0,000 000 000 000 000 000 008 29 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 29(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 29(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 29.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 29 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 016 58;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 016 58 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 033 16;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 033 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 066 32;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 066 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 132 64;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 132 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 265 28;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 265 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 530 56;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 530 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 061 12;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 061 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 122 24;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 122 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 244 48;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 244 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 488 96;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 488 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 016 977 92;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 016 977 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 033 955 84;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 033 955 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 067 911 68;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 067 911 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 135 823 36;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 135 823 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 271 646 72;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 271 646 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 543 293 44;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 543 293 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 086 586 88;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 086 586 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 173 173 76;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 173 173 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 346 347 52;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 346 347 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 692 695 04;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 692 695 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 385 390 08;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 385 390 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 034 770 780 16;
  • 23) 0,000 000 000 000 034 770 780 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 069 541 560 32;
  • 24) 0,000 000 000 000 069 541 560 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 139 083 120 64;
  • 25) 0,000 000 000 000 139 083 120 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 278 166 241 28;
  • 26) 0,000 000 000 000 278 166 241 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 556 332 482 56;
  • 27) 0,000 000 000 000 556 332 482 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 112 664 965 12;
  • 28) 0,000 000 000 001 112 664 965 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 225 329 930 24;
  • 29) 0,000 000 000 002 225 329 930 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 450 659 860 48;
  • 30) 0,000 000 000 004 450 659 860 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 008 901 319 720 96;
  • 31) 0,000 000 000 008 901 319 720 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 017 802 639 441 92;
  • 32) 0,000 000 000 017 802 639 441 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 035 605 278 883 84;
  • 33) 0,000 000 000 035 605 278 883 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 071 210 557 767 68;
  • 34) 0,000 000 000 071 210 557 767 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 142 421 115 535 36;
  • 35) 0,000 000 000 142 421 115 535 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 284 842 231 070 72;
