-84,129 999 999 999 995 452 504 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -84,129 999 999 999 995 452 504 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-84,129 999 999 999 995 452 504 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-84,129 999 999 999 995 452 504 2| = 84,129 999 999 999 995 452 504 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 84.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 84 : 2 = 42 + 0;
  • 42 : 2 = 21 + 0;
  • 21 : 2 = 10 + 1;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

84(10) =

101 0100(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,129 999 999 999 995 452 504 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,129 999 999 999 995 452 504 2 × 2 = 0 + 0,259 999 999 999 990 905 008 4;
  • 2) 0,259 999 999 999 990 905 008 4 × 2 = 0 + 0,519 999 999 999 981 810 016 8;
  • 3) 0,519 999 999 999 981 810 016 8 × 2 = 1 + 0,039 999 999 999 963 620 033 6;
  • 4) 0,039 999 999 999 963 620 033 6 × 2 = 0 + 0,079 999 999 999 927 240 067 2;
  • 5) 0,079 999 999 999 927 240 067 2 × 2 = 0 + 0,159 999 999 999 854 480 134 4;
  • 6) 0,159 999 999 999 854 480 134 4 × 2 = 0 + 0,319 999 999 999 708 960 268 8;
  • 7) 0,319 999 999 999 708 960 268 8 × 2 = 0 + 0,639 999 999 999 417 920 537 6;
  • 8) 0,639 999 999 999 417 920 537 6 × 2 = 1 + 0,279 999 999 998 835 841 075 2;
  • 9) 0,279 999 999 998 835 841 075 2 × 2 = 0 + 0,559 999 999 997 671 682 150 4;
  • 10) 0,559 999 999 997 671 682 150 4 × 2 = 1 + 0,119 999 999 995 343 364 300 8;
  • 11) 0,119 999 999 995 343 364 300 8 × 2 = 0 + 0,239 999 999 990 686 728 601 6;
  • 12) 0,239 999 999 990 686 728 601 6 × 2 = 0 + 0,479 999 999 981 373 457 203 2;
  • 13) 0,479 999 999 981 373 457 203 2 × 2 = 0 + 0,959 999 999 962 746 914 406 4;
  • 14) 0,959 999 999 962 746 914 406 4 × 2 = 1 + 0,919 999 999 925 493 828 812 8;
  • 15) 0,919 999 999 925 493 828 812 8 × 2 = 1 + 0,839 999 999 850 987 657 625 6;
  • 16) 0,839 999 999 850 987 657 625 6 × 2 = 1 + 0,679 999 999 701 975 315 251 2;
  • 17) 0,679 999 999 701 975 315 251 2 × 2 = 1 + 0,359 999 999 403 950 630 502 4;
  • 18) 0,359 999 999 403 950 630 502 4 × 2 = 0 + 0,719 999 998 807 901 261 004 8;
  • 19) 0,719 999 998 807 901 261 004 8 × 2 = 1 + 0,439 999 997 615 802 522 009 6;
  • 20) 0,439 999 997 615 802 522 009 6 × 2 = 0 + 0,879 999 995 231 605 044 019 2;
  • 21) 0,879 999 995 231 605 044 019 2 × 2 = 1 + 0,759 999 990 463 210 088 038 4;
  • 22) 0,759 999 990 463 210 088 038 4 × 2 = 1 + 0,519 999 980 926 420 176 076 8;
  • 23) 0,519 999 980 926 420 176 076 8 × 2 = 1 + 0,039 999 961 852 840 352 153 6;
  • 24) 0,039 999 961 852 840 352 153 6 × 2 = 0 + 0,079 999 923 705 680 704 307 2;
  • 25) 0,079 999 923 705 680 704 307 2 × 2 = 0 + 0,159 999 847 411 361 408 614 4;
  • 26) 0,159 999 847 411 361 408 614 4 × 2 = 0 + 0,319 999 694 822 722 817 228 8;
  • 27) 0,319 999 694 822 722 817 228 8 × 2 = 0 + 0,639 999 389 645 445 634 457 6;
  • 28) 0,639 999 389 645 445 634 457 6 × 2 = 1 + 0,279 998 779 290 891 268 915 2;
  • 29) 0,279 998 779 290 891 268 915 2 × 2 = 0 + 0,559 997 558 581 782 537 830 4;
  • 30) 0,559 997 558 581 782 537 830 4 × 2 = 1 + 0,119 995 117 163 565 075 660 8;
  • 31) 0,119 995 117 163 565 075 660 8 × 2 = 0 + 0,239 990 234 327 130 151 321 6;
