-7,769 489 691 005 138 992 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -7,769 489 691 005 138 992(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-7,769 489 691 005 138 992(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-7,769 489 691 005 138 992| = 7,769 489 691 005 138 992


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 7.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

7(10) =

111(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,769 489 691 005 138 992.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,769 489 691 005 138 992 × 2 = 1 + 0,538 979 382 010 277 984;
  • 2) 0,538 979 382 010 277 984 × 2 = 1 + 0,077 958 764 020 555 968;
  • 3) 0,077 958 764 020 555 968 × 2 = 0 + 0,155 917 528 041 111 936;
  • 4) 0,155 917 528 041 111 936 × 2 = 0 + 0,311 835 056 082 223 872;
  • 5) 0,311 835 056 082 223 872 × 2 = 0 + 0,623 670 112 164 447 744;
  • 6) 0,623 670 112 164 447 744 × 2 = 1 + 0,247 340 224 328 895 488;
  • 7) 0,247 340 224 328 895 488 × 2 = 0 + 0,494 680 448 657 790 976;
  • 8) 0,494 680 448 657 790 976 × 2 = 0 + 0,989 360 897 315 581 952;
  • 9) 0,989 360 897 315 581 952 × 2 = 1 + 0,978 721 794 631 163 904;
  • 10) 0,978 721 794 631 163 904 × 2 = 1 + 0,957 443 589 262 327 808;
  • 11) 0,957 443 589 262 327 808 × 2 = 1 + 0,914 887 178 524 655 616;
  • 12) 0,914 887 178 524 655 616 × 2 = 1 + 0,829 774 357 049 311 232;
  • 13) 0,829 774 357 049 311 232 × 2 = 1 + 0,659 548 714 098 622 464;
  • 14) 0,659 548 714 098 622 464 × 2 = 1 + 0,319 097 428 197 244 928;
  • 15) 0,319 097 428 197 244 928 × 2 = 0 + 0,638 194 856 394 489 856;
  • 16) 0,638 194 856 394 489 856 × 2 = 1 + 0,276 389 712 788 979 712;
  • 17) 0,276 389 712 788 979 712 × 2 = 0 + 0,552 779 425 577 959 424;
  • 18) 0,552 779 425 577 959 424 × 2 = 1 + 0,105 558 851 155 918 848;
  • 19) 0,105 558 851 155 918 848 × 2 = 0 + 0,211 117 702 311 837 696;
  • 20) 0,211 117 702 311 837 696 × 2 = 0 + 0,422 235 404 623 675 392;
  • 21) 0,422 235 404 623 675 392 × 2 = 0 + 0,844 470 809 247 350 784;
  • 22) 0,844 470 809 247 350 784 × 2 = 1 + 0,688 941 618 494 701 568;
  • 23) 0,688 941 618 494 701 568 × 2 = 1 + 0,377 883 236 989 403 136;
  • 24) 0,377 883 236 989 403 136 × 2 = 0 + 0,755 766 473 978 806 272;
  • 25) 0,755 766 473 978 806 272 × 2 = 1 + 0,511 532 947 957 612 544;
  • 26) 0,511 532 947 957 612 544 × 2 = 1 + 0,023 065 895 915 225 088;
  • 27) 0,023 065 895 915 225 088 × 2 = 0 + 0,046 131 791 830 450 176;
  • 28) 0,046 131 791 830 450 176 × 2 = 0 + 0,092 263 583 660 900 352;
  • 29) 0,092 263 583 660 900 352 × 2 = 0 + 0,184 527 167 321 800 704;
  • 30) 0,184 527 167 321 800 704 × 2 = 0 + 0,369 054 334 643 601 408;
  • 31) 0,369 054 334 643 601 408 × 2 = 0 + 0,738 108 669 287 202 816;
  • 32) 0,738 108 669 287 202 816 × 2 = 1 + 0,476 217 338 574 405 632;
  • 33) 0,476 217 338 574 405 632 × 2 = 0 + 0,952 434 677 148 811 264;
  • 34) 0,952 434 677 148 811 264 × 2 = 1 + 0,904 869 354 297 622 528;
  • 35) 0,904 869 354 297 622 528 × 2 = 1 + 0,809 738 708 595 245 056;
  • 36) 0,809 738 708 595 245 056 × 2 = 1 + 0,619 477 417 190 490 112;
  • 37) 0,619 477 417 190 490 112 × 2 = 1 + 0,238 954 834 380 980 224;
  • 38) 0,238 954 834 380 980 224 × 2 = 0 + 0,477 909 668 761 960 448;
  • 39) 0,477 909 668 761 960 448 × 2 = 0 + 0,955 819 337 523 920 896;
  • 40) 0,955 819 337 523 920 896 × 2 = 1 + 0,911 638 675 047 841 792;
  • 41) 0,911 638 675 047 841 792 × 2 = 1 + 0,823 277 350 095 683 584;
  • 42) 0,823 277 350 095 683 584 × 2 = 1 + 0,646 554 700 191 367 168;
  • 43) 0,646 554 700 191 367 168 × 2 = 1 + 0,293 109 400 382 734 336;
  • 44) 0,293 109 400 382 734 336 × 2 = 0 + 0,586 218 800 765 468 672;
  • 45) 0,586 218 800 765 468 672 × 2 = 1 + 0,172 437 601 530 937 344;
  • 46) 0,172 437 601 530 937 344 × 2 = 0 + 0,344 875 203 061 874 688;
  • 47) 0,344 875 203 061 874 688 × 2 = 0 + 0,689 750 406 123 749 376;
  • 48) 0,689 750 406 123 749 376 × 2 = 1 + 0,379 500 812 247 498 752;
  • 49) 0,379 500 812 247 498 752 × 2 = 0 + 0,759 001 624 494 997 504;
  • 50) 0,759 001 624 494 997 504 × 2 = 1 + 0,518 003 248 989 995 008;
  • 51) 0,518 003 248 989 995 008 × 2 = 1 + 0,036 006 497 979 990 016;
  • 52) 0,036 006 497 979 990 016 × 2 = 0 + 0,072 012 995 959 980 032;
  • 53) 0,072 012 995 959 980 032 × 2 = 0 + 0,144 025 991 919 960 064;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,769 489 691 005 138 992(10) =

0,1100 0100 1111 1101 0100 0110 1100 0001 0111 1001 1110 1001 0110 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

7,769 489 691 005 138 992(10) =

111,1100 0100 1111 1101 0100 0110 1100 0001 0111 1001 1110 1001 0110 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


7,769 489 691 005 138 992(10) =

111,1100 0100 1111 1101 0100 0110 1100 0001 0111 1001 1110 1001 0110 0(2) =

111,1100 0100 1111 1101 0100 0110 1100 0001 0111 1001 1110 1001 0110 0(2) × 20 =

1,1111 0001 0011 1111 0101 0001 1011 0000 0101 1110 0111 1010 0101 100(2) × 22


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 0001 0011 1111 0101 0001 1011 0000 0101 1110 0111 1010 0101 100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 0001 0011 1111 0101 0001 1011 0000 0101 1110 0111 1010 0101 100 =

1111 0001 0011 1111 0101 0001 1011 0000 0101 1110 0111 1010 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1111 0001 0011 1111 0101 0001 1011 0000 0101 1110 0111 1010 0101


Numărul zecimal -7,769 489 691 005 138 992 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 0001 - 1111 0001 0011 1111 0101 0001 1011 0000 0101 1110 0111 1010 0101

Distribuie

» Scriere -7,769 489 691 005 138 913 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100