0,000 000 000 000 000 000 008 469 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 469(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 469(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 469.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 469 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 016 938;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 016 938 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 033 876;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 033 876 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 067 752;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 067 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 135 504;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 135 504 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 271 008;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 271 008 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 542 016;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 542 016 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 084 032;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 084 032 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 168 064;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 168 064 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 336 128;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 336 128 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 672 256;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 672 256 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 344 512;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 344 512 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 689 024;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 689 024 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 378 048;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 378 048 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 138 756 096;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 138 756 096 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 277 512 192;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 277 512 192 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 555 024 384;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 555 024 384 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 110 048 768;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 110 048 768 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 220 097 536;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 220 097 536 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 440 195 072;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 440 195 072 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 880 390 144;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 880 390 144 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 760 780 288;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 760 780 288 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 521 560 576;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 521 560 576 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 043 121 152;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 043 121 152 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 142 086 242 304;
  • 25) 0,000 000 000 000 142 086 242 304 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 284 172 484 608;
  • 26) 0,000 000 000 000 284 172 484 608 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 568 344 969 216;
  • 27) 0,000 000 000 000 568 344 969 216 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 136 689 938 432;
  • 28) 0,000 000 000 001 136 689 938 432 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 273 379 876 864;
  • 29) 0,000 000 000 002 273 379 876 864 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 546 759 753 728;
  • 30) 0,000 000 000 004 546 759 753 728 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 093 519 507 456;
  • 31) 0,000 000 000 009 093 519 507 456 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 187 039 014 912;
  • 32) 0,000 000 000 018 187 039 014 912 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 374 078 029 824;
  • 33) 0,000 000 000 036 374 078 029 824 × 2 = 0 + 0,000 000 000 072 748 156 059 648;
  • 34) 0,000 000 000 072 748 156 059 648 × 2 = 0 + 0,000 000 000 145 496 312 119 296;
