-0,008 788 423 613 84 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,008 788 423 613 84(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,008 788 423 613 84(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,008 788 423 613 84| = 0,008 788 423 613 84


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,008 788 423 613 84.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,008 788 423 613 84 × 2 = 0 + 0,017 576 847 227 68;
  • 2) 0,017 576 847 227 68 × 2 = 0 + 0,035 153 694 455 36;
  • 3) 0,035 153 694 455 36 × 2 = 0 + 0,070 307 388 910 72;
  • 4) 0,070 307 388 910 72 × 2 = 0 + 0,140 614 777 821 44;
  • 5) 0,140 614 777 821 44 × 2 = 0 + 0,281 229 555 642 88;
  • 6) 0,281 229 555 642 88 × 2 = 0 + 0,562 459 111 285 76;
  • 7) 0,562 459 111 285 76 × 2 = 1 + 0,124 918 222 571 52;
  • 8) 0,124 918 222 571 52 × 2 = 0 + 0,249 836 445 143 04;
  • 9) 0,249 836 445 143 04 × 2 = 0 + 0,499 672 890 286 08;
  • 10) 0,499 672 890 286 08 × 2 = 0 + 0,999 345 780 572 16;
  • 11) 0,999 345 780 572 16 × 2 = 1 + 0,998 691 561 144 32;
  • 12) 0,998 691 561 144 32 × 2 = 1 + 0,997 383 122 288 64;
  • 13) 0,997 383 122 288 64 × 2 = 1 + 0,994 766 244 577 28;
  • 14) 0,994 766 244 577 28 × 2 = 1 + 0,989 532 489 154 56;
  • 15) 0,989 532 489 154 56 × 2 = 1 + 0,979 064 978 309 12;
  • 16) 0,979 064 978 309 12 × 2 = 1 + 0,958 129 956 618 24;
  • 17) 0,958 129 956 618 24 × 2 = 1 + 0,916 259 913 236 48;
  • 18) 0,916 259 913 236 48 × 2 = 1 + 0,832 519 826 472 96;
  • 19) 0,832 519 826 472 96 × 2 = 1 + 0,665 039 652 945 92;
  • 20) 0,665 039 652 945 92 × 2 = 1 + 0,330 079 305 891 84;
  • 21) 0,330 079 305 891 84 × 2 = 0 + 0,660 158 611 783 68;
  • 22) 0,660 158 611 783 68 × 2 = 1 + 0,320 317 223 567 36;
  • 23) 0,320 317 223 567 36 × 2 = 0 + 0,640 634 447 134 72;
  • 24) 0,640 634 447 134 72 × 2 = 1 + 0,281 268 894 269 44;
  • 25) 0,281 268 894 269 44 × 2 = 0 + 0,562 537 788 538 88;
  • 26) 0,562 537 788 538 88 × 2 = 1 + 0,125 075 577 077 76;
  • 27) 0,125 075 577 077 76 × 2 = 0 + 0,250 151 154 155 52;
  • 28) 0,250 151 154 155 52 × 2 = 0 + 0,500 302 308 311 04;
  • 29) 0,500 302 308 311 04 × 2 = 1 + 0,000 604 616 622 08;
  • 30) 0,000 604 616 622 08 × 2 = 0 + 0,001 209 233 244 16;
  • 31) 0,001 209 233 244 16 × 2 = 0 + 0,002 418 466 488 32;
  • 32) 0,002 418 466 488 32 × 2 = 0 + 0,004 836 932 976 64;
  • 33) 0,004 836 932 976 64 × 2 = 0 + 0,009 673 865 953 28;
  • 34) 0,009 673 865 953 28 × 2 = 0 + 0,019 347 731 906 56;
  • 35) 0,019 347 731 906 56 × 2 = 0 + 0,038 695 463 813 12;
  • 36) 0,038 695 463 813 12 × 2 = 0 + 0,077 390 927 626 24;
  • 37) 0,077 390 927 626 24 × 2 = 0 + 0,154 781 855 252 48;
  • 38) 0,154 781 855 252 48 × 2 = 0 + 0,309 563 710 504 96;
  • 39) 0,309 563 710 504 96 × 2 = 0 + 0,619 127 421 009 92;
  • 40) 0,619 127 421 009 92 × 2 = 1 + 0,238 254 842 019 84;
  • 41) 0,238 254 842 019 84 × 2 = 0 + 0,476 509 684 039 68;
  • 42) 0,476 509 684 039 68 × 2 = 0 + 0,953 019 368 079 36;
  • 43) 0,953 019 368 079 36 × 2 = 1 + 0,906 038 736 158 72;
  • 44) 0,906 038 736 158 72 × 2 = 1 + 0,812 077 472 317 44;
  • 45) 0,812 077 472 317 44 × 2 = 1 + 0,624 154 944 634 88;
  • 46) 0,624 154 944 634 88 × 2 = 1 + 0,248 309 889 269 76;
  • 47) 0,248 309 889 269 76 × 2 = 0 + 0,496 619 778 539 52;
  • 48) 0,496 619 778 539 52 × 2 = 0 + 0,993 239 557 079 04;
  • 49) 0,993 239 557 079 04 × 2 = 1 + 0,986 479 114 158 08;
  • 50) 0,986 479 114 158 08 × 2 = 1 + 0,972 958 228 316 16;
  • 51) 0,972 958 228 316 16 × 2 = 1 + 0,945 916 456 632 32;
  • 52) 0,945 916 456 632 32 × 2 = 1 + 0,891 832 913 264 64;
  • 53) 0,891 832 913 264 64 × 2 = 1 + 0,783 665 826 529 28;
  • 54) 0,783 665 826 529 28 × 2 = 1 + 0,567 331 653 058 56;
  • 55) 0,567 331 653 058 56 × 2 = 1 + 0,134 663 306 117 12;
  • 56) 0,134 663 306 117 12 × 2 = 0 + 0,269 326 612 234 24;
  • 57) 0,269 326 612 234 24 × 2 = 0 + 0,538 653 224 468 48;
  • 58) 0,538 653 224 468 48 × 2 = 1 + 0,077 306 448 936 96;
  • 59) 0,077 306 448 936 96 × 2 = 0 + 0,154 612 897 873 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,008 788 423 613 84(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0001 0011 1100 1111 1110 010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,008 788 423 613 84(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0001 0011 1100 1111 1110 010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,008 788 423 613 84(10) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0001 0011 1100 1111 1110 010(2) =

0,0000 0010 0011 1111 1111 0101 0100 1000 0000 0001 0011 1100 1111 1110 010(2) × 20 =

1,0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1001 1110 0111 1111 0010(2) × 2-7


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -7

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1001 1110 0111 1111 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-7 + 2(11-1) - 1 =

(-7 + 1 023)(10) =

1 016(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 016 : 2 = 508 + 0;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1016(10) =

011 1111 1000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1001 1110 0111 1111 0010 =

0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1001 1110 0111 1111 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1000

Mantisă (52 biți) =
0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1001 1110 0111 1111 0010


Numărul zecimal -0,008 788 423 613 84 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1000 - 0001 1111 1111 1010 1010 0100 0000 0000 1001 1110 0111 1111 0010

Distribuie

» Scriere -0,008 788 423 614 46 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100