0,000 000 000 000 000 000 008 527 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 527(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 527(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 527.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 527 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 054;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 054 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 108;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 108 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 216;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 216 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 432;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 432 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 272 864;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 272 864 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 545 728;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 545 728 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 091 456;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 091 456 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 182 912;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 182 912 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 365 824;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 365 824 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 731 648;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 731 648 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 463 296;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 463 296 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 926 592;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 926 592 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 853 184;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 853 184 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 706 368;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 706 368 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 279 412 736;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 279 412 736 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 558 825 472;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 558 825 472 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 117 650 944;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 117 650 944 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 235 301 888;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 235 301 888 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 470 603 776;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 470 603 776 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 941 207 552;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 941 207 552 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 882 415 104;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 882 415 104 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 764 830 208;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 764 830 208 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 529 660 416;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 529 660 416 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 059 320 832;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 059 320 832 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 286 118 641 664;
  • 26) 0,000 000 000 000 286 118 641 664 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 572 237 283 328;
  • 27) 0,000 000 000 000 572 237 283 328 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 144 474 566 656;
  • 28) 0,000 000 000 001 144 474 566 656 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 288 949 133 312;
  • 29) 0,000 000 000 002 288 949 133 312 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 577 898 266 624;
  • 30) 0,000 000 000 004 577 898 266 624 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 155 796 533 248;
  • 31) 0,000 000 000 009 155 796 533 248 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 311 593 066 496;
  • 32) 0,000 000 000 018 311 593 066 496 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 623 186 132 992;
  • 33) 0,000 000 000 036 623 186 132 992 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 246 372 265 984;
  • 34) 0,000 000 000 073 246 372 265 984 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 492 744 531 968;
