0,000 000 000 000 000 000 008 539 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 539(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 539(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 539.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 539 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 078;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 078 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 156;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 156 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 312;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 312 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 624;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 624 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 273 248;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 273 248 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 546 496;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 546 496 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 092 992;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 092 992 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 185 984;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 185 984 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 371 968;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 371 968 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 743 936;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 743 936 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 487 872;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 487 872 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 975 744;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 975 744 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 951 488;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 951 488 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 902 976;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 902 976 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 279 805 952;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 279 805 952 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 559 611 904;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 559 611 904 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 119 223 808;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 119 223 808 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 238 447 616;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 238 447 616 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 476 895 232;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 476 895 232 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 953 790 464;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 953 790 464 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 907 580 928;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 907 580 928 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 815 161 856;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 815 161 856 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 630 323 712;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 630 323 712 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 260 647 424;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 260 647 424 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 286 521 294 848;
  • 26) 0,000 000 000 000 286 521 294 848 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 573 042 589 696;
  • 27) 0,000 000 000 000 573 042 589 696 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 146 085 179 392;
  • 28) 0,000 000 000 001 146 085 179 392 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 292 170 358 784;
  • 29) 0,000 000 000 002 292 170 358 784 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 584 340 717 568;
  • 30) 0,000 000 000 004 584 340 717 568 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 168 681 435 136;
  • 31) 0,000 000 000 009 168 681 435 136 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 337 362 870 272;
  • 32) 0,000 000 000 018 337 362 870 272 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 674 725 740 544;
  • 33) 0,000 000 000 036 674 725 740 544 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 349 451 481 088;
  • 34) 0,000 000 000 073 349 451 481 088 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 698 902 962 176;
