0,000 000 000 000 000 000 003 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 003 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 003 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 003 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 003 3 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 006 6;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 006 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 013 2;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 013 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 026 4;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 026 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 052 8;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 052 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 105 6;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 105 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 211 2;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 211 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 422 4;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 000 422 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 844 8;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 000 844 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 689 6;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 001 689 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 003 379 2;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 003 379 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 006 758 4;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 006 758 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 013 516 8;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 013 516 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 027 033 6;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 027 033 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 054 067 2;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 054 067 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 108 134 4;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 108 134 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 216 268 8;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 216 268 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 432 537 6;
  • 18) 0,000 000 000 000 000 432 537 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 865 075 2;
  • 19) 0,000 000 000 000 000 865 075 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 730 150 4;
  • 20) 0,000 000 000 000 001 730 150 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 003 460 300 8;
  • 21) 0,000 000 000 000 003 460 300 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 006 920 601 6;
  • 22) 0,000 000 000 000 006 920 601 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 013 841 203 2;
  • 23) 0,000 000 000 000 013 841 203 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 027 682 406 4;
  • 24) 0,000 000 000 000 027 682 406 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 055 364 812 8;
  • 25) 0,000 000 000 000 055 364 812 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 110 729 625 6;
  • 26) 0,000 000 000 000 110 729 625 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 221 459 251 2;
  • 27) 0,000 000 000 000 221 459 251 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 442 918 502 4;
  • 28) 0,000 000 000 000 442 918 502 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 885 837 004 8;
  • 29) 0,000 000 000 000 885 837 004 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 771 674 009 6;
  • 30) 0,000 000 000 001 771 674 009 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 003 543 348 019 2;
  • 31) 0,000 000 000 003 543 348 019 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 086 696 038 4;
  • 32) 0,000 000 000 007 086 696 038 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 173 392 076 8;
  • 33) 0,000 000 000 014 173 392 076 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 028 346 784 153 6;
  • 34) 0,000 000 000 028 346 784 153 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 056 693 568 307 2;
  • 35) 0,000 000 000 056 693 568 307 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 113 387 136 614 4;
  • 36) 0,000 000 000 113 387 136 614 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 226 774 273 228 8;
  • 37) 0,000 000 000 226 774 273 228 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 453 548 546 457 6;
