-1 302,123 456 789 012 352 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -1 302,123 456 789 012 352 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-1 302,123 456 789 012 352 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-1 302,123 456 789 012 352 2| = 1 302,123 456 789 012 352 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1 302.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 302 : 2 = 651 + 0;
  • 651 : 2 = 325 + 1;
  • 325 : 2 = 162 + 1;
  • 162 : 2 = 81 + 0;
  • 81 : 2 = 40 + 1;
  • 40 : 2 = 20 + 0;
  • 20 : 2 = 10 + 0;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1 302(10) =

101 0001 0110(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,123 456 789 012 352 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,123 456 789 012 352 2 × 2 = 0 + 0,246 913 578 024 704 4;
  • 2) 0,246 913 578 024 704 4 × 2 = 0 + 0,493 827 156 049 408 8;
  • 3) 0,493 827 156 049 408 8 × 2 = 0 + 0,987 654 312 098 817 6;
  • 4) 0,987 654 312 098 817 6 × 2 = 1 + 0,975 308 624 197 635 2;
  • 5) 0,975 308 624 197 635 2 × 2 = 1 + 0,950 617 248 395 270 4;
  • 6) 0,950 617 248 395 270 4 × 2 = 1 + 0,901 234 496 790 540 8;
  • 7) 0,901 234 496 790 540 8 × 2 = 1 + 0,802 468 993 581 081 6;
  • 8) 0,802 468 993 581 081 6 × 2 = 1 + 0,604 937 987 162 163 2;
  • 9) 0,604 937 987 162 163 2 × 2 = 1 + 0,209 875 974 324 326 4;
  • 10) 0,209 875 974 324 326 4 × 2 = 0 + 0,419 751 948 648 652 8;
  • 11) 0,419 751 948 648 652 8 × 2 = 0 + 0,839 503 897 297 305 6;
  • 12) 0,839 503 897 297 305 6 × 2 = 1 + 0,679 007 794 594 611 2;
  • 13) 0,679 007 794 594 611 2 × 2 = 1 + 0,358 015 589 189 222 4;
  • 14) 0,358 015 589 189 222 4 × 2 = 0 + 0,716 031 178 378 444 8;
  • 15) 0,716 031 178 378 444 8 × 2 = 1 + 0,432 062 356 756 889 6;
  • 16) 0,432 062 356 756 889 6 × 2 = 0 + 0,864 124 713 513 779 2;
  • 17) 0,864 124 713 513 779 2 × 2 = 1 + 0,728 249 427 027 558 4;
  • 18) 0,728 249 427 027 558 4 × 2 = 1 + 0,456 498 854 055 116 8;
  • 19) 0,456 498 854 055 116 8 × 2 = 0 + 0,912 997 708 110 233 6;
  • 20) 0,912 997 708 110 233 6 × 2 = 1 + 0,825 995 416 220 467 2;
  • 21) 0,825 995 416 220 467 2 × 2 = 1 + 0,651 990 832 440 934 4;
  • 22) 0,651 990 832 440 934 4 × 2 = 1 + 0,303 981 664 881 868 8;
  • 23) 0,303 981 664 881 868 8 × 2 = 0 + 0,607 963 329 763 737 6;
  • 24) 0,607 963 329 763 737 6 × 2 = 1 + 0,215 926 659 527 475 2;
  • 25) 0,215 926 659 527 475 2 × 2 = 0 + 0,431 853 319 054 950 4;
  • 26) 0,431 853 319 054 950 4 × 2 = 0 + 0,863 706 638 109 900 8;
  • 27) 0,863 706 638 109 900 8 × 2 = 1 + 0,727 413 276 219 801 6;
  • 28) 0,727 413 276 219 801 6 × 2 = 1 + 0,454 826 552 439 603 2;
  • 29) 0,454 826 552 439 603 2 × 2 = 0 + 0,909 653 104 879 206 4;
  • 30) 0,909 653 104 879 206 4 × 2 = 1 + 0,819 306 209 758 412 8;
  • 31) 0,819 306 209 758 412 8 × 2 = 1 + 0,638 612 419 516 825 6;
  • 32) 0,638 612 419 516 825 6 × 2 = 1 + 0,277 224 839 033 651 2;
  • 33) 0,277 224 839 033 651 2 × 2 = 0 + 0,554 449 678 067 302 4;
  • 34) 0,554 449 678 067 302 4 × 2 = 1 + 0,108 899 356 134 604 8;
  • 35) 0,108 899 356 134 604 8 × 2 = 0 + 0,217 798 712 269 209 6;
  • 36) 0,217 798 712 269 209 6 × 2 = 0 + 0,435 597 424 538 419 2;
  • 37) 0,435 597 424 538 419 2 × 2 = 0 + 0,871 194 849 076 838 4;
  • 38) 0,871 194 849 076 838 4 × 2 = 1 + 0,742 389 698 153 676 8;
  • 39) 0,742 389 698 153 676 8 × 2 = 1 + 0,484 779 396 307 353 6;
  • 40) 0,484 779 396 307 353 6 × 2 = 0 + 0,969 558 792 614 707 2;
  • 41) 0,969 558 792 614 707 2 × 2 = 1 + 0,939 117 585 229 414 4;
  • 42) 0,939 117 585 229 414 4 × 2 = 1 + 0,878 235 170 458 828 8;
  • 43) 0,878 235 170 458 828 8 × 2 = 1 + 0,756 470 340 917 657 6;
  • 44) 0,756 470 340 917 657 6 × 2 = 1 + 0,512 940 681 835 315 2;
  • 45) 0,512 940 681 835 315 2 × 2 = 1 + 0,025 881 363 670 630 4;
  • 46) 0,025 881 363 670 630 4 × 2 = 0 + 0,051 762 727 341 260 8;
  • 47) 0,051 762 727 341 260 8 × 2 = 0 + 0,103 525 454 682 521 6;
  • 48) 0,103 525 454 682 521 6 × 2 = 0 + 0,207 050 909 365 043 2;
  • 49) 0,207 050 909 365 043 2 × 2 = 0 + 0,414 101 818 730 086 4;
  • 50) 0,414 101 818 730 086 4 × 2 = 0 + 0,828 203 637 460 172 8;
  • 51) 0,828 203 637 460 172 8 × 2 = 1 + 0,656 407 274 920 345 6;
  • 52) 0,656 407 274 920 345 6 × 2 = 1 + 0,312 814 549 840 691 2;
  • 53) 0,312 814 549 840 691 2 × 2 = 0 + 0,625 629 099 681 382 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,123 456 789 012 352 2(10) =

0,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0011 0111 0100 0110 1111 1000 0011 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1 302,123 456 789 012 352 2(10) =

101 0001 0110,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0011 0111 0100 0110 1111 1000 0011 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 10 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1 302,123 456 789 012 352 2(10) =

101 0001 0110,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0011 0111 0100 0110 1111 1000 0011 0(2) =

101 0001 0110,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0011 0111 0100 0110 1111 1000 0011 0(2) × 20 =

1,0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011 1110 0000 110(2) × 210


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 10

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011 1110 0000 110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

10 + 2(11-1) - 1 =

(10 + 1 023)(10) =

1 033(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 033 : 2 = 516 + 1;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1033(10) =

100 0000 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011 111 0000 0110 =

0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1001

Mantisă (52 biți) =
0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011


Numărul zecimal -1 302,123 456 789 012 352 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 1001 - 0100 0101 1000 0111 1110 0110 1011 0111 0100 1101 1101 0001 1011

Distribuie

» Scriere -1 302,123 456 789 012 348 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100