0,000 000 000 000 000 000 008 481 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 481(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 481(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 481.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 481 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 016 962;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 016 962 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 033 924;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 033 924 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 067 848;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 067 848 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 135 696;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 135 696 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 271 392;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 271 392 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 542 784;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 542 784 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 085 568;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 085 568 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 171 136;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 171 136 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 342 272;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 342 272 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 684 544;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 684 544 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 369 088;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 369 088 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 738 176;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 738 176 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 476 352;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 476 352 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 138 952 704;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 138 952 704 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 277 905 408;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 277 905 408 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 555 810 816;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 555 810 816 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 111 621 632;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 111 621 632 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 223 243 264;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 223 243 264 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 446 486 528;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 446 486 528 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 892 973 056;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 892 973 056 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 785 946 112;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 785 946 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 571 892 224;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 571 892 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 143 784 448;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 143 784 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 142 287 568 896;
  • 25) 0,000 000 000 000 142 287 568 896 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 284 575 137 792;
  • 26) 0,000 000 000 000 284 575 137 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 569 150 275 584;
  • 27) 0,000 000 000 000 569 150 275 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 138 300 551 168;
  • 28) 0,000 000 000 001 138 300 551 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 276 601 102 336;
  • 29) 0,000 000 000 002 276 601 102 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 553 202 204 672;
  • 30) 0,000 000 000 004 553 202 204 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 106 404 409 344;
  • 31) 0,000 000 000 009 106 404 409 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 212 808 818 688;
  • 32) 0,000 000 000 018 212 808 818 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 425 617 637 376;
  • 33) 0,000 000 000 036 425 617 637 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 072 851 235 274 752;
  • 34) 0,000 000 000 072 851 235 274 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 145 702 470 549 504;
