-84,129 999 999 999 995 452 505 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -84,129 999 999 999 995 452 505 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-84,129 999 999 999 995 452 505 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-84,129 999 999 999 995 452 505 3| = 84,129 999 999 999 995 452 505 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 84.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 84 : 2 = 42 + 0;
  • 42 : 2 = 21 + 0;
  • 21 : 2 = 10 + 1;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

84(10) =

101 0100(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,129 999 999 999 995 452 505 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,129 999 999 999 995 452 505 3 × 2 = 0 + 0,259 999 999 999 990 905 010 6;
  • 2) 0,259 999 999 999 990 905 010 6 × 2 = 0 + 0,519 999 999 999 981 810 021 2;
  • 3) 0,519 999 999 999 981 810 021 2 × 2 = 1 + 0,039 999 999 999 963 620 042 4;
  • 4) 0,039 999 999 999 963 620 042 4 × 2 = 0 + 0,079 999 999 999 927 240 084 8;
  • 5) 0,079 999 999 999 927 240 084 8 × 2 = 0 + 0,159 999 999 999 854 480 169 6;
  • 6) 0,159 999 999 999 854 480 169 6 × 2 = 0 + 0,319 999 999 999 708 960 339 2;
  • 7) 0,319 999 999 999 708 960 339 2 × 2 = 0 + 0,639 999 999 999 417 920 678 4;
  • 8) 0,639 999 999 999 417 920 678 4 × 2 = 1 + 0,279 999 999 998 835 841 356 8;
  • 9) 0,279 999 999 998 835 841 356 8 × 2 = 0 + 0,559 999 999 997 671 682 713 6;
  • 10) 0,559 999 999 997 671 682 713 6 × 2 = 1 + 0,119 999 999 995 343 365 427 2;
  • 11) 0,119 999 999 995 343 365 427 2 × 2 = 0 + 0,239 999 999 990 686 730 854 4;
  • 12) 0,239 999 999 990 686 730 854 4 × 2 = 0 + 0,479 999 999 981 373 461 708 8;
  • 13) 0,479 999 999 981 373 461 708 8 × 2 = 0 + 0,959 999 999 962 746 923 417 6;
  • 14) 0,959 999 999 962 746 923 417 6 × 2 = 1 + 0,919 999 999 925 493 846 835 2;
  • 15) 0,919 999 999 925 493 846 835 2 × 2 = 1 + 0,839 999 999 850 987 693 670 4;
  • 16) 0,839 999 999 850 987 693 670 4 × 2 = 1 + 0,679 999 999 701 975 387 340 8;
  • 17) 0,679 999 999 701 975 387 340 8 × 2 = 1 + 0,359 999 999 403 950 774 681 6;
  • 18) 0,359 999 999 403 950 774 681 6 × 2 = 0 + 0,719 999 998 807 901 549 363 2;
  • 19) 0,719 999 998 807 901 549 363 2 × 2 = 1 + 0,439 999 997 615 803 098 726 4;
  • 20) 0,439 999 997 615 803 098 726 4 × 2 = 0 + 0,879 999 995 231 606 197 452 8;
  • 21) 0,879 999 995 231 606 197 452 8 × 2 = 1 + 0,759 999 990 463 212 394 905 6;
  • 22) 0,759 999 990 463 212 394 905 6 × 2 = 1 + 0,519 999 980 926 424 789 811 2;
  • 23) 0,519 999 980 926 424 789 811 2 × 2 = 1 + 0,039 999 961 852 849 579 622 4;
  • 24) 0,039 999 961 852 849 579 622 4 × 2 = 0 + 0,079 999 923 705 699 159 244 8;
  • 25) 0,079 999 923 705 699 159 244 8 × 2 = 0 + 0,159 999 847 411 398 318 489 6;
  • 26) 0,159 999 847 411 398 318 489 6 × 2 = 0 + 0,319 999 694 822 796 636 979 2;
  • 27) 0,319 999 694 822 796 636 979 2 × 2 = 0 + 0,639 999 389 645 593 273 958 4;
  • 28) 0,639 999 389 645 593 273 958 4 × 2 = 1 + 0,279 998 779 291 186 547 916 8;
  • 29) 0,279 998 779 291 186 547 916 8 × 2 = 0 + 0,559 997 558 582 373 095 833 6;
  • 30) 0,559 997 558 582 373 095 833 6 × 2 = 1 + 0,119 995 117 164 746 191 667 2;
  • 31) 0,119 995 117 164 746 191 667 2 × 2 = 0 + 0,239 990 234 329 492 383 334 4;
  • 32) 0,239 990 234 329 492 383 334 4 × 2 = 0 + 0,479 980 468 658 984 766 668 8;
