0,000 000 000 000 000 000 008 441 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 441(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 441(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 441.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 441 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 016 882;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 016 882 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 033 764;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 033 764 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 067 528;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 067 528 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 135 056;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 135 056 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 270 112;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 270 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 540 224;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 540 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 080 448;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 080 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 160 896;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 160 896 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 321 792;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 321 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 643 584;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 643 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 287 168;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 287 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 574 336;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 574 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 148 672;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 148 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 138 297 344;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 138 297 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 276 594 688;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 276 594 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 553 189 376;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 553 189 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 106 378 752;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 106 378 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 212 757 504;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 212 757 504 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 425 515 008;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 425 515 008 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 851 030 016;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 851 030 016 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 702 060 032;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 702 060 032 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 404 120 064;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 404 120 064 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 070 808 240 128;
  • 24) 0,000 000 000 000 070 808 240 128 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 141 616 480 256;
  • 25) 0,000 000 000 000 141 616 480 256 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 283 232 960 512;
  • 26) 0,000 000 000 000 283 232 960 512 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 566 465 921 024;
  • 27) 0,000 000 000 000 566 465 921 024 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 132 931 842 048;
  • 28) 0,000 000 000 001 132 931 842 048 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 265 863 684 096;
  • 29) 0,000 000 000 002 265 863 684 096 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 531 727 368 192;
  • 30) 0,000 000 000 004 531 727 368 192 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 063 454 736 384;
  • 31) 0,000 000 000 009 063 454 736 384 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 126 909 472 768;
  • 32) 0,000 000 000 018 126 909 472 768 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 253 818 945 536;
  • 33) 0,000 000 000 036 253 818 945 536 × 2 = 0 + 0,000 000 000 072 507 637 891 072;
  • 34) 0,000 000 000 072 507 637 891 072 × 2 = 0 + 0,000 000 000 145 015 275 782 144;
  • 35) 0,000 000 000 145 015 275 782 144 × 2 = 0 + 0,000 000 000 290 030 551 564 288;
