0,000 000 000 000 000 000 008 511 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 511(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 511(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 511.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 511 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 022;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 022 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 044;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 044 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 088;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 088 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 176;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 176 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 272 352;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 272 352 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 544 704;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 544 704 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 089 408;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 089 408 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 178 816;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 178 816 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 357 632;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 357 632 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 715 264;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 715 264 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 430 528;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 430 528 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 861 056;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 861 056 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 722 112;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 722 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 444 224;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 444 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 278 888 448;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 278 888 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 557 776 896;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 557 776 896 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 115 553 792;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 115 553 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 231 107 584;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 231 107 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 462 215 168;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 462 215 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 924 430 336;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 924 430 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 848 860 672;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 848 860 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 697 721 344;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 697 721 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 395 442 688;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 395 442 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 142 790 885 376;
  • 25) 0,000 000 000 000 142 790 885 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 285 581 770 752;
  • 26) 0,000 000 000 000 285 581 770 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 571 163 541 504;
  • 27) 0,000 000 000 000 571 163 541 504 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 142 327 083 008;
  • 28) 0,000 000 000 001 142 327 083 008 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 284 654 166 016;
  • 29) 0,000 000 000 002 284 654 166 016 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 569 308 332 032;
  • 30) 0,000 000 000 004 569 308 332 032 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 138 616 664 064;
  • 31) 0,000 000 000 009 138 616 664 064 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 277 233 328 128;
  • 32) 0,000 000 000 018 277 233 328 128 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 554 466 656 256;
  • 33) 0,000 000 000 036 554 466 656 256 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 108 933 312 512;
  • 34) 0,000 000 000 073 108 933 312 512 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 217 866 625 024;
  • 35) 0,000 000 000 146 217 866 625 024 × 2 = 0 + 0,000 000 000 292 435 733 250 048;