  • 35) 0,000 000 000 146 492 744 531 968 × 2 = 0 + 0,000 000 000 292 985 489 063 936;
  • 36) 0,000 000 000 292 985 489 063 936 × 2 = 0 + 0,000 000 000 585 970 978 127 872;
  • 37) 0,000 000 000 585 970 978 127 872 × 2 = 0 + 0,000 000 001 171 941 956 255 744;
  • 38) 0,000 000 001 171 941 956 255 744 × 2 = 0 + 0,000 000 002 343 883 912 511 488;
  • 39) 0,000 000 002 343 883 912 511 488 × 2 = 0 + 0,000 000 004 687 767 825 022 976;
  • 40) 0,000 000 004 687 767 825 022 976 × 2 = 0 + 0,000 000 009 375 535 650 045 952;
  • 41) 0,000 000 009 375 535 650 045 952 × 2 = 0 + 0,000 000 018 751 071 300 091 904;
  • 42) 0,000 000 018 751 071 300 091 904 × 2 = 0 + 0,000 000 037 502 142 600 183 808;
  • 43) 0,000 000 037 502 142 600 183 808 × 2 = 0 + 0,000 000 075 004 285 200 367 616;
  • 44) 0,000 000 075 004 285 200 367 616 × 2 = 0 + 0,000 000 150 008 570 400 735 232;
  • 45) 0,000 000 150 008 570 400 735 232 × 2 = 0 + 0,000 000 300 017 140 801 470 464;
  • 46) 0,000 000 300 017 140 801 470 464 × 2 = 0 + 0,000 000 600 034 281 602 940 928;
  • 47) 0,000 000 600 034 281 602 940 928 × 2 = 0 + 0,000 001 200 068 563 205 881 856;
  • 48) 0,000 001 200 068 563 205 881 856 × 2 = 0 + 0,000 002 400 137 126 411 763 712;
  • 49) 0,000 002 400 137 126 411 763 712 × 2 = 0 + 0,000 004 800 274 252 823 527 424;
  • 50) 0,000 004 800 274 252 823 527 424 × 2 = 0 + 0,000 009 600 548 505 647 054 848;
  • 51) 0,000 009 600 548 505 647 054 848 × 2 = 0 + 0,000 019 201 097 011 294 109 696;
  • 52) 0,000 019 201 097 011 294 109 696 × 2 = 0 + 0,000 038 402 194 022 588 219 392;
  • 53) 0,000 038 402 194 022 588 219 392 × 2 = 0 + 0,000 076 804 388 045 176 438 784;
  • 54) 0,000 076 804 388 045 176 438 784 × 2 = 0 + 0,000 153 608 776 090 352 877 568;
  • 55) 0,000 153 608 776 090 352 877 568 × 2 = 0 + 0,000 307 217 552 180 705 755 136;
  • 56) 0,000 307 217 552 180 705 755 136 × 2 = 0 + 0,000 614 435 104 361 411 510 272;
  • 57) 0,000 614 435 104 361 411 510 272 × 2 = 0 + 0,001 228 870 208 722 823 020 544;
  • 58) 0,001 228 870 208 722 823 020 544 × 2 = 0 + 0,002 457 740 417 445 646 041 088;
  • 59) 0,002 457 740 417 445 646 041 088 × 2 = 0 + 0,004 915 480 834 891 292 082 176;
  • 60) 0,004 915 480 834 891 292 082 176 × 2 = 0 + 0,009 830 961 669 782 584 164 352;
  • 61) 0,009 830 961 669 782 584 164 352 × 2 = 0 + 0,019 661 923 339 565 168 328 704;
  • 62) 0,019 661 923 339 565 168 328 704 × 2 = 0 + 0,039 323 846 679 130 336 657 408;
  • 63) 0,039 323 846 679 130 336 657 408 × 2 = 0 + 0,078 647 693 358 260 673 314 816;
  • 64) 0,078 647 693 358 260 673 314 816 × 2 = 0 + 0,157 295 386 716 521 346 629 632;
  • 65) 0,157 295 386 716 521 346 629 632 × 2 = 0 + 0,314 590 773 433 042 693 259 264;
  • 66) 0,314 590 773 433 042 693 259 264 × 2 = 0 + 0,629 181 546 866 085 386 518 528;
  • 67) 0,629 181 546 866 085 386 518 528 × 2 = 1 + 0,258 363 093 732 170 773 037 056;
  • 68) 0,258 363 093 732 170 773 037 056 × 2 = 0 + 0,516 726 187 464 341 546 074 112;
  • 69) 0,516 726 187 464 341 546 074 112 × 2 = 1 + 0,033 452 374 928 683 092 148 224;
  • 70) 0,033 452 374 928 683 092 148 224 × 2 = 0 + 0,066 904 749 857 366 184 296 448;
  • 71) 0,066 904 749 857 366 184 296 448 × 2 = 0 + 0,133 809 499 714 732 368 592 896;
  • 72) 0,133 809 499 714 732 368 592 896 × 2 = 0 + 0,267 618 999 429 464 737 185 792;
  • 73) 0,267 618 999 429 464 737 185 792 × 2 = 0 + 0,535 237 998 858 929 474 371 584;
  • 74) 0,535 237 998 858 929 474 371 584 × 2 = 1 + 0,070 475 997 717 858 948 743 168;
  • 75) 0,070 475 997 717 858 948 743 168 × 2 = 0 + 0,140 951 995 435 717 897 486 336;
  • 76) 0,140 951 995 435 717 897 486 336 × 2 = 0 + 0,281 903 990 871 435 794 972 672;
  • 77) 0,281 903 990 871 435 794 972 672 × 2 = 0 + 0,563 807 981 742 871 589 945 344;
  • 78) 0,563 807 981 742 871 589 945 344 × 2 = 1 + 0,127 615 963 485 743 179 890 688;
  • 79) 0,127 615 963 485 743 179 890 688 × 2 = 0 + 0,255 231 926 971 486 359 781 376;
  • 80) 0,255 231 926 971 486 359 781 376 × 2 = 0 + 0,510 463 853 942 972 719 562 752;
  • 81) 0,510 463 853 942 972 719 562 752 × 2 = 1 + 0,020 927 707 885 945 439 125 504;
  • 82) 0,020 927 707 885 945 439 125 504 × 2 = 0 + 0,041 855 415 771 890 878 251 008;
  • 83) 0,041 855 415 771 890 878 251 008 × 2 = 0 + 0,083 710 831 543 781 756 502 016;
  • 84) 0,083 710 831 543 781 756 502 016 × 2 = 0 + 0,167 421 663 087 563 513 004 032;
  • 85) 0,167 421 663 087 563 513 004 032 × 2 = 0 + 0,334 843 326 175 127 026 008 064;