  • 38) 0,000 000 000 453 548 546 457 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 907 097 092 915 2;
  • 39) 0,000 000 000 907 097 092 915 2 × 2 = 0 + 0,000 000 001 814 194 185 830 4;
  • 40) 0,000 000 001 814 194 185 830 4 × 2 = 0 + 0,000 000 003 628 388 371 660 8;
  • 41) 0,000 000 003 628 388 371 660 8 × 2 = 0 + 0,000 000 007 256 776 743 321 6;
  • 42) 0,000 000 007 256 776 743 321 6 × 2 = 0 + 0,000 000 014 513 553 486 643 2;
  • 43) 0,000 000 014 513 553 486 643 2 × 2 = 0 + 0,000 000 029 027 106 973 286 4;
  • 44) 0,000 000 029 027 106 973 286 4 × 2 = 0 + 0,000 000 058 054 213 946 572 8;
  • 45) 0,000 000 058 054 213 946 572 8 × 2 = 0 + 0,000 000 116 108 427 893 145 6;
  • 46) 0,000 000 116 108 427 893 145 6 × 2 = 0 + 0,000 000 232 216 855 786 291 2;
  • 47) 0,000 000 232 216 855 786 291 2 × 2 = 0 + 0,000 000 464 433 711 572 582 4;
  • 48) 0,000 000 464 433 711 572 582 4 × 2 = 0 + 0,000 000 928 867 423 145 164 8;
  • 49) 0,000 000 928 867 423 145 164 8 × 2 = 0 + 0,000 001 857 734 846 290 329 6;
  • 50) 0,000 001 857 734 846 290 329 6 × 2 = 0 + 0,000 003 715 469 692 580 659 2;
  • 51) 0,000 003 715 469 692 580 659 2 × 2 = 0 + 0,000 007 430 939 385 161 318 4;
  • 52) 0,000 007 430 939 385 161 318 4 × 2 = 0 + 0,000 014 861 878 770 322 636 8;
  • 53) 0,000 014 861 878 770 322 636 8 × 2 = 0 + 0,000 029 723 757 540 645 273 6;
  • 54) 0,000 029 723 757 540 645 273 6 × 2 = 0 + 0,000 059 447 515 081 290 547 2;
  • 55) 0,000 059 447 515 081 290 547 2 × 2 = 0 + 0,000 118 895 030 162 581 094 4;
  • 56) 0,000 118 895 030 162 581 094 4 × 2 = 0 + 0,000 237 790 060 325 162 188 8;
  • 57) 0,000 237 790 060 325 162 188 8 × 2 = 0 + 0,000 475 580 120 650 324 377 6;
  • 58) 0,000 475 580 120 650 324 377 6 × 2 = 0 + 0,000 951 160 241 300 648 755 2;
  • 59) 0,000 951 160 241 300 648 755 2 × 2 = 0 + 0,001 902 320 482 601 297 510 4;
  • 60) 0,001 902 320 482 601 297 510 4 × 2 = 0 + 0,003 804 640 965 202 595 020 8;
  • 61) 0,003 804 640 965 202 595 020 8 × 2 = 0 + 0,007 609 281 930 405 190 041 6;
  • 62) 0,007 609 281 930 405 190 041 6 × 2 = 0 + 0,015 218 563 860 810 380 083 2;
  • 63) 0,015 218 563 860 810 380 083 2 × 2 = 0 + 0,030 437 127 721 620 760 166 4;
  • 64) 0,030 437 127 721 620 760 166 4 × 2 = 0 + 0,060 874 255 443 241 520 332 8;
  • 65) 0,060 874 255 443 241 520 332 8 × 2 = 0 + 0,121 748 510 886 483 040 665 6;
  • 66) 0,121 748 510 886 483 040 665 6 × 2 = 0 + 0,243 497 021 772 966 081 331 2;
  • 67) 0,243 497 021 772 966 081 331 2 × 2 = 0 + 0,486 994 043 545 932 162 662 4;
  • 68) 0,486 994 043 545 932 162 662 4 × 2 = 0 + 0,973 988 087 091 864 325 324 8;
  • 69) 0,973 988 087 091 864 325 324 8 × 2 = 1 + 0,947 976 174 183 728 650 649 6;
  • 70) 0,947 976 174 183 728 650 649 6 × 2 = 1 + 0,895 952 348 367 457 301 299 2;
  • 71) 0,895 952 348 367 457 301 299 2 × 2 = 1 + 0,791 904 696 734 914 602 598 4;
  • 72) 0,791 904 696 734 914 602 598 4 × 2 = 1 + 0,583 809 393 469 829 205 196 8;
  • 73) 0,583 809 393 469 829 205 196 8 × 2 = 1 + 0,167 618 786 939 658 410 393 6;
  • 74) 0,167 618 786 939 658 410 393 6 × 2 = 0 + 0,335 237 573 879 316 820 787 2;
  • 75) 0,335 237 573 879 316 820 787 2 × 2 = 0 + 0,670 475 147 758 633 641 574 4;
  • 76) 0,670 475 147 758 633 641 574 4 × 2 = 1 + 0,340 950 295 517 267 283 148 8;
  • 77) 0,340 950 295 517 267 283 148 8 × 2 = 0 + 0,681 900 591 034 534 566 297 6;
  • 78) 0,681 900 591 034 534 566 297 6 × 2 = 1 + 0,363 801 182 069 069 132 595 2;
  • 79) 0,363 801 182 069 069 132 595 2 × 2 = 0 + 0,727 602 364 138 138 265 190 4;
  • 80) 0,727 602 364 138 138 265 190 4 × 2 = 1 + 0,455 204 728 276 276 530 380 8;
  • 81) 0,455 204 728 276 276 530 380 8 × 2 = 0 + 0,910 409 456 552 553 060 761 6;
  • 82) 0,910 409 456 552 553 060 761 6 × 2 = 1 + 0,820 818 913 105 106 121 523 2;
  • 83) 0,820 818 913 105 106 121 523 2 × 2 = 1 + 0,641 637 826 210 212 243 046 4;
  • 84) 0,641 637 826 210 212 243 046 4 × 2 = 1 + 0,283 275 652 420 424 486 092 8;
  • 85) 0,283 275 652 420 424 486 092 8 × 2 = 0 + 0,566 551 304 840 848 972 185 6;
  • 86) 0,566 551 304 840 848 972 185 6 × 2 = 1 + 0,133 102 609 681 697 944 371 2;
  • 87) 0,133 102 609 681 697 944 371 2 × 2 = 0 + 0,266 205 219 363 395 888 742 4;
  • 88) 0,266 205 219 363 395 888 742 4 × 2 = 0 + 0,532 410 438 726 791 777 484 8;
  • 89) 0,532 410 438 726 791 777 484 8 × 2 = 1 + 0,064 820 877 453 583 554 969 6;
  • 90) 0,064 820 877 453 583 554 969 6 × 2 = 0 + 0,129 641 754 907 167 109 939 2;