  • 36) 0,000 000 000 290 030 551 564 288 × 2 = 0 + 0,000 000 000 580 061 103 128 576;
  • 37) 0,000 000 000 580 061 103 128 576 × 2 = 0 + 0,000 000 001 160 122 206 257 152;
  • 38) 0,000 000 001 160 122 206 257 152 × 2 = 0 + 0,000 000 002 320 244 412 514 304;
  • 39) 0,000 000 002 320 244 412 514 304 × 2 = 0 + 0,000 000 004 640 488 825 028 608;
  • 40) 0,000 000 004 640 488 825 028 608 × 2 = 0 + 0,000 000 009 280 977 650 057 216;
  • 41) 0,000 000 009 280 977 650 057 216 × 2 = 0 + 0,000 000 018 561 955 300 114 432;
  • 42) 0,000 000 018 561 955 300 114 432 × 2 = 0 + 0,000 000 037 123 910 600 228 864;
  • 43) 0,000 000 037 123 910 600 228 864 × 2 = 0 + 0,000 000 074 247 821 200 457 728;
  • 44) 0,000 000 074 247 821 200 457 728 × 2 = 0 + 0,000 000 148 495 642 400 915 456;
  • 45) 0,000 000 148 495 642 400 915 456 × 2 = 0 + 0,000 000 296 991 284 801 830 912;
  • 46) 0,000 000 296 991 284 801 830 912 × 2 = 0 + 0,000 000 593 982 569 603 661 824;
  • 47) 0,000 000 593 982 569 603 661 824 × 2 = 0 + 0,000 001 187 965 139 207 323 648;
  • 48) 0,000 001 187 965 139 207 323 648 × 2 = 0 + 0,000 002 375 930 278 414 647 296;
  • 49) 0,000 002 375 930 278 414 647 296 × 2 = 0 + 0,000 004 751 860 556 829 294 592;
  • 50) 0,000 004 751 860 556 829 294 592 × 2 = 0 + 0,000 009 503 721 113 658 589 184;
  • 51) 0,000 009 503 721 113 658 589 184 × 2 = 0 + 0,000 019 007 442 227 317 178 368;
  • 52) 0,000 019 007 442 227 317 178 368 × 2 = 0 + 0,000 038 014 884 454 634 356 736;
  • 53) 0,000 038 014 884 454 634 356 736 × 2 = 0 + 0,000 076 029 768 909 268 713 472;
  • 54) 0,000 076 029 768 909 268 713 472 × 2 = 0 + 0,000 152 059 537 818 537 426 944;
  • 55) 0,000 152 059 537 818 537 426 944 × 2 = 0 + 0,000 304 119 075 637 074 853 888;
  • 56) 0,000 304 119 075 637 074 853 888 × 2 = 0 + 0,000 608 238 151 274 149 707 776;
  • 57) 0,000 608 238 151 274 149 707 776 × 2 = 0 + 0,001 216 476 302 548 299 415 552;
  • 58) 0,001 216 476 302 548 299 415 552 × 2 = 0 + 0,002 432 952 605 096 598 831 104;
  • 59) 0,002 432 952 605 096 598 831 104 × 2 = 0 + 0,004 865 905 210 193 197 662 208;
  • 60) 0,004 865 905 210 193 197 662 208 × 2 = 0 + 0,009 731 810 420 386 395 324 416;
  • 61) 0,009 731 810 420 386 395 324 416 × 2 = 0 + 0,019 463 620 840 772 790 648 832;
  • 62) 0,019 463 620 840 772 790 648 832 × 2 = 0 + 0,038 927 241 681 545 581 297 664;
  • 63) 0,038 927 241 681 545 581 297 664 × 2 = 0 + 0,077 854 483 363 091 162 595 328;
  • 64) 0,077 854 483 363 091 162 595 328 × 2 = 0 + 0,155 708 966 726 182 325 190 656;
  • 65) 0,155 708 966 726 182 325 190 656 × 2 = 0 + 0,311 417 933 452 364 650 381 312;
  • 66) 0,311 417 933 452 364 650 381 312 × 2 = 0 + 0,622 835 866 904 729 300 762 624;
  • 67) 0,622 835 866 904 729 300 762 624 × 2 = 1 + 0,245 671 733 809 458 601 525 248;
  • 68) 0,245 671 733 809 458 601 525 248 × 2 = 0 + 0,491 343 467 618 917 203 050 496;
  • 69) 0,491 343 467 618 917 203 050 496 × 2 = 0 + 0,982 686 935 237 834 406 100 992;
  • 70) 0,982 686 935 237 834 406 100 992 × 2 = 1 + 0,965 373 870 475 668 812 201 984;
  • 71) 0,965 373 870 475 668 812 201 984 × 2 = 1 + 0,930 747 740 951 337 624 403 968;
  • 72) 0,930 747 740 951 337 624 403 968 × 2 = 1 + 0,861 495 481 902 675 248 807 936;
  • 73) 0,861 495 481 902 675 248 807 936 × 2 = 1 + 0,722 990 963 805 350 497 615 872;
  • 74) 0,722 990 963 805 350 497 615 872 × 2 = 1 + 0,445 981 927 610 700 995 231 744;
  • 75) 0,445 981 927 610 700 995 231 744 × 2 = 0 + 0,891 963 855 221 401 990 463 488;
  • 76) 0,891 963 855 221 401 990 463 488 × 2 = 1 + 0,783 927 710 442 803 980 926 976;
  • 77) 0,783 927 710 442 803 980 926 976 × 2 = 1 + 0,567 855 420 885 607 961 853 952;
  • 78) 0,567 855 420 885 607 961 853 952 × 2 = 1 + 0,135 710 841 771 215 923 707 904;
  • 79) 0,135 710 841 771 215 923 707 904 × 2 = 0 + 0,271 421 683 542 431 847 415 808;
  • 80) 0,271 421 683 542 431 847 415 808 × 2 = 0 + 0,542 843 367 084 863 694 831 616;
  • 81) 0,542 843 367 084 863 694 831 616 × 2 = 1 + 0,085 686 734 169 727 389 663 232;
  • 82) 0,085 686 734 169 727 389 663 232 × 2 = 0 + 0,171 373 468 339 454 779 326 464;
  • 83) 0,171 373 468 339 454 779 326 464 × 2 = 0 + 0,342 746 936 678 909 558 652 928;
  • 84) 0,342 746 936 678 909 558 652 928 × 2 = 0 + 0,685 493 873 357 819 117 305 856;
  • 85) 0,685 493 873 357 819 117 305 856 × 2 = 1 + 0,370 987 746 715 638 234 611 712;