  • 35) 0,000 000 000 145 496 312 119 296 × 2 = 0 + 0,000 000 000 290 992 624 238 592;
  • 36) 0,000 000 000 290 992 624 238 592 × 2 = 0 + 0,000 000 000 581 985 248 477 184;
  • 37) 0,000 000 000 581 985 248 477 184 × 2 = 0 + 0,000 000 001 163 970 496 954 368;
  • 38) 0,000 000 001 163 970 496 954 368 × 2 = 0 + 0,000 000 002 327 940 993 908 736;
  • 39) 0,000 000 002 327 940 993 908 736 × 2 = 0 + 0,000 000 004 655 881 987 817 472;
  • 40) 0,000 000 004 655 881 987 817 472 × 2 = 0 + 0,000 000 009 311 763 975 634 944;
  • 41) 0,000 000 009 311 763 975 634 944 × 2 = 0 + 0,000 000 018 623 527 951 269 888;
  • 42) 0,000 000 018 623 527 951 269 888 × 2 = 0 + 0,000 000 037 247 055 902 539 776;
  • 43) 0,000 000 037 247 055 902 539 776 × 2 = 0 + 0,000 000 074 494 111 805 079 552;
  • 44) 0,000 000 074 494 111 805 079 552 × 2 = 0 + 0,000 000 148 988 223 610 159 104;
  • 45) 0,000 000 148 988 223 610 159 104 × 2 = 0 + 0,000 000 297 976 447 220 318 208;
  • 46) 0,000 000 297 976 447 220 318 208 × 2 = 0 + 0,000 000 595 952 894 440 636 416;
  • 47) 0,000 000 595 952 894 440 636 416 × 2 = 0 + 0,000 001 191 905 788 881 272 832;
  • 48) 0,000 001 191 905 788 881 272 832 × 2 = 0 + 0,000 002 383 811 577 762 545 664;
  • 49) 0,000 002 383 811 577 762 545 664 × 2 = 0 + 0,000 004 767 623 155 525 091 328;
  • 50) 0,000 004 767 623 155 525 091 328 × 2 = 0 + 0,000 009 535 246 311 050 182 656;
  • 51) 0,000 009 535 246 311 050 182 656 × 2 = 0 + 0,000 019 070 492 622 100 365 312;
  • 52) 0,000 019 070 492 622 100 365 312 × 2 = 0 + 0,000 038 140 985 244 200 730 624;
  • 53) 0,000 038 140 985 244 200 730 624 × 2 = 0 + 0,000 076 281 970 488 401 461 248;
  • 54) 0,000 076 281 970 488 401 461 248 × 2 = 0 + 0,000 152 563 940 976 802 922 496;
  • 55) 0,000 152 563 940 976 802 922 496 × 2 = 0 + 0,000 305 127 881 953 605 844 992;
  • 56) 0,000 305 127 881 953 605 844 992 × 2 = 0 + 0,000 610 255 763 907 211 689 984;
  • 57) 0,000 610 255 763 907 211 689 984 × 2 = 0 + 0,001 220 511 527 814 423 379 968;
  • 58) 0,001 220 511 527 814 423 379 968 × 2 = 0 + 0,002 441 023 055 628 846 759 936;
  • 59) 0,002 441 023 055 628 846 759 936 × 2 = 0 + 0,004 882 046 111 257 693 519 872;
  • 60) 0,004 882 046 111 257 693 519 872 × 2 = 0 + 0,009 764 092 222 515 387 039 744;
  • 61) 0,009 764 092 222 515 387 039 744 × 2 = 0 + 0,019 528 184 445 030 774 079 488;
  • 62) 0,019 528 184 445 030 774 079 488 × 2 = 0 + 0,039 056 368 890 061 548 158 976;
  • 63) 0,039 056 368 890 061 548 158 976 × 2 = 0 + 0,078 112 737 780 123 096 317 952;
  • 64) 0,078 112 737 780 123 096 317 952 × 2 = 0 + 0,156 225 475 560 246 192 635 904;
  • 65) 0,156 225 475 560 246 192 635 904 × 2 = 0 + 0,312 450 951 120 492 385 271 808;
  • 66) 0,312 450 951 120 492 385 271 808 × 2 = 0 + 0,624 901 902 240 984 770 543 616;
  • 67) 0,624 901 902 240 984 770 543 616 × 2 = 1 + 0,249 803 804 481 969 541 087 232;
  • 68) 0,249 803 804 481 969 541 087 232 × 2 = 0 + 0,499 607 608 963 939 082 174 464;
  • 69) 0,499 607 608 963 939 082 174 464 × 2 = 0 + 0,999 215 217 927 878 164 348 928;
  • 70) 0,999 215 217 927 878 164 348 928 × 2 = 1 + 0,998 430 435 855 756 328 697 856;
  • 71) 0,998 430 435 855 756 328 697 856 × 2 = 1 + 0,996 860 871 711 512 657 395 712;
  • 72) 0,996 860 871 711 512 657 395 712 × 2 = 1 + 0,993 721 743 423 025 314 791 424;
  • 73) 0,993 721 743 423 025 314 791 424 × 2 = 1 + 0,987 443 486 846 050 629 582 848;
  • 74) 0,987 443 486 846 050 629 582 848 × 2 = 1 + 0,974 886 973 692 101 259 165 696;
  • 75) 0,974 886 973 692 101 259 165 696 × 2 = 1 + 0,949 773 947 384 202 518 331 392;
  • 76) 0,949 773 947 384 202 518 331 392 × 2 = 1 + 0,899 547 894 768 405 036 662 784;
  • 77) 0,899 547 894 768 405 036 662 784 × 2 = 1 + 0,799 095 789 536 810 073 325 568;
  • 78) 0,799 095 789 536 810 073 325 568 × 2 = 1 + 0,598 191 579 073 620 146 651 136;
  • 79) 0,598 191 579 073 620 146 651 136 × 2 = 1 + 0,196 383 158 147 240 293 302 272;
  • 80) 0,196 383 158 147 240 293 302 272 × 2 = 0 + 0,392 766 316 294 480 586 604 544;
  • 81) 0,392 766 316 294 480 586 604 544 × 2 = 0 + 0,785 532 632 588 961 173 209 088;
  • 82) 0,785 532 632 588 961 173 209 088 × 2 = 1 + 0,571 065 265 177 922 346 418 176;
  • 83) 0,571 065 265 177 922 346 418 176 × 2 = 1 + 0,142 130 530 355 844 692 836 352;
  • 84) 0,142 130 530 355 844 692 836 352 × 2 = 0 + 0,284 261 060 711 689 385 672 704;
  • 85) 0,284 261 060 711 689 385 672 704 × 2 = 0 + 0,568 522 121 423 378 771 345 408;