  • 36) 0,000 000 000 284 842 231 070 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 569 684 462 141 44;
  • 37) 0,000 000 000 569 684 462 141 44 × 2 = 0 + 0,000 000 001 139 368 924 282 88;
  • 38) 0,000 000 001 139 368 924 282 88 × 2 = 0 + 0,000 000 002 278 737 848 565 76;
  • 39) 0,000 000 002 278 737 848 565 76 × 2 = 0 + 0,000 000 004 557 475 697 131 52;
  • 40) 0,000 000 004 557 475 697 131 52 × 2 = 0 + 0,000 000 009 114 951 394 263 04;
  • 41) 0,000 000 009 114 951 394 263 04 × 2 = 0 + 0,000 000 018 229 902 788 526 08;
  • 42) 0,000 000 018 229 902 788 526 08 × 2 = 0 + 0,000 000 036 459 805 577 052 16;
  • 43) 0,000 000 036 459 805 577 052 16 × 2 = 0 + 0,000 000 072 919 611 154 104 32;
  • 44) 0,000 000 072 919 611 154 104 32 × 2 = 0 + 0,000 000 145 839 222 308 208 64;
  • 45) 0,000 000 145 839 222 308 208 64 × 2 = 0 + 0,000 000 291 678 444 616 417 28;
  • 46) 0,000 000 291 678 444 616 417 28 × 2 = 0 + 0,000 000 583 356 889 232 834 56;
  • 47) 0,000 000 583 356 889 232 834 56 × 2 = 0 + 0,000 001 166 713 778 465 669 12;
  • 48) 0,000 001 166 713 778 465 669 12 × 2 = 0 + 0,000 002 333 427 556 931 338 24;
  • 49) 0,000 002 333 427 556 931 338 24 × 2 = 0 + 0,000 004 666 855 113 862 676 48;
  • 50) 0,000 004 666 855 113 862 676 48 × 2 = 0 + 0,000 009 333 710 227 725 352 96;
  • 51) 0,000 009 333 710 227 725 352 96 × 2 = 0 + 0,000 018 667 420 455 450 705 92;
  • 52) 0,000 018 667 420 455 450 705 92 × 2 = 0 + 0,000 037 334 840 910 901 411 84;
  • 53) 0,000 037 334 840 910 901 411 84 × 2 = 0 + 0,000 074 669 681 821 802 823 68;
  • 54) 0,000 074 669 681 821 802 823 68 × 2 = 0 + 0,000 149 339 363 643 605 647 36;
  • 55) 0,000 149 339 363 643 605 647 36 × 2 = 0 + 0,000 298 678 727 287 211 294 72;
  • 56) 0,000 298 678 727 287 211 294 72 × 2 = 0 + 0,000 597 357 454 574 422 589 44;
  • 57) 0,000 597 357 454 574 422 589 44 × 2 = 0 + 0,001 194 714 909 148 845 178 88;
  • 58) 0,001 194 714 909 148 845 178 88 × 2 = 0 + 0,002 389 429 818 297 690 357 76;
  • 59) 0,002 389 429 818 297 690 357 76 × 2 = 0 + 0,004 778 859 636 595 380 715 52;
  • 60) 0,004 778 859 636 595 380 715 52 × 2 = 0 + 0,009 557 719 273 190 761 431 04;
  • 61) 0,009 557 719 273 190 761 431 04 × 2 = 0 + 0,019 115 438 546 381 522 862 08;
  • 62) 0,019 115 438 546 381 522 862 08 × 2 = 0 + 0,038 230 877 092 763 045 724 16;
  • 63) 0,038 230 877 092 763 045 724 16 × 2 = 0 + 0,076 461 754 185 526 091 448 32;
  • 64) 0,076 461 754 185 526 091 448 32 × 2 = 0 + 0,152 923 508 371 052 182 896 64;
  • 65) 0,152 923 508 371 052 182 896 64 × 2 = 0 + 0,305 847 016 742 104 365 793 28;
  • 66) 0,305 847 016 742 104 365 793 28 × 2 = 0 + 0,611 694 033 484 208 731 586 56;
  • 67) 0,611 694 033 484 208 731 586 56 × 2 = 1 + 0,223 388 066 968 417 463 173 12;
  • 68) 0,223 388 066 968 417 463 173 12 × 2 = 0 + 0,446 776 133 936 834 926 346 24;
  • 69) 0,446 776 133 936 834 926 346 24 × 2 = 0 + 0,893 552 267 873 669 852 692 48;
  • 70) 0,893 552 267 873 669 852 692 48 × 2 = 1 + 0,787 104 535 747 339 705 384 96;
  • 71) 0,787 104 535 747 339 705 384 96 × 2 = 1 + 0,574 209 071 494 679 410 769 92;
  • 72) 0,574 209 071 494 679 410 769 92 × 2 = 1 + 0,148 418 142 989 358 821 539 84;
  • 73) 0,148 418 142 989 358 821 539 84 × 2 = 0 + 0,296 836 285 978 717 643 079 68;
  • 74) 0,296 836 285 978 717 643 079 68 × 2 = 0 + 0,593 672 571 957 435 286 159 36;
  • 75) 0,593 672 571 957 435 286 159 36 × 2 = 1 + 0,187 345 143 914 870 572 318 72;
  • 76) 0,187 345 143 914 870 572 318 72 × 2 = 0 + 0,374 690 287 829 741 144 637 44;
  • 77) 0,374 690 287 829 741 144 637 44 × 2 = 0 + 0,749 380 575 659 482 289 274 88;
  • 78) 0,749 380 575 659 482 289 274 88 × 2 = 1 + 0,498 761 151 318 964 578 549 76;
  • 79) 0,498 761 151 318 964 578 549 76 × 2 = 0 + 0,997 522 302 637 929 157 099 52;
  • 80) 0,997 522 302 637 929 157 099 52 × 2 = 1 + 0,995 044 605 275 858 314 199 04;
  • 81) 0,995 044 605 275 858 314 199 04 × 2 = 1 + 0,990 089 210 551 716 628 398 08;
  • 82) 0,990 089 210 551 716 628 398 08 × 2 = 1 + 0,980 178 421 103 433 256 796 16;
  • 83) 0,980 178 421 103 433 256 796 16 × 2 = 1 + 0,960 356 842 206 866 513 592 32;
  • 84) 0,960 356 842 206 866 513 592 32 × 2 = 1 + 0,920 713 684 413 733 027 184 64;
  • 85) 0,920 713 684 413 733 027 184 64 × 2 = 1 + 0,841 427 368 827 466 054 369 28;