  • 33) 0,479 980 468 658 984 766 668 8 × 2 = 0 + 0,959 960 937 317 969 533 337 6;
  • 34) 0,959 960 937 317 969 533 337 6 × 2 = 1 + 0,919 921 874 635 939 066 675 2;
  • 35) 0,919 921 874 635 939 066 675 2 × 2 = 1 + 0,839 843 749 271 878 133 350 4;
  • 36) 0,839 843 749 271 878 133 350 4 × 2 = 1 + 0,679 687 498 543 756 266 700 8;
  • 37) 0,679 687 498 543 756 266 700 8 × 2 = 1 + 0,359 374 997 087 512 533 401 6;
  • 38) 0,359 374 997 087 512 533 401 6 × 2 = 0 + 0,718 749 994 175 025 066 803 2;
  • 39) 0,718 749 994 175 025 066 803 2 × 2 = 1 + 0,437 499 988 350 050 133 606 4;
  • 40) 0,437 499 988 350 050 133 606 4 × 2 = 0 + 0,874 999 976 700 100 267 212 8;
  • 41) 0,874 999 976 700 100 267 212 8 × 2 = 1 + 0,749 999 953 400 200 534 425 6;
  • 42) 0,749 999 953 400 200 534 425 6 × 2 = 1 + 0,499 999 906 800 401 068 851 2;
  • 43) 0,499 999 906 800 401 068 851 2 × 2 = 0 + 0,999 999 813 600 802 137 702 4;
  • 44) 0,999 999 813 600 802 137 702 4 × 2 = 1 + 0,999 999 627 201 604 275 404 8;
  • 45) 0,999 999 627 201 604 275 404 8 × 2 = 1 + 0,999 999 254 403 208 550 809 6;
  • 46) 0,999 999 254 403 208 550 809 6 × 2 = 1 + 0,999 998 508 806 417 101 619 2;
  • 47) 0,999 998 508 806 417 101 619 2 × 2 = 1 + 0,999 997 017 612 834 203 238 4;
  • 48) 0,999 997 017 612 834 203 238 4 × 2 = 1 + 0,999 994 035 225 668 406 476 8;
  • 49) 0,999 994 035 225 668 406 476 8 × 2 = 1 + 0,999 988 070 451 336 812 953 6;
  • 50) 0,999 988 070 451 336 812 953 6 × 2 = 1 + 0,999 976 140 902 673 625 907 2;
  • 51) 0,999 976 140 902 673 625 907 2 × 2 = 1 + 0,999 952 281 805 347 251 814 4;
  • 52) 0,999 952 281 805 347 251 814 4 × 2 = 1 + 0,999 904 563 610 694 503 628 8;
  • 53) 0,999 904 563 610 694 503 628 8 × 2 = 1 + 0,999 809 127 221 389 007 257 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,129 999 999 999 995 452 505 3(10) =

0,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1101 1111 1111 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

84,129 999 999 999 995 452 505 3(10) =

101 0100,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1101 1111 1111 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


84,129 999 999 999 995 452 505 3(10) =

101 0100,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1101 1111 1111 1(2) =

101 0100,0010 0001 0100 0111 1010 1110 0001 0100 0111 1010 1101 1111 1111 1(2) × 20 =

1,0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 111(2) × 26


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 6

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 1111 111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

6 + 2(11-1) - 1 =

(6 + 1 023)(10) =

1 029(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 029 : 2 = 514 + 1;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1029(10) =

100 0000 0101(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111 111 1111 =

0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0101

Mantisă (52 biți) =
0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111


Numărul zecimal -84,129 999 999 999 995 452 505 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 0101 - 0101 0000 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 0111

Distribuie

» Scriere -84,129 999 999 999 995 452 509 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100