(2) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 0111 1111 1111 1111 1110 0110 1011 011(2) × 20 =

1,0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 0011 0101 1011(2) × 2-7


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -7

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 0011 0101 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-7 + 2(11-1) - 1 =

(-7 + 1 023)(10) =

1 016(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 016 : 2 = 508 + 0;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1016(10) =

011 1111 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 0011 0101 1011 =

0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 0011 0101 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1000

Mantisă (52 biți) =
0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 0011 0101 1011


Numărul zecimal -0,008 788 423 612 708 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1000 - 0001 1111 1111 1010 1010 0011 1111 1111 1111 1111 0011 0101 1011

Distribuie

» Scriere -0,008 788 423 612 706 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100