0,000 000 000 000 000 000 008 509 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 509(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 509(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 509.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 509 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 018;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 018 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 036;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 036 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 072;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 072 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 144;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 144 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 272 288;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 272 288 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 544 576;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 544 576 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 089 152;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 089 152 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 178 304;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 178 304 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 356 608;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 356 608 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 713 216;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 713 216 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 426 432;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 426 432 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 852 864;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 852 864 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 705 728;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 705 728 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 411 456;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 411 456 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 278 822 912;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 278 822 912 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 557 645 824;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 557 645 824 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 115 291 648;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 115 291 648 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 230 583 296;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 230 583 296 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 461 166 592;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 461 166 592 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 922 333 184;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 922 333 184 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 844 666 368;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 844 666 368 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 689 332 736;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 689 332 736 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 378 665 472;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 378 665 472 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 142 757 330 944;
  • 25) 0,000 000 000 000 142 757 330 944 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 285 514 661 888;
  • 26) 0,000 000 000 000 285 514 661 888 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 571 029 323 776;
  • 27) 0,000 000 000 000 571 029 323 776 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 142 058 647 552;
  • 28) 0,000 000 000 001 142 058 647 552 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 284 117 295 104;
  • 29) 0,000 000 000 002 284 117 295 104 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 568 234 590 208;
  • 30) 0,000 000 000 004 568 234 590 208 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 136 469 180 416;
  • 31) 0,000 000 000 009 136 469 180 416 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 272 938 360 832;
  • 32) 0,000 000 000 018 272 938 360 832 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 545 876 721 664;
  • 33) 0,000 000 000 036 545 876 721 664 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 091 753 443 328;
  • 34) 0,000 000 000 073 091 753 443 328 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 183 506 886 656;