  • 36) 0,000 000 000 292 435 733 250 048 × 2 = 0 + 0,000 000 000 584 871 466 500 096;
  • 37) 0,000 000 000 584 871 466 500 096 × 2 = 0 + 0,000 000 001 169 742 933 000 192;
  • 38) 0,000 000 001 169 742 933 000 192 × 2 = 0 + 0,000 000 002 339 485 866 000 384;
  • 39) 0,000 000 002 339 485 866 000 384 × 2 = 0 + 0,000 000 004 678 971 732 000 768;
  • 40) 0,000 000 004 678 971 732 000 768 × 2 = 0 + 0,000 000 009 357 943 464 001 536;
  • 41) 0,000 000 009 357 943 464 001 536 × 2 = 0 + 0,000 000 018 715 886 928 003 072;
  • 42) 0,000 000 018 715 886 928 003 072 × 2 = 0 + 0,000 000 037 431 773 856 006 144;
  • 43) 0,000 000 037 431 773 856 006 144 × 2 = 0 + 0,000 000 074 863 547 712 012 288;
  • 44) 0,000 000 074 863 547 712 012 288 × 2 = 0 + 0,000 000 149 727 095 424 024 576;
  • 45) 0,000 000 149 727 095 424 024 576 × 2 = 0 + 0,000 000 299 454 190 848 049 152;
  • 46) 0,000 000 299 454 190 848 049 152 × 2 = 0 + 0,000 000 598 908 381 696 098 304;
  • 47) 0,000 000 598 908 381 696 098 304 × 2 = 0 + 0,000 001 197 816 763 392 196 608;
  • 48) 0,000 001 197 816 763 392 196 608 × 2 = 0 + 0,000 002 395 633 526 784 393 216;
  • 49) 0,000 002 395 633 526 784 393 216 × 2 = 0 + 0,000 004 791 267 053 568 786 432;
  • 50) 0,000 004 791 267 053 568 786 432 × 2 = 0 + 0,000 009 582 534 107 137 572 864;
  • 51) 0,000 009 582 534 107 137 572 864 × 2 = 0 + 0,000 019 165 068 214 275 145 728;
  • 52) 0,000 019 165 068 214 275 145 728 × 2 = 0 + 0,000 038 330 136 428 550 291 456;
  • 53) 0,000 038 330 136 428 550 291 456 × 2 = 0 + 0,000 076 660 272 857 100 582 912;
  • 54) 0,000 076 660 272 857 100 582 912 × 2 = 0 + 0,000 153 320 545 714 201 165 824;
  • 55) 0,000 153 320 545 714 201 165 824 × 2 = 0 + 0,000 306 641 091 428 402 331 648;
  • 56) 0,000 306 641 091 428 402 331 648 × 2 = 0 + 0,000 613 282 182 856 804 663 296;
  • 57) 0,000 613 282 182 856 804 663 296 × 2 = 0 + 0,001 226 564 365 713 609 326 592;
  • 58) 0,001 226 564 365 713 609 326 592 × 2 = 0 + 0,002 453 128 731 427 218 653 184;
  • 59) 0,002 453 128 731 427 218 653 184 × 2 = 0 + 0,004 906 257 462 854 437 306 368;
  • 60) 0,004 906 257 462 854 437 306 368 × 2 = 0 + 0,009 812 514 925 708 874 612 736;
  • 61) 0,009 812 514 925 708 874 612 736 × 2 = 0 + 0,019 625 029 851 417 749 225 472;
  • 62) 0,019 625 029 851 417 749 225 472 × 2 = 0 + 0,039 250 059 702 835 498 450 944;
  • 63) 0,039 250 059 702 835 498 450 944 × 2 = 0 + 0,078 500 119 405 670 996 901 888;
  • 64) 0,078 500 119 405 670 996 901 888 × 2 = 0 + 0,157 000 238 811 341 993 803 776;
  • 65) 0,157 000 238 811 341 993 803 776 × 2 = 0 + 0,314 000 477 622 683 987 607 552;
  • 66) 0,314 000 477 622 683 987 607 552 × 2 = 0 + 0,628 000 955 245 367 975 215 104;
  • 67) 0,628 000 955 245 367 975 215 104 × 2 = 1 + 0,256 001 910 490 735 950 430 208;
  • 68) 0,256 001 910 490 735 950 430 208 × 2 = 0 + 0,512 003 820 981 471 900 860 416;
  • 69) 0,512 003 820 981 471 900 860 416 × 2 = 1 + 0,024 007 641 962 943 801 720 832;
  • 70) 0,024 007 641 962 943 801 720 832 × 2 = 0 + 0,048 015 283 925 887 603 441 664;
  • 71) 0,048 015 283 925 887 603 441 664 × 2 = 0 + 0,096 030 567 851 775 206 883 328;
  • 72) 0,096 030 567 851 775 206 883 328 × 2 = 0 + 0,192 061 135 703 550 413 766 656;
  • 73) 0,192 061 135 703 550 413 766 656 × 2 = 0 + 0,384 122 271 407 100 827 533 312;
  • 74) 0,384 122 271 407 100 827 533 312 × 2 = 0 + 0,768 244 542 814 201 655 066 624;
  • 75) 0,768 244 542 814 201 655 066 624 × 2 = 1 + 0,536 489 085 628 403 310 133 248;
  • 76) 0,536 489 085 628 403 310 133 248 × 2 = 1 + 0,072 978 171 256 806 620 266 496;
  • 77) 0,072 978 171 256 806 620 266 496 × 2 = 0 + 0,145 956 342 513 613 240 532 992;
  • 78) 0,145 956 342 513 613 240 532 992 × 2 = 0 + 0,291 912 685 027 226 481 065 984;
  • 79) 0,291 912 685 027 226 481 065 984 × 2 = 0 + 0,583 825 370 054 452 962 131 968;
  • 80) 0,583 825 370 054 452 962 131 968 × 2 = 1 + 0,167 650 740 108 905 924 263 936;
  • 81) 0,167 650 740 108 905 924 263 936 × 2 = 0 + 0,335 301 480 217 811 848 527 872;
  • 82) 0,335 301 480 217 811 848 527 872 × 2 = 0 + 0,670 602 960 435 623 697 055 744;
  • 83) 0,670 602 960 435 623 697 055 744 × 2 = 1 + 0,341 205 920 871 247 394 111 488;
  • 84) 0,341 205 920 871 247 394 111 488 × 2 = 0 + 0,682 411 841 742 494 788 222 976;
  • 85) 0,682 411 841 742 494 788 222 976 × 2 = 1 + 0,364 823 683 484 989 576 445 952;