  • 86) 0,370 987 746 715 638 234 611 712 × 2 = 0 + 0,741 975 493 431 276 469 223 424;
  • 87) 0,741 975 493 431 276 469 223 424 × 2 = 1 + 0,483 950 986 862 552 938 446 848;
  • 88) 0,483 950 986 862 552 938 446 848 × 2 = 0 + 0,967 901 973 725 105 876 893 696;
  • 89) 0,967 901 973 725 105 876 893 696 × 2 = 1 + 0,935 803 947 450 211 753 787 392;
  • 90) 0,935 803 947 450 211 753 787 392 × 2 = 1 + 0,871 607 894 900 423 507 574 784;
  • 91) 0,871 607 894 900 423 507 574 784 × 2 = 1 + 0,743 215 789 800 847 015 149 568;
  • 92) 0,743 215 789 800 847 015 149 568 × 2 = 1 + 0,486 431 579 601 694 030 299 136;
  • 93) 0,486 431 579 601 694 030 299 136 × 2 = 0 + 0,972 863 159 203 388 060 598 272;
  • 94) 0,972 863 159 203 388 060 598 272 × 2 = 1 + 0,945 726 318 406 776 121 196 544;
  • 95) 0,945 726 318 406 776 121 196 544 × 2 = 1 + 0,891 452 636 813 552 242 393 088;
  • 96) 0,891 452 636 813 552 242 393 088 × 2 = 1 + 0,782 905 273 627 104 484 786 176;
  • 97) 0,782 905 273 627 104 484 786 176 × 2 = 1 + 0,565 810 547 254 208 969 572 352;
  • 98) 0,565 810 547 254 208 969 572 352 × 2 = 1 + 0,131 621 094 508 417 939 144 704;
  • 99) 0,131 621 094 508 417 939 144 704 × 2 = 0 + 0,263 242 189 016 835 878 289 408;
  • 100) 0,263 242 189 016 835 878 289 408 × 2 = 0 + 0,526 484 378 033 671 756 578 816;
  • 101) 0,526 484 378 033 671 756 578 816 × 2 = 1 + 0,052 968 756 067 343 513 157 632;
  • 102) 0,052 968 756 067 343 513 157 632 × 2 = 0 + 0,105 937 512 134 687 026 315 264;
  • 103) 0,105 937 512 134 687 026 315 264 × 2 = 0 + 0,211 875 024 269 374 052 630 528;
  • 104) 0,211 875 024 269 374 052 630 528 × 2 = 0 + 0,423 750 048 538 748 105 261 056;
  • 105) 0,423 750 048 538 748 105 261 056 × 2 = 0 + 0,847 500 097 077 496 210 522 112;
  • 106) 0,847 500 097 077 496 210 522 112 × 2 = 1 + 0,695 000 194 154 992 421 044 224;
  • 107) 0,695 000 194 154 992 421 044 224 × 2 = 1 + 0,390 000 388 309 984 842 088 448;
  • 108) 0,390 000 388 309 984 842 088 448 × 2 = 0 + 0,780 000 776 619 969 684 176 896;
  • 109) 0,780 000 776 619 969 684 176 896 × 2 = 1 + 0,560 001 553 239 939 368 353 792;
  • 110) 0,560 001 553 239 939 368 353 792 × 2 = 1 + 0,120 003 106 479 878 736 707 584;
  • 111) 0,120 003 106 479 878 736 707 584 × 2 = 0 + 0,240 006 212 959 757 473 415 168;
  • 112) 0,240 006 212 959 757 473 415 168 × 2 = 0 + 0,480 012 425 919 514 946 830 336;
  • 113) 0,480 012 425 919 514 946 830 336 × 2 = 0 + 0,960 024 851 839 029 893 660 672;
  • 114) 0,960 024 851 839 029 893 660 672 × 2 = 1 + 0,920 049 703 678 059 787 321 344;
  • 115) 0,920 049 703 678 059 787 321 344 × 2 = 1 + 0,840 099 407 356 119 574 642 688;
  • 116) 0,840 099 407 356 119 574 642 688 × 2 = 1 + 0,680 198 814 712 239 149 285 376;
  • 117) 0,680 198 814 712 239 149 285 376 × 2 = 1 + 0,360 397 629 424 478 298 570 752;
  • 118) 0,360 397 629 424 478 298 570 752 × 2 = 0 + 0,720 795 258 848 956 597 141 504;
  • 119) 0,720 795 258 848 956 597 141 504 × 2 = 1 + 0,441 590 517 697 913 194 283 008;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 441(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1101 1100 1000 1010 1111 0111 1100 1000 0110 1100 0111 101(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 441(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1101 1100 1000 1010 1111 0111 1100 1000 0110 1100 0111 101(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 441(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1101 1100 1000 1010 1111 0111 1100 1000 0110 1100 0111 101(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1101 1100 1000 1010 1111 0111 1100 1000 0110 1100 0111 101(2) × 20 =

1,0011 1110 1110 0100 0101 0111 1011 1110 0100 0011 0110 0011 1101(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1110 1110 0100 0101 0111 1011 1110 0100 0011 0110 0011 1101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1110 1110 0100 0101 0111 1011 1110 0100 0011 0110 0011 1101 =

0011 1110 1110 0100 0101 0111 1011 1110 0100 0011 0110 0011 1101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0011 1110 1110 0100 0101 0111 1011 1110 0100 0011 0110 0011 1101


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 441 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0011 1110 1110 0100 0101 0111 1011 1110 0100 0011 0110 0011 1101

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 509 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100