  • 35) 0,000 000 000 146 183 506 886 656 × 2 = 0 + 0,000 000 000 292 367 013 773 312;
  • 36) 0,000 000 000 292 367 013 773 312 × 2 = 0 + 0,000 000 000 584 734 027 546 624;
  • 37) 0,000 000 000 584 734 027 546 624 × 2 = 0 + 0,000 000 001 169 468 055 093 248;
  • 38) 0,000 000 001 169 468 055 093 248 × 2 = 0 + 0,000 000 002 338 936 110 186 496;
  • 39) 0,000 000 002 338 936 110 186 496 × 2 = 0 + 0,000 000 004 677 872 220 372 992;
  • 40) 0,000 000 004 677 872 220 372 992 × 2 = 0 + 0,000 000 009 355 744 440 745 984;
  • 41) 0,000 000 009 355 744 440 745 984 × 2 = 0 + 0,000 000 018 711 488 881 491 968;
  • 42) 0,000 000 018 711 488 881 491 968 × 2 = 0 + 0,000 000 037 422 977 762 983 936;
  • 43) 0,000 000 037 422 977 762 983 936 × 2 = 0 + 0,000 000 074 845 955 525 967 872;
  • 44) 0,000 000 074 845 955 525 967 872 × 2 = 0 + 0,000 000 149 691 911 051 935 744;
  • 45) 0,000 000 149 691 911 051 935 744 × 2 = 0 + 0,000 000 299 383 822 103 871 488;
  • 46) 0,000 000 299 383 822 103 871 488 × 2 = 0 + 0,000 000 598 767 644 207 742 976;
  • 47) 0,000 000 598 767 644 207 742 976 × 2 = 0 + 0,000 001 197 535 288 415 485 952;
  • 48) 0,000 001 197 535 288 415 485 952 × 2 = 0 + 0,000 002 395 070 576 830 971 904;
  • 49) 0,000 002 395 070 576 830 971 904 × 2 = 0 + 0,000 004 790 141 153 661 943 808;
  • 50) 0,000 004 790 141 153 661 943 808 × 2 = 0 + 0,000 009 580 282 307 323 887 616;
  • 51) 0,000 009 580 282 307 323 887 616 × 2 = 0 + 0,000 019 160 564 614 647 775 232;
  • 52) 0,000 019 160 564 614 647 775 232 × 2 = 0 + 0,000 038 321 129 229 295 550 464;
  • 53) 0,000 038 321 129 229 295 550 464 × 2 = 0 + 0,000 076 642 258 458 591 100 928;
  • 54) 0,000 076 642 258 458 591 100 928 × 2 = 0 + 0,000 153 284 516 917 182 201 856;
  • 55) 0,000 153 284 516 917 182 201 856 × 2 = 0 + 0,000 306 569 033 834 364 403 712;
  • 56) 0,000 306 569 033 834 364 403 712 × 2 = 0 + 0,000 613 138 067 668 728 807 424;
  • 57) 0,000 613 138 067 668 728 807 424 × 2 = 0 + 0,001 226 276 135 337 457 614 848;
  • 58) 0,001 226 276 135 337 457 614 848 × 2 = 0 + 0,002 452 552 270 674 915 229 696;
  • 59) 0,002 452 552 270 674 915 229 696 × 2 = 0 + 0,004 905 104 541 349 830 459 392;
  • 60) 0,004 905 104 541 349 830 459 392 × 2 = 0 + 0,009 810 209 082 699 660 918 784;
  • 61) 0,009 810 209 082 699 660 918 784 × 2 = 0 + 0,019 620 418 165 399 321 837 568;
  • 62) 0,019 620 418 165 399 321 837 568 × 2 = 0 + 0,039 240 836 330 798 643 675 136;
  • 63) 0,039 240 836 330 798 643 675 136 × 2 = 0 + 0,078 481 672 661 597 287 350 272;
  • 64) 0,078 481 672 661 597 287 350 272 × 2 = 0 + 0,156 963 345 323 194 574 700 544;
  • 65) 0,156 963 345 323 194 574 700 544 × 2 = 0 + 0,313 926 690 646 389 149 401 088;
  • 66) 0,313 926 690 646 389 149 401 088 × 2 = 0 + 0,627 853 381 292 778 298 802 176;
  • 67) 0,627 853 381 292 778 298 802 176 × 2 = 1 + 0,255 706 762 585 556 597 604 352;
  • 68) 0,255 706 762 585 556 597 604 352 × 2 = 0 + 0,511 413 525 171 113 195 208 704;
  • 69) 0,511 413 525 171 113 195 208 704 × 2 = 1 + 0,022 827 050 342 226 390 417 408;
  • 70) 0,022 827 050 342 226 390 417 408 × 2 = 0 + 0,045 654 100 684 452 780 834 816;
  • 71) 0,045 654 100 684 452 780 834 816 × 2 = 0 + 0,091 308 201 368 905 561 669 632;
  • 72) 0,091 308 201 368 905 561 669 632 × 2 = 0 + 0,182 616 402 737 811 123 339 264;
  • 73) 0,182 616 402 737 811 123 339 264 × 2 = 0 + 0,365 232 805 475 622 246 678 528;
  • 74) 0,365 232 805 475 622 246 678 528 × 2 = 0 + 0,730 465 610 951 244 493 357 056;
  • 75) 0,730 465 610 951 244 493 357 056 × 2 = 1 + 0,460 931 221 902 488 986 714 112;
  • 76) 0,460 931 221 902 488 986 714 112 × 2 = 0 + 0,921 862 443 804 977 973 428 224;
  • 77) 0,921 862 443 804 977 973 428 224 × 2 = 1 + 0,843 724 887 609 955 946 856 448;
  • 78) 0,843 724 887 609 955 946 856 448 × 2 = 1 + 0,687 449 775 219 911 893 712 896;
  • 79) 0,687 449 775 219 911 893 712 896 × 2 = 1 + 0,374 899 550 439 823 787 425 792;
  • 80) 0,374 899 550 439 823 787 425 792 × 2 = 0 + 0,749 799 100 879 647 574 851 584;
  • 81) 0,749 799 100 879 647 574 851 584 × 2 = 1 + 0,499 598 201 759 295 149 703 168;
  • 82) 0,499 598 201 759 295 149 703 168 × 2 = 0 + 0,999 196 403 518 590 299 406 336;
  • 83) 0,999 196 403 518 590 299 406 336 × 2 = 1 + 0,998 392 807 037 180 598 812 672;
  • 84) 0,998 392 807 037 180 598 812 672 × 2 = 1 + 0,996 785 614 074 361 197 625 344;
  • 85) 0,996 785 614 074 361 197 625 344 × 2 = 1 + 0,993 571 228 148 722 395 250 688;