  • 35) 0,000 000 000 146 698 902 962 176 × 2 = 0 + 0,000 000 000 293 397 805 924 352;
  • 36) 0,000 000 000 293 397 805 924 352 × 2 = 0 + 0,000 000 000 586 795 611 848 704;
  • 37) 0,000 000 000 586 795 611 848 704 × 2 = 0 + 0,000 000 001 173 591 223 697 408;
  • 38) 0,000 000 001 173 591 223 697 408 × 2 = 0 + 0,000 000 002 347 182 447 394 816;
  • 39) 0,000 000 002 347 182 447 394 816 × 2 = 0 + 0,000 000 004 694 364 894 789 632;
  • 40) 0,000 000 004 694 364 894 789 632 × 2 = 0 + 0,000 000 009 388 729 789 579 264;
  • 41) 0,000 000 009 388 729 789 579 264 × 2 = 0 + 0,000 000 018 777 459 579 158 528;
  • 42) 0,000 000 018 777 459 579 158 528 × 2 = 0 + 0,000 000 037 554 919 158 317 056;
  • 43) 0,000 000 037 554 919 158 317 056 × 2 = 0 + 0,000 000 075 109 838 316 634 112;
  • 44) 0,000 000 075 109 838 316 634 112 × 2 = 0 + 0,000 000 150 219 676 633 268 224;
  • 45) 0,000 000 150 219 676 633 268 224 × 2 = 0 + 0,000 000 300 439 353 266 536 448;
  • 46) 0,000 000 300 439 353 266 536 448 × 2 = 0 + 0,000 000 600 878 706 533 072 896;
  • 47) 0,000 000 600 878 706 533 072 896 × 2 = 0 + 0,000 001 201 757 413 066 145 792;
  • 48) 0,000 001 201 757 413 066 145 792 × 2 = 0 + 0,000 002 403 514 826 132 291 584;
  • 49) 0,000 002 403 514 826 132 291 584 × 2 = 0 + 0,000 004 807 029 652 264 583 168;
  • 50) 0,000 004 807 029 652 264 583 168 × 2 = 0 + 0,000 009 614 059 304 529 166 336;
  • 51) 0,000 009 614 059 304 529 166 336 × 2 = 0 + 0,000 019 228 118 609 058 332 672;
  • 52) 0,000 019 228 118 609 058 332 672 × 2 = 0 + 0,000 038 456 237 218 116 665 344;
  • 53) 0,000 038 456 237 218 116 665 344 × 2 = 0 + 0,000 076 912 474 436 233 330 688;
  • 54) 0,000 076 912 474 436 233 330 688 × 2 = 0 + 0,000 153 824 948 872 466 661 376;
  • 55) 0,000 153 824 948 872 466 661 376 × 2 = 0 + 0,000 307 649 897 744 933 322 752;
  • 56) 0,000 307 649 897 744 933 322 752 × 2 = 0 + 0,000 615 299 795 489 866 645 504;
  • 57) 0,000 615 299 795 489 866 645 504 × 2 = 0 + 0,001 230 599 590 979 733 291 008;
  • 58) 0,001 230 599 590 979 733 291 008 × 2 = 0 + 0,002 461 199 181 959 466 582 016;
  • 59) 0,002 461 199 181 959 466 582 016 × 2 = 0 + 0,004 922 398 363 918 933 164 032;
  • 60) 0,004 922 398 363 918 933 164 032 × 2 = 0 + 0,009 844 796 727 837 866 328 064;
  • 61) 0,009 844 796 727 837 866 328 064 × 2 = 0 + 0,019 689 593 455 675 732 656 128;
  • 62) 0,019 689 593 455 675 732 656 128 × 2 = 0 + 0,039 379 186 911 351 465 312 256;
  • 63) 0,039 379 186 911 351 465 312 256 × 2 = 0 + 0,078 758 373 822 702 930 624 512;
  • 64) 0,078 758 373 822 702 930 624 512 × 2 = 0 + 0,157 516 747 645 405 861 249 024;
  • 65) 0,157 516 747 645 405 861 249 024 × 2 = 0 + 0,315 033 495 290 811 722 498 048;
  • 66) 0,315 033 495 290 811 722 498 048 × 2 = 0 + 0,630 066 990 581 623 444 996 096;
  • 67) 0,630 066 990 581 623 444 996 096 × 2 = 1 + 0,260 133 981 163 246 889 992 192;
  • 68) 0,260 133 981 163 246 889 992 192 × 2 = 0 + 0,520 267 962 326 493 779 984 384;
  • 69) 0,520 267 962 326 493 779 984 384 × 2 = 1 + 0,040 535 924 652 987 559 968 768;
  • 70) 0,040 535 924 652 987 559 968 768 × 2 = 0 + 0,081 071 849 305 975 119 937 536;
  • 71) 0,081 071 849 305 975 119 937 536 × 2 = 0 + 0,162 143 698 611 950 239 875 072;
  • 72) 0,162 143 698 611 950 239 875 072 × 2 = 0 + 0,324 287 397 223 900 479 750 144;
  • 73) 0,324 287 397 223 900 479 750 144 × 2 = 0 + 0,648 574 794 447 800 959 500 288;
  • 74) 0,648 574 794 447 800 959 500 288 × 2 = 1 + 0,297 149 588 895 601 919 000 576;
  • 75) 0,297 149 588 895 601 919 000 576 × 2 = 0 + 0,594 299 177 791 203 838 001 152;
  • 76) 0,594 299 177 791 203 838 001 152 × 2 = 1 + 0,188 598 355 582 407 676 002 304;
  • 77) 0,188 598 355 582 407 676 002 304 × 2 = 0 + 0,377 196 711 164 815 352 004 608;
  • 78) 0,377 196 711 164 815 352 004 608 × 2 = 0 + 0,754 393 422 329 630 704 009 216;
  • 79) 0,754 393 422 329 630 704 009 216 × 2 = 1 + 0,508 786 844 659 261 408 018 432;
  • 80) 0,508 786 844 659 261 408 018 432 × 2 = 1 + 0,017 573 689 318 522 816 036 864;
  • 81) 0,017 573 689 318 522 816 036 864 × 2 = 0 + 0,035 147 378 637 045 632 073 728;
  • 82) 0,035 147 378 637 045 632 073 728 × 2 = 0 + 0,070 294 757 274 091 264 147 456;
  • 83) 0,070 294 757 274 091 264 147 456 × 2 = 0 + 0,140 589 514 548 182 528 294 912;
  • 84) 0,140 589 514 548 182 528 294 912 × 2 = 0 + 0,281 179 029 096 365 056 589 824;