  • 86) 0,841 427 368 827 466 054 369 28 × 2 = 1 + 0,682 854 737 654 932 108 738 56;
  • 87) 0,682 854 737 654 932 108 738 56 × 2 = 1 + 0,365 709 475 309 864 217 477 12;
  • 88) 0,365 709 475 309 864 217 477 12 × 2 = 0 + 0,731 418 950 619 728 434 954 24;
  • 89) 0,731 418 950 619 728 434 954 24 × 2 = 1 + 0,462 837 901 239 456 869 908 48;
  • 90) 0,462 837 901 239 456 869 908 48 × 2 = 0 + 0,925 675 802 478 913 739 816 96;
  • 91) 0,925 675 802 478 913 739 816 96 × 2 = 1 + 0,851 351 604 957 827 479 633 92;
  • 92) 0,851 351 604 957 827 479 633 92 × 2 = 1 + 0,702 703 209 915 654 959 267 84;
  • 93) 0,702 703 209 915 654 959 267 84 × 2 = 1 + 0,405 406 419 831 309 918 535 68;
  • 94) 0,405 406 419 831 309 918 535 68 × 2 = 0 + 0,810 812 839 662 619 837 071 36;
  • 95) 0,810 812 839 662 619 837 071 36 × 2 = 1 + 0,621 625 679 325 239 674 142 72;
  • 96) 0,621 625 679 325 239 674 142 72 × 2 = 1 + 0,243 251 358 650 479 348 285 44;
  • 97) 0,243 251 358 650 479 348 285 44 × 2 = 0 + 0,486 502 717 300 958 696 570 88;
  • 98) 0,486 502 717 300 958 696 570 88 × 2 = 0 + 0,973 005 434 601 917 393 141 76;
  • 99) 0,973 005 434 601 917 393 141 76 × 2 = 1 + 0,946 010 869 203 834 786 283 52;
  • 100) 0,946 010 869 203 834 786 283 52 × 2 = 1 + 0,892 021 738 407 669 572 567 04;
  • 101) 0,892 021 738 407 669 572 567 04 × 2 = 1 + 0,784 043 476 815 339 145 134 08;
  • 102) 0,784 043 476 815 339 145 134 08 × 2 = 1 + 0,568 086 953 630 678 290 268 16;
  • 103) 0,568 086 953 630 678 290 268 16 × 2 = 1 + 0,136 173 907 261 356 580 536 32;
  • 104) 0,136 173 907 261 356 580 536 32 × 2 = 0 + 0,272 347 814 522 713 161 072 64;
  • 105) 0,272 347 814 522 713 161 072 64 × 2 = 0 + 0,544 695 629 045 426 322 145 28;
  • 106) 0,544 695 629 045 426 322 145 28 × 2 = 1 + 0,089 391 258 090 852 644 290 56;
  • 107) 0,089 391 258 090 852 644 290 56 × 2 = 0 + 0,178 782 516 181 705 288 581 12;
  • 108) 0,178 782 516 181 705 288 581 12 × 2 = 0 + 0,357 565 032 363 410 577 162 24;
  • 109) 0,357 565 032 363 410 577 162 24 × 2 = 0 + 0,715 130 064 726 821 154 324 48;
  • 110) 0,715 130 064 726 821 154 324 48 × 2 = 1 + 0,430 260 129 453 642 308 648 96;
  • 111) 0,430 260 129 453 642 308 648 96 × 2 = 0 + 0,860 520 258 907 284 617 297 92;
  • 112) 0,860 520 258 907 284 617 297 92 × 2 = 1 + 0,721 040 517 814 569 234 595 84;
  • 113) 0,721 040 517 814 569 234 595 84 × 2 = 1 + 0,442 081 035 629 138 469 191 68;
  • 114) 0,442 081 035 629 138 469 191 68 × 2 = 0 + 0,884 162 071 258 276 938 383 36;
  • 115) 0,884 162 071 258 276 938 383 36 × 2 = 1 + 0,768 324 142 516 553 876 766 72;
  • 116) 0,768 324 142 516 553 876 766 72 × 2 = 1 + 0,536 648 285 033 107 753 533 44;
  • 117) 0,536 648 285 033 107 753 533 44 × 2 = 1 + 0,073 296 570 066 215 507 066 88;
  • 118) 0,073 296 570 066 215 507 066 88 × 2 = 0 + 0,146 593 140 132 431 014 133 76;
  • 119) 0,146 593 140 132 431 014 133 76 × 2 = 0 + 0,293 186 280 264 862 028 267 52;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 29(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 0010 0101 1111 1110 1011 1011 0011 1110 0100 0101 1011 100(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 29(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 0010 0101 1111 1110 1011 1011 0011 1110 0100 0101 1011 100(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 29(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 0010 0101 1111 1110 1011 1011 0011 1110 0100 0101 1011 100(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 0010 0101 1111 1110 1011 1011 0011 1110 0100 0101 1011 100(2) × 20 =

1,0011 1001 0010 1111 1111 0101 1101 1001 1111 0010 0010 1101 1100(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1001 0010 1111 1111 0101 1101 1001 1111 0010 0010 1101 1100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1001 0010 1111 1111 0101 1101 1001 1111 0010 0010 1101 1100 =

0011 1001 0010 1111 1111 0101 1101 1001 1111 0010 0010 1101 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0011 1001 0010 1111 1111 0101 1101 1001 1111 0010 0010 1101 1100


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 29 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0011 1001 0010 1111 1111 0101 1101 1001 1111 0010 0010 1101 1100

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 25 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100