0,000 000 000 000 000 000 008 495 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 495(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 495(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 495.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 495 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 016 99;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 016 99 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 033 98;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 033 98 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 067 96;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 067 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 135 92;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 135 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 271 84;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 271 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 543 68;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 543 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 087 36;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 087 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 174 72;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 174 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 349 44;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 349 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 698 88;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 698 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 397 76;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 397 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 795 52;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 795 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 591 04;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 591 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 182 08;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 182 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 278 364 16;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 278 364 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 556 728 32;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 556 728 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 113 456 64;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 113 456 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 226 913 28;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 226 913 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 453 826 56;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 453 826 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 907 653 12;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 907 653 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 815 306 24;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 815 306 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 630 612 48;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 630 612 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 261 224 96;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 261 224 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 142 522 449 92;
  • 25) 0,000 000 000 000 142 522 449 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 285 044 899 84;
  • 26) 0,000 000 000 000 285 044 899 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 570 089 799 68;
  • 27) 0,000 000 000 000 570 089 799 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 140 179 599 36;
  • 28) 0,000 000 000 001 140 179 599 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 280 359 198 72;
  • 29) 0,000 000 000 002 280 359 198 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 560 718 397 44;
  • 30) 0,000 000 000 004 560 718 397 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 121 436 794 88;
  • 31) 0,000 000 000 009 121 436 794 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 242 873 589 76;
  • 32) 0,000 000 000 018 242 873 589 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 485 747 179 52;
  • 33) 0,000 000 000 036 485 747 179 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 072 971 494 359 04;
  • 34) 0,000 000 000 072 971 494 359 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 145 942 988 718 08;
  • 35) 0,000 000 000 145 942 988 718 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 291 885 977 436 16;