  • 86) 0,568 522 121 423 378 771 345 408 × 2 = 1 + 0,137 044 242 846 757 542 690 816;
  • 87) 0,137 044 242 846 757 542 690 816 × 2 = 0 + 0,274 088 485 693 515 085 381 632;
  • 88) 0,274 088 485 693 515 085 381 632 × 2 = 0 + 0,548 176 971 387 030 170 763 264;
  • 89) 0,548 176 971 387 030 170 763 264 × 2 = 1 + 0,096 353 942 774 060 341 526 528;
  • 90) 0,096 353 942 774 060 341 526 528 × 2 = 0 + 0,192 707 885 548 120 683 053 056;
  • 91) 0,192 707 885 548 120 683 053 056 × 2 = 0 + 0,385 415 771 096 241 366 106 112;
  • 92) 0,385 415 771 096 241 366 106 112 × 2 = 0 + 0,770 831 542 192 482 732 212 224;
  • 93) 0,770 831 542 192 482 732 212 224 × 2 = 1 + 0,541 663 084 384 965 464 424 448;
  • 94) 0,541 663 084 384 965 464 424 448 × 2 = 1 + 0,083 326 168 769 930 928 848 896;
  • 95) 0,083 326 168 769 930 928 848 896 × 2 = 0 + 0,166 652 337 539 861 857 697 792;
  • 96) 0,166 652 337 539 861 857 697 792 × 2 = 0 + 0,333 304 675 079 723 715 395 584;
  • 97) 0,333 304 675 079 723 715 395 584 × 2 = 0 + 0,666 609 350 159 447 430 791 168;
  • 98) 0,666 609 350 159 447 430 791 168 × 2 = 1 + 0,333 218 700 318 894 861 582 336;
  • 99) 0,333 218 700 318 894 861 582 336 × 2 = 0 + 0,666 437 400 637 789 723 164 672;
  • 100) 0,666 437 400 637 789 723 164 672 × 2 = 1 + 0,332 874 801 275 579 446 329 344;
  • 101) 0,332 874 801 275 579 446 329 344 × 2 = 0 + 0,665 749 602 551 158 892 658 688;
  • 102) 0,665 749 602 551 158 892 658 688 × 2 = 1 + 0,331 499 205 102 317 785 317 376;
  • 103) 0,331 499 205 102 317 785 317 376 × 2 = 0 + 0,662 998 410 204 635 570 634 752;
  • 104) 0,662 998 410 204 635 570 634 752 × 2 = 1 + 0,325 996 820 409 271 141 269 504;
  • 105) 0,325 996 820 409 271 141 269 504 × 2 = 0 + 0,651 993 640 818 542 282 539 008;
  • 106) 0,651 993 640 818 542 282 539 008 × 2 = 1 + 0,303 987 281 637 084 565 078 016;
  • 107) 0,303 987 281 637 084 565 078 016 × 2 = 0 + 0,607 974 563 274 169 130 156 032;
  • 108) 0,607 974 563 274 169 130 156 032 × 2 = 1 + 0,215 949 126 548 338 260 312 064;
  • 109) 0,215 949 126 548 338 260 312 064 × 2 = 0 + 0,431 898 253 096 676 520 624 128;
  • 110) 0,431 898 253 096 676 520 624 128 × 2 = 0 + 0,863 796 506 193 353 041 248 256;
  • 111) 0,863 796 506 193 353 041 248 256 × 2 = 1 + 0,727 593 012 386 706 082 496 512;
  • 112) 0,727 593 012 386 706 082 496 512 × 2 = 1 + 0,455 186 024 773 412 164 993 024;
  • 113) 0,455 186 024 773 412 164 993 024 × 2 = 0 + 0,910 372 049 546 824 329 986 048;
  • 114) 0,910 372 049 546 824 329 986 048 × 2 = 1 + 0,820 744 099 093 648 659 972 096;
  • 115) 0,820 744 099 093 648 659 972 096 × 2 = 1 + 0,641 488 198 187 297 319 944 192;
  • 116) 0,641 488 198 187 297 319 944 192 × 2 = 1 + 0,282 976 396 374 594 639 888 384;
  • 117) 0,282 976 396 374 594 639 888 384 × 2 = 0 + 0,565 952 792 749 189 279 776 768;
  • 118) 0,565 952 792 749 189 279 776 768 × 2 = 1 + 0,131 905 585 498 378 559 553 536;
  • 119) 0,131 905 585 498 378 559 553 536 × 2 = 0 + 0,263 811 170 996 757 119 107 072;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 469(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 1110 0110 0100 1000 1100 0101 0101 0101 0011 0111 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 469(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 1110 0110 0100 1000 1100 0101 0101 0101 0011 0111 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 469(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 1110 0110 0100 1000 1100 0101 0101 0101 0011 0111 010(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 1110 0110 0100 1000 1100 0101 0101 0101 0011 0111 010(2) × 20 =

1,0011 1111 1111 0011 0010 0100 0110 0010 1010 1010 1001 1011 1010(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1111 1111 0011 0010 0100 0110 0010 1010 1010 1001 1011 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1111 1111 0011 0010 0100 0110 0010 1010 1010 1001 1011 1010 =

0011 1111 1111 0011 0010 0100 0110 0010 1010 1010 1001 1011 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0011 1111 1111 0011 0010 0100 0110 0010 1010 1010 1001 1011 1010


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 469 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0011 1111 1111 0011 0010 0100 0110 0010 1010 1010 1001 1011 1010

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 539 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100