  • 86) 0,993 571 228 148 722 395 250 688 × 2 = 1 + 0,987 142 456 297 444 790 501 376;
  • 87) 0,987 142 456 297 444 790 501 376 × 2 = 1 + 0,974 284 912 594 889 581 002 752;
  • 88) 0,974 284 912 594 889 581 002 752 × 2 = 1 + 0,948 569 825 189 779 162 005 504;
  • 89) 0,948 569 825 189 779 162 005 504 × 2 = 1 + 0,897 139 650 379 558 324 011 008;
  • 90) 0,897 139 650 379 558 324 011 008 × 2 = 1 + 0,794 279 300 759 116 648 022 016;
  • 91) 0,794 279 300 759 116 648 022 016 × 2 = 1 + 0,588 558 601 518 233 296 044 032;
  • 92) 0,588 558 601 518 233 296 044 032 × 2 = 1 + 0,177 117 203 036 466 592 088 064;
  • 93) 0,177 117 203 036 466 592 088 064 × 2 = 0 + 0,354 234 406 072 933 184 176 128;
  • 94) 0,354 234 406 072 933 184 176 128 × 2 = 0 + 0,708 468 812 145 866 368 352 256;
  • 95) 0,708 468 812 145 866 368 352 256 × 2 = 1 + 0,416 937 624 291 732 736 704 512;
  • 96) 0,416 937 624 291 732 736 704 512 × 2 = 0 + 0,833 875 248 583 465 473 409 024;
  • 97) 0,833 875 248 583 465 473 409 024 × 2 = 1 + 0,667 750 497 166 930 946 818 048;
  • 98) 0,667 750 497 166 930 946 818 048 × 2 = 1 + 0,335 500 994 333 861 893 636 096;
  • 99) 0,335 500 994 333 861 893 636 096 × 2 = 0 + 0,671 001 988 667 723 787 272 192;
  • 100) 0,671 001 988 667 723 787 272 192 × 2 = 1 + 0,342 003 977 335 447 574 544 384;
  • 101) 0,342 003 977 335 447 574 544 384 × 2 = 0 + 0,684 007 954 670 895 149 088 768;
  • 102) 0,684 007 954 670 895 149 088 768 × 2 = 1 + 0,368 015 909 341 790 298 177 536;
  • 103) 0,368 015 909 341 790 298 177 536 × 2 = 0 + 0,736 031 818 683 580 596 355 072;
  • 104) 0,736 031 818 683 580 596 355 072 × 2 = 1 + 0,472 063 637 367 161 192 710 144;
  • 105) 0,472 063 637 367 161 192 710 144 × 2 = 0 + 0,944 127 274 734 322 385 420 288;
  • 106) 0,944 127 274 734 322 385 420 288 × 2 = 1 + 0,888 254 549 468 644 770 840 576;
  • 107) 0,888 254 549 468 644 770 840 576 × 2 = 1 + 0,776 509 098 937 289 541 681 152;
  • 108) 0,776 509 098 937 289 541 681 152 × 2 = 1 + 0,553 018 197 874 579 083 362 304;
  • 109) 0,553 018 197 874 579 083 362 304 × 2 = 1 + 0,106 036 395 749 158 166 724 608;
  • 110) 0,106 036 395 749 158 166 724 608 × 2 = 0 + 0,212 072 791 498 316 333 449 216;
  • 111) 0,212 072 791 498 316 333 449 216 × 2 = 0 + 0,424 145 582 996 632 666 898 432;
  • 112) 0,424 145 582 996 632 666 898 432 × 2 = 0 + 0,848 291 165 993 265 333 796 864;
  • 113) 0,848 291 165 993 265 333 796 864 × 2 = 1 + 0,696 582 331 986 530 667 593 728;
  • 114) 0,696 582 331 986 530 667 593 728 × 2 = 1 + 0,393 164 663 973 061 335 187 456;
  • 115) 0,393 164 663 973 061 335 187 456 × 2 = 0 + 0,786 329 327 946 122 670 374 912;
  • 116) 0,786 329 327 946 122 670 374 912 × 2 = 1 + 0,572 658 655 892 245 340 749 824;
  • 117) 0,572 658 655 892 245 340 749 824 × 2 = 1 + 0,145 317 311 784 490 681 499 648;
  • 118) 0,145 317 311 784 490 681 499 648 × 2 = 0 + 0,290 634 623 568 981 362 999 296;
  • 119) 0,290 634 623 568 981 362 999 296 × 2 = 0 + 0,581 269 247 137 962 725 998 592;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 509(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0010 1110 1011 1111 1111 0010 1101 0101 0111 1000 1101 100(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 509(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0010 1110 1011 1111 1111 0010 1101 0101 0111 1000 1101 100(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 509(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0010 1110 1011 1111 1111 0010 1101 0101 0111 1000 1101 100(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0010 1110 1011 1111 1111 0010 1101 0101 0111 1000 1101 100(2) × 20 =

1,0100 0001 0111 0101 1111 1111 1001 0110 1010 1011 1100 0110 1100(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0001 0111 0101 1111 1111 1001 0110 1010 1011 1100 0110 1100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0001 0111 0101 1111 1111 1001 0110 1010 1011 1100 0110 1100 =

0100 0001 0111 0101 1111 1111 1001 0110 1010 1011 1100 0110 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0001 0111 0101 1111 1111 1001 0110 1010 1011 1100 0110 1100


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 509 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0001 0111 0101 1111 1111 1001 0110 1010 1011 1100 0110 1100

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 527 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100