  • 36) 0,000 000 000 291 885 977 436 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 583 771 954 872 32;
  • 37) 0,000 000 000 583 771 954 872 32 × 2 = 0 + 0,000 000 001 167 543 909 744 64;
  • 38) 0,000 000 001 167 543 909 744 64 × 2 = 0 + 0,000 000 002 335 087 819 489 28;
  • 39) 0,000 000 002 335 087 819 489 28 × 2 = 0 + 0,000 000 004 670 175 638 978 56;
  • 40) 0,000 000 004 670 175 638 978 56 × 2 = 0 + 0,000 000 009 340 351 277 957 12;
  • 41) 0,000 000 009 340 351 277 957 12 × 2 = 0 + 0,000 000 018 680 702 555 914 24;
  • 42) 0,000 000 018 680 702 555 914 24 × 2 = 0 + 0,000 000 037 361 405 111 828 48;
  • 43) 0,000 000 037 361 405 111 828 48 × 2 = 0 + 0,000 000 074 722 810 223 656 96;
  • 44) 0,000 000 074 722 810 223 656 96 × 2 = 0 + 0,000 000 149 445 620 447 313 92;
  • 45) 0,000 000 149 445 620 447 313 92 × 2 = 0 + 0,000 000 298 891 240 894 627 84;
  • 46) 0,000 000 298 891 240 894 627 84 × 2 = 0 + 0,000 000 597 782 481 789 255 68;
  • 47) 0,000 000 597 782 481 789 255 68 × 2 = 0 + 0,000 001 195 564 963 578 511 36;
  • 48) 0,000 001 195 564 963 578 511 36 × 2 = 0 + 0,000 002 391 129 927 157 022 72;
  • 49) 0,000 002 391 129 927 157 022 72 × 2 = 0 + 0,000 004 782 259 854 314 045 44;
  • 50) 0,000 004 782 259 854 314 045 44 × 2 = 0 + 0,000 009 564 519 708 628 090 88;
  • 51) 0,000 009 564 519 708 628 090 88 × 2 = 0 + 0,000 019 129 039 417 256 181 76;
  • 52) 0,000 019 129 039 417 256 181 76 × 2 = 0 + 0,000 038 258 078 834 512 363 52;
  • 53) 0,000 038 258 078 834 512 363 52 × 2 = 0 + 0,000 076 516 157 669 024 727 04;
  • 54) 0,000 076 516 157 669 024 727 04 × 2 = 0 + 0,000 153 032 315 338 049 454 08;
  • 55) 0,000 153 032 315 338 049 454 08 × 2 = 0 + 0,000 306 064 630 676 098 908 16;
  • 56) 0,000 306 064 630 676 098 908 16 × 2 = 0 + 0,000 612 129 261 352 197 816 32;
  • 57) 0,000 612 129 261 352 197 816 32 × 2 = 0 + 0,001 224 258 522 704 395 632 64;
  • 58) 0,001 224 258 522 704 395 632 64 × 2 = 0 + 0,002 448 517 045 408 791 265 28;
  • 59) 0,002 448 517 045 408 791 265 28 × 2 = 0 + 0,004 897 034 090 817 582 530 56;
  • 60) 0,004 897 034 090 817 582 530 56 × 2 = 0 + 0,009 794 068 181 635 165 061 12;
  • 61) 0,009 794 068 181 635 165 061 12 × 2 = 0 + 0,019 588 136 363 270 330 122 24;
  • 62) 0,019 588 136 363 270 330 122 24 × 2 = 0 + 0,039 176 272 726 540 660 244 48;
  • 63) 0,039 176 272 726 540 660 244 48 × 2 = 0 + 0,078 352 545 453 081 320 488 96;
  • 64) 0,078 352 545 453 081 320 488 96 × 2 = 0 + 0,156 705 090 906 162 640 977 92;
  • 65) 0,156 705 090 906 162 640 977 92 × 2 = 0 + 0,313 410 181 812 325 281 955 84;
  • 66) 0,313 410 181 812 325 281 955 84 × 2 = 0 + 0,626 820 363 624 650 563 911 68;
  • 67) 0,626 820 363 624 650 563 911 68 × 2 = 1 + 0,253 640 727 249 301 127 823 36;
  • 68) 0,253 640 727 249 301 127 823 36 × 2 = 0 + 0,507 281 454 498 602 255 646 72;
  • 69) 0,507 281 454 498 602 255 646 72 × 2 = 1 + 0,014 562 908 997 204 511 293 44;
  • 70) 0,014 562 908 997 204 511 293 44 × 2 = 0 + 0,029 125 817 994 409 022 586 88;
  • 71) 0,029 125 817 994 409 022 586 88 × 2 = 0 + 0,058 251 635 988 818 045 173 76;
  • 72) 0,058 251 635 988 818 045 173 76 × 2 = 0 + 0,116 503 271 977 636 090 347 52;
  • 73) 0,116 503 271 977 636 090 347 52 × 2 = 0 + 0,233 006 543 955 272 180 695 04;
  • 74) 0,233 006 543 955 272 180 695 04 × 2 = 0 + 0,466 013 087 910 544 361 390 08;
  • 75) 0,466 013 087 910 544 361 390 08 × 2 = 0 + 0,932 026 175 821 088 722 780 16;
  • 76) 0,932 026 175 821 088 722 780 16 × 2 = 1 + 0,864 052 351 642 177 445 560 32;
  • 77) 0,864 052 351 642 177 445 560 32 × 2 = 1 + 0,728 104 703 284 354 891 120 64;
  • 78) 0,728 104 703 284 354 891 120 64 × 2 = 1 + 0,456 209 406 568 709 782 241 28;
  • 79) 0,456 209 406 568 709 782 241 28 × 2 = 0 + 0,912 418 813 137 419 564 482 56;
  • 80) 0,912 418 813 137 419 564 482 56 × 2 = 1 + 0,824 837 626 274 839 128 965 12;
  • 81) 0,824 837 626 274 839 128 965 12 × 2 = 1 + 0,649 675 252 549 678 257 930 24;
  • 82) 0,649 675 252 549 678 257 930 24 × 2 = 1 + 0,299 350 505 099 356 515 860 48;
  • 83) 0,299 350 505 099 356 515 860 48 × 2 = 0 + 0,598 701 010 198 713 031 720 96;
  • 84) 0,598 701 010 198 713 031 720 96 × 2 = 1 + 0,197 402 020 397 426 063 441 92;
  • 85) 0,197 402 020 397 426 063 441 92 × 2 = 0 + 0,394 804 040 794 852 126 883 84;