  • 85) 0,281 179 029 096 365 056 589 824 × 2 = 0 + 0,562 358 058 192 730 113 179 648;
  • 86) 0,562 358 058 192 730 113 179 648 × 2 = 1 + 0,124 716 116 385 460 226 359 296;
  • 87) 0,124 716 116 385 460 226 359 296 × 2 = 0 + 0,249 432 232 770 920 452 718 592;
  • 88) 0,249 432 232 770 920 452 718 592 × 2 = 0 + 0,498 864 465 541 840 905 437 184;
  • 89) 0,498 864 465 541 840 905 437 184 × 2 = 0 + 0,997 728 931 083 681 810 874 368;
  • 90) 0,997 728 931 083 681 810 874 368 × 2 = 1 + 0,995 457 862 167 363 621 748 736;
  • 91) 0,995 457 862 167 363 621 748 736 × 2 = 1 + 0,990 915 724 334 727 243 497 472;
  • 92) 0,990 915 724 334 727 243 497 472 × 2 = 1 + 0,981 831 448 669 454 486 994 944;
  • 93) 0,981 831 448 669 454 486 994 944 × 2 = 1 + 0,963 662 897 338 908 973 989 888;
  • 94) 0,963 662 897 338 908 973 989 888 × 2 = 1 + 0,927 325 794 677 817 947 979 776;
  • 95) 0,927 325 794 677 817 947 979 776 × 2 = 1 + 0,854 651 589 355 635 895 959 552;
  • 96) 0,854 651 589 355 635 895 959 552 × 2 = 1 + 0,709 303 178 711 271 791 919 104;
  • 97) 0,709 303 178 711 271 791 919 104 × 2 = 1 + 0,418 606 357 422 543 583 838 208;
  • 98) 0,418 606 357 422 543 583 838 208 × 2 = 0 + 0,837 212 714 845 087 167 676 416;
  • 99) 0,837 212 714 845 087 167 676 416 × 2 = 1 + 0,674 425 429 690 174 335 352 832;
  • 100) 0,674 425 429 690 174 335 352 832 × 2 = 1 + 0,348 850 859 380 348 670 705 664;
  • 101) 0,348 850 859 380 348 670 705 664 × 2 = 0 + 0,697 701 718 760 697 341 411 328;
  • 102) 0,697 701 718 760 697 341 411 328 × 2 = 1 + 0,395 403 437 521 394 682 822 656;
  • 103) 0,395 403 437 521 394 682 822 656 × 2 = 0 + 0,790 806 875 042 789 365 645 312;
  • 104) 0,790 806 875 042 789 365 645 312 × 2 = 1 + 0,581 613 750 085 578 731 290 624;
  • 105) 0,581 613 750 085 578 731 290 624 × 2 = 1 + 0,163 227 500 171 157 462 581 248;
  • 106) 0,163 227 500 171 157 462 581 248 × 2 = 0 + 0,326 455 000 342 314 925 162 496;
  • 107) 0,326 455 000 342 314 925 162 496 × 2 = 0 + 0,652 910 000 684 629 850 324 992;
  • 108) 0,652 910 000 684 629 850 324 992 × 2 = 1 + 0,305 820 001 369 259 700 649 984;
  • 109) 0,305 820 001 369 259 700 649 984 × 2 = 0 + 0,611 640 002 738 519 401 299 968;
  • 110) 0,611 640 002 738 519 401 299 968 × 2 = 1 + 0,223 280 005 477 038 802 599 936;
  • 111) 0,223 280 005 477 038 802 599 936 × 2 = 0 + 0,446 560 010 954 077 605 199 872;
  • 112) 0,446 560 010 954 077 605 199 872 × 2 = 0 + 0,893 120 021 908 155 210 399 744;
  • 113) 0,893 120 021 908 155 210 399 744 × 2 = 1 + 0,786 240 043 816 310 420 799 488;
  • 114) 0,786 240 043 816 310 420 799 488 × 2 = 1 + 0,572 480 087 632 620 841 598 976;
  • 115) 0,572 480 087 632 620 841 598 976 × 2 = 1 + 0,144 960 175 265 241 683 197 952;
  • 116) 0,144 960 175 265 241 683 197 952 × 2 = 0 + 0,289 920 350 530 483 366 395 904;
  • 117) 0,289 920 350 530 483 366 395 904 × 2 = 0 + 0,579 840 701 060 966 732 791 808;
  • 118) 0,579 840 701 060 966 732 791 808 × 2 = 1 + 0,159 681 402 121 933 465 583 616;
  • 119) 0,159 681 402 121 933 465 583 616 × 2 = 0 + 0,319 362 804 243 866 931 167 232;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 539(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0011 0000 0100 0111 1111 1011 0101 1001 0100 1110 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 539(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0011 0000 0100 0111 1111 1011 0101 1001 0100 1110 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 539(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0011 0000 0100 0111 1111 1011 0101 1001 0100 1110 010(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0011 0000 0100 0111 1111 1011 0101 1001 0100 1110 010(2) × 20 =

1,0100 0010 1001 1000 0010 0011 1111 1101 1010 1100 1010 0111 0010(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0010 1001 1000 0010 0011 1111 1101 1010 1100 1010 0111 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0010 1001 1000 0010 0011 1111 1101 1010 1100 1010 0111 0010 =

0100 0010 1001 1000 0010 0011 1111 1101 1010 1100 1010 0111 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0010 1001 1000 0010 0011 1111 1101 1010 1100 1010 0111 0010


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 539 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0010 1001 1000 0010 0011 1111 1101 1010 1100 1010 0111 0010

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 54 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100