  • 32) 0,239 990 234 327 130 151 321 6 × 2 = 0 + 0,479 980 468 654 260 302 643 2;
  • 33) 0,479 980 468 654 260 302 643 2 × 2 = 0 + 0,959 960 937 308 520 605 286 4;
  • 34) 0,959 960 937 308 520 605 286 4 × 2 = 1 + 0,919 921 874 617 041 210 572 8;
  • 35) 0,919 921 874 617 041 210 572 8 × 2 = 1 + 0,839 843 749 234 082 421 145 6;
  • 36) 0,839 843 749 234 082 421 145 6 × 2 = 1 + 0,679 687 498 468 164 842 291 2;
  • 37) 0,679 687 498 468 164 842 291 2 × 2 = 1 + 0,359 374 996 936 329 684 582 4;
  • 38) 0,359 374 996 936 329 684 582 4 × 2 = 0 + 0,718 749 993 872 659 369 164 8;
  • 39) 0,718 749 993 872 659 369 164 8 × 2 = 1 + 0,437 499 987 745 318 738 329 6;
  • 40) 0,437 499 987 745 318 738 329 6 × 2 = 0 + 0,874 999 975 490 637 476 659 2;
  • 41) 0,874 999 975 490 637 476 659 2 × 2 = 1 + 0,749 999 950 981 274 953 318 4;
  • 42) 0,749 999 950 981 274 953 318 4 × 2 = 1 + 0,499 999 901 962 549 906 636 8;
  • 43) 0,499 999 901 962 549 906 636 8 × 2 = 0 + 0,999 999 803 925 099 813 273 6;
  • 44) 0,999 999 803 925 099 813 273 6 × 2 = 1 + 0,999 999 607 850 199 626 547 2;
  • 45) 0,999 999 607 850 199 626 547 2 × 2 = 1 + 0,999 999 215 700 399 253 094 4;
  • 46) 0,999 999 215 700 399 253 094 4 × 2 = 1 + 0,999 998 431 400 798 506 188 8;
  • 47) 0,999 998 431 400 798 506 188 8 × 2 = 1 + 0,999 996 862 801 597 012 377 6;
  • 48) 0,999 996 862 801 597 012 377 6 × 2 = 1 + 0,999 993 725 603 194 024 755 2;
  • 49) 0,999 993 725 603 194 024 755 2 × 2 = 1 + 0,999 987 451 206 388 049 510 4;
  • 50) 0,999 987 451 206 388 049 510 4 × 2 = 1 + 0,999 974 902 412 776 099 020 8;
  • 51) 0,999 974 902 412 776 099 020 8 × 2 = 1 + 0,999 949 804 825 552 198 041 6;
  • 52) 0,999 949 804 825 552 198 041 6 × 2 = 1 + 0,999 899 609 651 104 396 083 2;
  • 53) 0,999 899 609 651 104 396 083 2 × 2 = 1 + 0,999 799 219 302 208 792 166 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,129 999 999 999 995 452 504 2(10) =

0,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1101 1111 1111 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

84,129 999 999 999 995 452 504 2(10) =

101 0100,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1101 1111 1111 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


84,129 999 999 999 995 452 504 2(10) =

101 0100,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1101 1111 1111 1(2) =

101 0100,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1101 1111 1111 1(2) × 20 =

1,0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 111(2) × 26


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 6

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

6 + 2(11-1) - 1 =

(6 + 1 023)(10) =

1 029(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 029 : 2 = 514 + 1;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1029(10) =

100 0000 0101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 111 1111 =

0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0101

Mantisă (52 biți) =
0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111


Numărul zecimal -84,129 999 999 999 995 452 504 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 0101 - 0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111

Distribuie

» Scriere -84,129 999 999 999 995 452 505 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100