  • 86) 0,334 843 326 175 127 026 008 064 × 2 = 0 + 0,669 686 652 350 254 052 016 128;
  • 87) 0,669 686 652 350 254 052 016 128 × 2 = 1 + 0,339 373 304 700 508 104 032 256;
  • 88) 0,339 373 304 700 508 104 032 256 × 2 = 0 + 0,678 746 609 401 016 208 064 512;
  • 89) 0,678 746 609 401 016 208 064 512 × 2 = 1 + 0,357 493 218 802 032 416 129 024;
  • 90) 0,357 493 218 802 032 416 129 024 × 2 = 0 + 0,714 986 437 604 064 832 258 048;
  • 91) 0,714 986 437 604 064 832 258 048 × 2 = 1 + 0,429 972 875 208 129 664 516 096;
  • 92) 0,429 972 875 208 129 664 516 096 × 2 = 0 + 0,859 945 750 416 259 329 032 192;
  • 93) 0,859 945 750 416 259 329 032 192 × 2 = 1 + 0,719 891 500 832 518 658 064 384;
  • 94) 0,719 891 500 832 518 658 064 384 × 2 = 1 + 0,439 783 001 665 037 316 128 768;
  • 95) 0,439 783 001 665 037 316 128 768 × 2 = 0 + 0,879 566 003 330 074 632 257 536;
  • 96) 0,879 566 003 330 074 632 257 536 × 2 = 1 + 0,759 132 006 660 149 264 515 072;
  • 97) 0,759 132 006 660 149 264 515 072 × 2 = 1 + 0,518 264 013 320 298 529 030 144;
  • 98) 0,518 264 013 320 298 529 030 144 × 2 = 1 + 0,036 528 026 640 597 058 060 288;
  • 99) 0,036 528 026 640 597 058 060 288 × 2 = 0 + 0,073 056 053 281 194 116 120 576;
  • 100) 0,073 056 053 281 194 116 120 576 × 2 = 0 + 0,146 112 106 562 388 232 241 152;
  • 101) 0,146 112 106 562 388 232 241 152 × 2 = 0 + 0,292 224 213 124 776 464 482 304;
  • 102) 0,292 224 213 124 776 464 482 304 × 2 = 0 + 0,584 448 426 249 552 928 964 608;
  • 103) 0,584 448 426 249 552 928 964 608 × 2 = 1 + 0,168 896 852 499 105 857 929 216;
  • 104) 0,168 896 852 499 105 857 929 216 × 2 = 0 + 0,337 793 704 998 211 715 858 432;
  • 105) 0,337 793 704 998 211 715 858 432 × 2 = 0 + 0,675 587 409 996 423 431 716 864;
  • 106) 0,675 587 409 996 423 431 716 864 × 2 = 1 + 0,351 174 819 992 846 863 433 728;
  • 107) 0,351 174 819 992 846 863 433 728 × 2 = 0 + 0,702 349 639 985 693 726 867 456;
  • 108) 0,702 349 639 985 693 726 867 456 × 2 = 1 + 0,404 699 279 971 387 453 734 912;
  • 109) 0,404 699 279 971 387 453 734 912 × 2 = 0 + 0,809 398 559 942 774 907 469 824;
  • 110) 0,809 398 559 942 774 907 469 824 × 2 = 1 + 0,618 797 119 885 549 814 939 648;
  • 111) 0,618 797 119 885 549 814 939 648 × 2 = 1 + 0,237 594 239 771 099 629 879 296;
  • 112) 0,237 594 239 771 099 629 879 296 × 2 = 0 + 0,475 188 479 542 199 259 758 592;
  • 113) 0,475 188 479 542 199 259 758 592 × 2 = 0 + 0,950 376 959 084 398 519 517 184;
  • 114) 0,950 376 959 084 398 519 517 184 × 2 = 1 + 0,900 753 918 168 797 039 034 368;
  • 115) 0,900 753 918 168 797 039 034 368 × 2 = 1 + 0,801 507 836 337 594 078 068 736;
  • 116) 0,801 507 836 337 594 078 068 736 × 2 = 1 + 0,603 015 672 675 188 156 137 472;
  • 117) 0,603 015 672 675 188 156 137 472 × 2 = 1 + 0,206 031 345 350 376 312 274 944;
  • 118) 0,206 031 345 350 376 312 274 944 × 2 = 0 + 0,412 062 690 700 752 624 549 888;
  • 119) 0,412 062 690 700 752 624 549 888 × 2 = 0 + 0,824 125 381 401 505 249 099 776;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 527(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0100 1000 0010 1010 1101 1100 0010 0101 0110 0111 100(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 527(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0100 1000 0010 1010 1101 1100 0010 0101 0110 0111 100(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 527(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0100 1000 0010 1010 1101 1100 0010 0101 0110 0111 100(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0100 1000 0010 1010 1101 1100 0010 0101 0110 0111 100(2) × 20 =

1,0100 0010 0010 0100 0001 0101 0110 1110 0001 0010 1011 0011 1100(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0010 0010 0100 0001 0101 0110 1110 0001 0010 1011 0011 1100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0010 0010 0100 0001 0101 0110 1110 0001 0010 1011 0011 1100 =

0100 0010 0010 0100 0001 0101 0110 1110 0001 0010 1011 0011 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0010 0010 0100 0001 0101 0110 1110 0001 0010 1011 0011 1100


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 527 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0010 0010 0100 0001 0101 0110 1110 0001 0010 1011 0011 1100

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 509 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100