  • 35) 0,000 000 000 145 702 470 549 504 × 2 = 0 + 0,000 000 000 291 404 941 099 008;
  • 36) 0,000 000 000 291 404 941 099 008 × 2 = 0 + 0,000 000 000 582 809 882 198 016;
  • 37) 0,000 000 000 582 809 882 198 016 × 2 = 0 + 0,000 000 001 165 619 764 396 032;
  • 38) 0,000 000 001 165 619 764 396 032 × 2 = 0 + 0,000 000 002 331 239 528 792 064;
  • 39) 0,000 000 002 331 239 528 792 064 × 2 = 0 + 0,000 000 004 662 479 057 584 128;
  • 40) 0,000 000 004 662 479 057 584 128 × 2 = 0 + 0,000 000 009 324 958 115 168 256;
  • 41) 0,000 000 009 324 958 115 168 256 × 2 = 0 + 0,000 000 018 649 916 230 336 512;
  • 42) 0,000 000 018 649 916 230 336 512 × 2 = 0 + 0,000 000 037 299 832 460 673 024;
  • 43) 0,000 000 037 299 832 460 673 024 × 2 = 0 + 0,000 000 074 599 664 921 346 048;
  • 44) 0,000 000 074 599 664 921 346 048 × 2 = 0 + 0,000 000 149 199 329 842 692 096;
  • 45) 0,000 000 149 199 329 842 692 096 × 2 = 0 + 0,000 000 298 398 659 685 384 192;
  • 46) 0,000 000 298 398 659 685 384 192 × 2 = 0 + 0,000 000 596 797 319 370 768 384;
  • 47) 0,000 000 596 797 319 370 768 384 × 2 = 0 + 0,000 001 193 594 638 741 536 768;
  • 48) 0,000 001 193 594 638 741 536 768 × 2 = 0 + 0,000 002 387 189 277 483 073 536;
  • 49) 0,000 002 387 189 277 483 073 536 × 2 = 0 + 0,000 004 774 378 554 966 147 072;
  • 50) 0,000 004 774 378 554 966 147 072 × 2 = 0 + 0,000 009 548 757 109 932 294 144;
  • 51) 0,000 009 548 757 109 932 294 144 × 2 = 0 + 0,000 019 097 514 219 864 588 288;
  • 52) 0,000 019 097 514 219 864 588 288 × 2 = 0 + 0,000 038 195 028 439 729 176 576;
  • 53) 0,000 038 195 028 439 729 176 576 × 2 = 0 + 0,000 076 390 056 879 458 353 152;
  • 54) 0,000 076 390 056 879 458 353 152 × 2 = 0 + 0,000 152 780 113 758 916 706 304;
  • 55) 0,000 152 780 113 758 916 706 304 × 2 = 0 + 0,000 305 560 227 517 833 412 608;
  • 56) 0,000 305 560 227 517 833 412 608 × 2 = 0 + 0,000 611 120 455 035 666 825 216;
  • 57) 0,000 611 120 455 035 666 825 216 × 2 = 0 + 0,001 222 240 910 071 333 650 432;
  • 58) 0,001 222 240 910 071 333 650 432 × 2 = 0 + 0,002 444 481 820 142 667 300 864;
  • 59) 0,002 444 481 820 142 667 300 864 × 2 = 0 + 0,004 888 963 640 285 334 601 728;
  • 60) 0,004 888 963 640 285 334 601 728 × 2 = 0 + 0,009 777 927 280 570 669 203 456;
  • 61) 0,009 777 927 280 570 669 203 456 × 2 = 0 + 0,019 555 854 561 141 338 406 912;
  • 62) 0,019 555 854 561 141 338 406 912 × 2 = 0 + 0,039 111 709 122 282 676 813 824;
  • 63) 0,039 111 709 122 282 676 813 824 × 2 = 0 + 0,078 223 418 244 565 353 627 648;
  • 64) 0,078 223 418 244 565 353 627 648 × 2 = 0 + 0,156 446 836 489 130 707 255 296;
  • 65) 0,156 446 836 489 130 707 255 296 × 2 = 0 + 0,312 893 672 978 261 414 510 592;
  • 66) 0,312 893 672 978 261 414 510 592 × 2 = 0 + 0,625 787 345 956 522 829 021 184;
  • 67) 0,625 787 345 956 522 829 021 184 × 2 = 1 + 0,251 574 691 913 045 658 042 368;
  • 68) 0,251 574 691 913 045 658 042 368 × 2 = 0 + 0,503 149 383 826 091 316 084 736;
  • 69) 0,503 149 383 826 091 316 084 736 × 2 = 1 + 0,006 298 767 652 182 632 169 472;
  • 70) 0,006 298 767 652 182 632 169 472 × 2 = 0 + 0,012 597 535 304 365 264 338 944;
  • 71) 0,012 597 535 304 365 264 338 944 × 2 = 0 + 0,025 195 070 608 730 528 677 888;
  • 72) 0,025 195 070 608 730 528 677 888 × 2 = 0 + 0,050 390 141 217 461 057 355 776;
  • 73) 0,050 390 141 217 461 057 355 776 × 2 = 0 + 0,100 780 282 434 922 114 711 552;
  • 74) 0,100 780 282 434 922 114 711 552 × 2 = 0 + 0,201 560 564 869 844 229 423 104;
  • 75) 0,201 560 564 869 844 229 423 104 × 2 = 0 + 0,403 121 129 739 688 458 846 208;
  • 76) 0,403 121 129 739 688 458 846 208 × 2 = 0 + 0,806 242 259 479 376 917 692 416;
  • 77) 0,806 242 259 479 376 917 692 416 × 2 = 1 + 0,612 484 518 958 753 835 384 832;
  • 78) 0,612 484 518 958 753 835 384 832 × 2 = 1 + 0,224 969 037 917 507 670 769 664;
  • 79) 0,224 969 037 917 507 670 769 664 × 2 = 0 + 0,449 938 075 835 015 341 539 328;
  • 80) 0,449 938 075 835 015 341 539 328 × 2 = 0 + 0,899 876 151 670 030 683 078 656;
  • 81) 0,899 876 151 670 030 683 078 656 × 2 = 1 + 0,799 752 303 340 061 366 157 312;
  • 82) 0,799 752 303 340 061 366 157 312 × 2 = 1 + 0,599 504 606 680 122 732 314 624;
  • 83) 0,599 504 606 680 122 732 314 624 × 2 = 1 + 0,199 009 213 360 245 464 629 248;
  • 84) 0,199 009 213 360 245 464 629 248 × 2 = 0 + 0,398 018 426 720 490 929 258 496;
  • 85) 0,398 018 426 720 490 929 258 496 × 2 = 0 + 0,796 036 853 440 981 858 516 992;