  • 86) 0,394 804 040 794 852 126 883 84 × 2 = 0 + 0,789 608 081 589 704 253 767 68;
  • 87) 0,789 608 081 589 704 253 767 68 × 2 = 1 + 0,579 216 163 179 408 507 535 36;
  • 88) 0,579 216 163 179 408 507 535 36 × 2 = 1 + 0,158 432 326 358 817 015 070 72;
  • 89) 0,158 432 326 358 817 015 070 72 × 2 = 0 + 0,316 864 652 717 634 030 141 44;
  • 90) 0,316 864 652 717 634 030 141 44 × 2 = 0 + 0,633 729 305 435 268 060 282 88;
  • 91) 0,633 729 305 435 268 060 282 88 × 2 = 1 + 0,267 458 610 870 536 120 565 76;
  • 92) 0,267 458 610 870 536 120 565 76 × 2 = 0 + 0,534 917 221 741 072 241 131 52;
  • 93) 0,534 917 221 741 072 241 131 52 × 2 = 1 + 0,069 834 443 482 144 482 263 04;
  • 94) 0,069 834 443 482 144 482 263 04 × 2 = 0 + 0,139 668 886 964 288 964 526 08;
  • 95) 0,139 668 886 964 288 964 526 08 × 2 = 0 + 0,279 337 773 928 577 929 052 16;
  • 96) 0,279 337 773 928 577 929 052 16 × 2 = 0 + 0,558 675 547 857 155 858 104 32;
  • 97) 0,558 675 547 857 155 858 104 32 × 2 = 1 + 0,117 351 095 714 311 716 208 64;
  • 98) 0,117 351 095 714 311 716 208 64 × 2 = 0 + 0,234 702 191 428 623 432 417 28;
  • 99) 0,234 702 191 428 623 432 417 28 × 2 = 0 + 0,469 404 382 857 246 864 834 56;
  • 100) 0,469 404 382 857 246 864 834 56 × 2 = 0 + 0,938 808 765 714 493 729 669 12;
  • 101) 0,938 808 765 714 493 729 669 12 × 2 = 1 + 0,877 617 531 428 987 459 338 24;
  • 102) 0,877 617 531 428 987 459 338 24 × 2 = 1 + 0,755 235 062 857 974 918 676 48;
  • 103) 0,755 235 062 857 974 918 676 48 × 2 = 1 + 0,510 470 125 715 949 837 352 96;
  • 104) 0,510 470 125 715 949 837 352 96 × 2 = 1 + 0,020 940 251 431 899 674 705 92;
  • 105) 0,020 940 251 431 899 674 705 92 × 2 = 0 + 0,041 880 502 863 799 349 411 84;
  • 106) 0,041 880 502 863 799 349 411 84 × 2 = 0 + 0,083 761 005 727 598 698 823 68;
  • 107) 0,083 761 005 727 598 698 823 68 × 2 = 0 + 0,167 522 011 455 197 397 647 36;
  • 108) 0,167 522 011 455 197 397 647 36 × 2 = 0 + 0,335 044 022 910 394 795 294 72;
  • 109) 0,335 044 022 910 394 795 294 72 × 2 = 0 + 0,670 088 045 820 789 590 589 44;
  • 110) 0,670 088 045 820 789 590 589 44 × 2 = 1 + 0,340 176 091 641 579 181 178 88;
  • 111) 0,340 176 091 641 579 181 178 88 × 2 = 0 + 0,680 352 183 283 158 362 357 76;
  • 112) 0,680 352 183 283 158 362 357 76 × 2 = 1 + 0,360 704 366 566 316 724 715 52;
  • 113) 0,360 704 366 566 316 724 715 52 × 2 = 0 + 0,721 408 733 132 633 449 431 04;
  • 114) 0,721 408 733 132 633 449 431 04 × 2 = 1 + 0,442 817 466 265 266 898 862 08;
  • 115) 0,442 817 466 265 266 898 862 08 × 2 = 0 + 0,885 634 932 530 533 797 724 16;
  • 116) 0,885 634 932 530 533 797 724 16 × 2 = 1 + 0,771 269 865 061 067 595 448 32;
  • 117) 0,771 269 865 061 067 595 448 32 × 2 = 1 + 0,542 539 730 122 135 190 896 64;
  • 118) 0,542 539 730 122 135 190 896 64 × 2 = 1 + 0,085 079 460 244 270 381 793 28;
  • 119) 0,085 079 460 244 270 381 793 28 × 2 = 0 + 0,170 158 920 488 540 763 586 56;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 495(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0001 1101 1101 0011 0010 1000 1000 1111 0000 0101 0101 110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 495(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0001 1101 1101 0011 0010 1000 1000 1111 0000 0101 0101 110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 495(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0001 1101 1101 0011 0010 1000 1000 1111 0000 0101 0101 110(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0001 1101 1101 0011 0010 1000 1000 1111 0000 0101 0101 110(2) × 20 =

1,0100 0000 1110 1110 1001 1001 0100 0100 0111 1000 0010 1010 1110(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0000 1110 1110 1001 1001 0100 0100 0111 1000 0010 1010 1110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0000 1110 1110 1001 1001 0100 0100 0111 1000 0010 1010 1110 =

0100 0000 1110 1110 1001 1001 0100 0100 0111 1000 0010 1010 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0000 1110 1110 1001 1001 0100 0100 0111 1000 0010 1010 1110


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 495 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0000 1110 1110 1001 1001 0100 0100 0111 1000 0010 1010 1110

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 404 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100