  • 86) 0,364 823 683 484 989 576 445 952 × 2 = 0 + 0,729 647 366 969 979 152 891 904;
  • 87) 0,729 647 366 969 979 152 891 904 × 2 = 1 + 0,459 294 733 939 958 305 783 808;
  • 88) 0,459 294 733 939 958 305 783 808 × 2 = 0 + 0,918 589 467 879 916 611 567 616;
  • 89) 0,918 589 467 879 916 611 567 616 × 2 = 1 + 0,837 178 935 759 833 223 135 232;
  • 90) 0,837 178 935 759 833 223 135 232 × 2 = 1 + 0,674 357 871 519 666 446 270 464;
  • 91) 0,674 357 871 519 666 446 270 464 × 2 = 1 + 0,348 715 743 039 332 892 540 928;
  • 92) 0,348 715 743 039 332 892 540 928 × 2 = 0 + 0,697 431 486 078 665 785 081 856;
  • 93) 0,697 431 486 078 665 785 081 856 × 2 = 1 + 0,394 862 972 157 331 570 163 712;
  • 94) 0,394 862 972 157 331 570 163 712 × 2 = 0 + 0,789 725 944 314 663 140 327 424;
  • 95) 0,789 725 944 314 663 140 327 424 × 2 = 1 + 0,579 451 888 629 326 280 654 848;
  • 96) 0,579 451 888 629 326 280 654 848 × 2 = 1 + 0,158 903 777 258 652 561 309 696;
  • 97) 0,158 903 777 258 652 561 309 696 × 2 = 0 + 0,317 807 554 517 305 122 619 392;
  • 98) 0,317 807 554 517 305 122 619 392 × 2 = 0 + 0,635 615 109 034 610 245 238 784;
  • 99) 0,635 615 109 034 610 245 238 784 × 2 = 1 + 0,271 230 218 069 220 490 477 568;
  • 100) 0,271 230 218 069 220 490 477 568 × 2 = 0 + 0,542 460 436 138 440 980 955 136;
  • 101) 0,542 460 436 138 440 980 955 136 × 2 = 1 + 0,084 920 872 276 881 961 910 272;
  • 102) 0,084 920 872 276 881 961 910 272 × 2 = 0 + 0,169 841 744 553 763 923 820 544;
  • 103) 0,169 841 744 553 763 923 820 544 × 2 = 0 + 0,339 683 489 107 527 847 641 088;
  • 104) 0,339 683 489 107 527 847 641 088 × 2 = 0 + 0,679 366 978 215 055 695 282 176;
  • 105) 0,679 366 978 215 055 695 282 176 × 2 = 1 + 0,358 733 956 430 111 390 564 352;
  • 106) 0,358 733 956 430 111 390 564 352 × 2 = 0 + 0,717 467 912 860 222 781 128 704;
  • 107) 0,717 467 912 860 222 781 128 704 × 2 = 1 + 0,434 935 825 720 445 562 257 408;
  • 108) 0,434 935 825 720 445 562 257 408 × 2 = 0 + 0,869 871 651 440 891 124 514 816;
  • 109) 0,869 871 651 440 891 124 514 816 × 2 = 1 + 0,739 743 302 881 782 249 029 632;
  • 110) 0,739 743 302 881 782 249 029 632 × 2 = 1 + 0,479 486 605 763 564 498 059 264;
  • 111) 0,479 486 605 763 564 498 059 264 × 2 = 0 + 0,958 973 211 527 128 996 118 528;
  • 112) 0,958 973 211 527 128 996 118 528 × 2 = 1 + 0,917 946 423 054 257 992 237 056;
  • 113) 0,917 946 423 054 257 992 237 056 × 2 = 1 + 0,835 892 846 108 515 984 474 112;
  • 114) 0,835 892 846 108 515 984 474 112 × 2 = 1 + 0,671 785 692 217 031 968 948 224;
  • 115) 0,671 785 692 217 031 968 948 224 × 2 = 1 + 0,343 571 384 434 063 937 896 448;
  • 116) 0,343 571 384 434 063 937 896 448 × 2 = 0 + 0,687 142 768 868 127 875 792 896;
  • 117) 0,687 142 768 868 127 875 792 896 × 2 = 1 + 0,374 285 537 736 255 751 585 792;
  • 118) 0,374 285 537 736 255 751 585 792 × 2 = 0 + 0,748 571 075 472 511 503 171 584;
  • 119) 0,748 571 075 472 511 503 171 584 × 2 = 1 + 0,497 142 150 945 023 006 343 168;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 511(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0011 0001 0010 1010 1110 1011 0010 1000 1010 1101 1110 101(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 511(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0011 0001 0010 1010 1110 1011 0010 1000 1010 1101 1110 101(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 511(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0011 0001 0010 1010 1110 1011 0010 1000 1010 1101 1110 101(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0011 0001 0010 1010 1110 1011 0010 1000 1010 1101 1110 101(2) × 20 =

1,0100 0001 1000 1001 0101 0111 0101 1001 0100 0101 0110 1111 0101(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0001 1000 1001 0101 0111 0101 1001 0100 0101 0110 1111 0101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0001 1000 1001 0101 0111 0101 1001 0100 0101 0110 1111 0101 =

0100 0001 1000 1001 0101 0111 0101 1001 0100 0101 0110 1111 0101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0001 1000 1001 0101 0111 0101 1001 0100 0101 0110 1111 0101


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 511 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0001 1000 1001 0101 0111 0101 1001 0100 0101 0110 1111 0101

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 495 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100