  • 86) 0,796 036 853 440 981 858 516 992 × 2 = 1 + 0,592 073 706 881 963 717 033 984;
  • 87) 0,592 073 706 881 963 717 033 984 × 2 = 1 + 0,184 147 413 763 927 434 067 968;
  • 88) 0,184 147 413 763 927 434 067 968 × 2 = 0 + 0,368 294 827 527 854 868 135 936;
  • 89) 0,368 294 827 527 854 868 135 936 × 2 = 0 + 0,736 589 655 055 709 736 271 872;
  • 90) 0,736 589 655 055 709 736 271 872 × 2 = 1 + 0,473 179 310 111 419 472 543 744;
  • 91) 0,473 179 310 111 419 472 543 744 × 2 = 0 + 0,946 358 620 222 838 945 087 488;
  • 92) 0,946 358 620 222 838 945 087 488 × 2 = 1 + 0,892 717 240 445 677 890 174 976;
  • 93) 0,892 717 240 445 677 890 174 976 × 2 = 1 + 0,785 434 480 891 355 780 349 952;
  • 94) 0,785 434 480 891 355 780 349 952 × 2 = 1 + 0,570 868 961 782 711 560 699 904;
  • 95) 0,570 868 961 782 711 560 699 904 × 2 = 1 + 0,141 737 923 565 423 121 399 808;
  • 96) 0,141 737 923 565 423 121 399 808 × 2 = 0 + 0,283 475 847 130 846 242 799 616;
  • 97) 0,283 475 847 130 846 242 799 616 × 2 = 0 + 0,566 951 694 261 692 485 599 232;
  • 98) 0,566 951 694 261 692 485 599 232 × 2 = 1 + 0,133 903 388 523 384 971 198 464;
  • 99) 0,133 903 388 523 384 971 198 464 × 2 = 0 + 0,267 806 777 046 769 942 396 928;
  • 100) 0,267 806 777 046 769 942 396 928 × 2 = 0 + 0,535 613 554 093 539 884 793 856;
  • 101) 0,535 613 554 093 539 884 793 856 × 2 = 1 + 0,071 227 108 187 079 769 587 712;
  • 102) 0,071 227 108 187 079 769 587 712 × 2 = 0 + 0,142 454 216 374 159 539 175 424;
  • 103) 0,142 454 216 374 159 539 175 424 × 2 = 0 + 0,284 908 432 748 319 078 350 848;
  • 104) 0,284 908 432 748 319 078 350 848 × 2 = 0 + 0,569 816 865 496 638 156 701 696;
  • 105) 0,569 816 865 496 638 156 701 696 × 2 = 1 + 0,139 633 730 993 276 313 403 392;
  • 106) 0,139 633 730 993 276 313 403 392 × 2 = 0 + 0,279 267 461 986 552 626 806 784;
  • 107) 0,279 267 461 986 552 626 806 784 × 2 = 0 + 0,558 534 923 973 105 253 613 568;
  • 108) 0,558 534 923 973 105 253 613 568 × 2 = 1 + 0,117 069 847 946 210 507 227 136;
  • 109) 0,117 069 847 946 210 507 227 136 × 2 = 0 + 0,234 139 695 892 421 014 454 272;
  • 110) 0,234 139 695 892 421 014 454 272 × 2 = 0 + 0,468 279 391 784 842 028 908 544;
  • 111) 0,468 279 391 784 842 028 908 544 × 2 = 0 + 0,936 558 783 569 684 057 817 088;
  • 112) 0,936 558 783 569 684 057 817 088 × 2 = 1 + 0,873 117 567 139 368 115 634 176;
  • 113) 0,873 117 567 139 368 115 634 176 × 2 = 1 + 0,746 235 134 278 736 231 268 352;
  • 114) 0,746 235 134 278 736 231 268 352 × 2 = 1 + 0,492 470 268 557 472 462 536 704;
  • 115) 0,492 470 268 557 472 462 536 704 × 2 = 0 + 0,984 940 537 114 944 925 073 408;
  • 116) 0,984 940 537 114 944 925 073 408 × 2 = 1 + 0,969 881 074 229 889 850 146 816;
  • 117) 0,969 881 074 229 889 850 146 816 × 2 = 1 + 0,939 762 148 459 779 700 293 632;
  • 118) 0,939 762 148 459 779 700 293 632 × 2 = 1 + 0,879 524 296 919 559 400 587 264;
  • 119) 0,879 524 296 919 559 400 587 264 × 2 = 1 + 0,759 048 593 839 118 801 174 528;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 481(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0000 1100 1110 0110 0101 1110 0100 1000 1001 0001 1101 111(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 481(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0000 1100 1110 0110 0101 1110 0100 1000 1001 0001 1101 111(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 481(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0000 1100 1110 0110 0101 1110 0100 1000 1001 0001 1101 111(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0000 1100 1110 0110 0101 1110 0100 1000 1001 0001 1101 111(2) × 20 =

1,0100 0000 0110 0111 0011 0010 1111 0010 0100 0100 1000 1110 1111(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0000 0110 0111 0011 0010 1111 0010 0100 0100 1000 1110 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0000 0110 0111 0011 0010 1111 0010 0100 0100 1000 1110 1111 =

0100 0000 0110 0111 0011 0010 1111 0010 0100 0100 1000 1110 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0000 0110 0111 0011 0010 1111 0010 0100 0100 1000 1110 1111


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 481 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0000 0110 0111 0011 0010 1111 0010 0100 0100 1000 1110 1111

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 548 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100