  • 91) 0,129 641 754 907 167 109 939 2 × 2 = 0 + 0,259 283 509 814 334 219 878 4;
  • 92) 0,259 283 509 814 334 219 878 4 × 2 = 0 + 0,518 567 019 628 668 439 756 8;
  • 93) 0,518 567 019 628 668 439 756 8 × 2 = 1 + 0,037 134 039 257 336 879 513 6;
  • 94) 0,037 134 039 257 336 879 513 6 × 2 = 0 + 0,074 268 078 514 673 759 027 2;
  • 95) 0,074 268 078 514 673 759 027 2 × 2 = 0 + 0,148 536 157 029 347 518 054 4;
  • 96) 0,148 536 157 029 347 518 054 4 × 2 = 0 + 0,297 072 314 058 695 036 108 8;
  • 97) 0,297 072 314 058 695 036 108 8 × 2 = 0 + 0,594 144 628 117 390 072 217 6;
  • 98) 0,594 144 628 117 390 072 217 6 × 2 = 1 + 0,188 289 256 234 780 144 435 2;
  • 99) 0,188 289 256 234 780 144 435 2 × 2 = 0 + 0,376 578 512 469 560 288 870 4;
  • 100) 0,376 578 512 469 560 288 870 4 × 2 = 0 + 0,753 157 024 939 120 577 740 8;
  • 101) 0,753 157 024 939 120 577 740 8 × 2 = 1 + 0,506 314 049 878 241 155 481 6;
  • 102) 0,506 314 049 878 241 155 481 6 × 2 = 1 + 0,012 628 099 756 482 310 963 2;
  • 103) 0,012 628 099 756 482 310 963 2 × 2 = 0 + 0,025 256 199 512 964 621 926 4;
  • 104) 0,025 256 199 512 964 621 926 4 × 2 = 0 + 0,050 512 399 025 929 243 852 8;
  • 105) 0,050 512 399 025 929 243 852 8 × 2 = 0 + 0,101 024 798 051 858 487 705 6;
  • 106) 0,101 024 798 051 858 487 705 6 × 2 = 0 + 0,202 049 596 103 716 975 411 2;
  • 107) 0,202 049 596 103 716 975 411 2 × 2 = 0 + 0,404 099 192 207 433 950 822 4;
  • 108) 0,404 099 192 207 433 950 822 4 × 2 = 0 + 0,808 198 384 414 867 901 644 8;
  • 109) 0,808 198 384 414 867 901 644 8 × 2 = 1 + 0,616 396 768 829 735 803 289 6;
  • 110) 0,616 396 768 829 735 803 289 6 × 2 = 1 + 0,232 793 537 659 471 606 579 2;
  • 111) 0,232 793 537 659 471 606 579 2 × 2 = 0 + 0,465 587 075 318 943 213 158 4;
  • 112) 0,465 587 075 318 943 213 158 4 × 2 = 0 + 0,931 174 150 637 886 426 316 8;
  • 113) 0,931 174 150 637 886 426 316 8 × 2 = 1 + 0,862 348 301 275 772 852 633 6;
  • 114) 0,862 348 301 275 772 852 633 6 × 2 = 1 + 0,724 696 602 551 545 705 267 2;
  • 115) 0,724 696 602 551 545 705 267 2 × 2 = 1 + 0,449 393 205 103 091 410 534 4;
  • 116) 0,449 393 205 103 091 410 534 4 × 2 = 0 + 0,898 786 410 206 182 821 068 8;
  • 117) 0,898 786 410 206 182 821 068 8 × 2 = 1 + 0,797 572 820 412 365 642 137 6;
  • 118) 0,797 572 820 412 365 642 137 6 × 2 = 1 + 0,595 145 640 824 731 284 275 2;
  • 119) 0,595 145 640 824 731 284 275 2 × 2 = 1 + 0,190 291 281 649 462 568 550 4;
  • 120) 0,190 291 281 649 462 568 550 4 × 2 = 0 + 0,380 582 563 298 925 137 100 8;
  • 121) 0,380 582 563 298 925 137 100 8 × 2 = 0 + 0,761 165 126 597 850 274 201 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 003 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1001 0101 0111 0100 1000 1000 0100 1100 0000 1100 1110 1110 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 003 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1001 0101 0111 0100 1000 1000 0100 1100 0000 1100 1110 1110 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 69 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 003 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1001 0101 0111 0100 1000 1000 0100 1100 0000 1100 1110 1110 0(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 1001 0101 0111 0100 1000 1000 0100 1100 0000 1100 1110 1110 0(2) × 20 =

1,1111 0010 1010 1110 1001 0001 0000 1001 1000 0001 1001 1101 1100(2) × 2-69


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -69

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 0010 1010 1110 1001 0001 0000 1001 1000 0001 1001 1101 1100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-69 + 2(11-1) - 1 =

(-69 + 1 023)(10) =

954(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 954 : 2 = 477 + 0;
  • 477 : 2 = 238 + 1;
  • 238 : 2 = 119 + 0;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

954(10) =

011 1011 1010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 0010 1010 1110 1001 0001 0000 1001 1000 0001 1001 1101 1100 =

1111 0010 1010 1110 1001 0001 0000 1001 1000 0001 1001 1101 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1010

Mantisă (52 biți) =
1111 0010 1010 1110 1001 0001 0000 1001 1000 0001 1001 1101 1100


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 003 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1010 - 1111 0010 1010 1110 1001 0001 0000 1001 1000 0001 1001 1101 1100

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 012 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100