0,000 000 000 000 000 000 008 519 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 519(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 519(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 519.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 519 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 038;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 038 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 076;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 076 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 152;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 152 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 304;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 304 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 272 608;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 272 608 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 545 216;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 545 216 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 090 432;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 090 432 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 180 864;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 180 864 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 361 728;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 361 728 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 723 456;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 723 456 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 446 912;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 446 912 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 893 824;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 893 824 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 787 648;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 787 648 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 575 296;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 575 296 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 279 150 592;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 279 150 592 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 558 301 184;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 558 301 184 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 116 602 368;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 116 602 368 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 233 204 736;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 233 204 736 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 466 409 472;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 466 409 472 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 932 818 944;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 932 818 944 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 865 637 888;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 865 637 888 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 731 275 776;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 731 275 776 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 462 551 552;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 462 551 552 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 142 925 103 104;
  • 25) 0,000 000 000 000 142 925 103 104 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 285 850 206 208;
  • 26) 0,000 000 000 000 285 850 206 208 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 571 700 412 416;
  • 27) 0,000 000 000 000 571 700 412 416 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 143 400 824 832;
  • 28) 0,000 000 000 001 143 400 824 832 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 286 801 649 664;
  • 29) 0,000 000 000 002 286 801 649 664 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 573 603 299 328;
  • 30) 0,000 000 000 004 573 603 299 328 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 147 206 598 656;
  • 31) 0,000 000 000 009 147 206 598 656 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 294 413 197 312;
  • 32) 0,000 000 000 018 294 413 197 312 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 588 826 394 624;
  • 33) 0,000 000 000 036 588 826 394 624 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 177 652 789 248;
  • 34) 0,000 000 000 073 177 652 789 248 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 355 305 578 496;
  • 35) 0,000 000 000 146 355 305 578 496 × 2 = 0 + 0,000 000 000 292 710 611 156 992;
  • 36) 0,000 000 000 292 710 611 156 992 × 2 = 0 + 0,000 000 000 585 421 222 313 984;
  • 37) 0,000 000 000 585 421 222 313 984 × 2 = 0 + 0,000 000 001 170 842 444 627 968;
  • 38) 0,000 000 001 170 842 444 627 968 × 2 = 0 + 0,000 000 002 341 684 889 255 936;
  • 39) 0,000 000 002 341 684 889 255 936 × 2 = 0 + 0,000 000 004 683 369 778 511 872;
  • 40) 0,000 000 004 683 369 778 511 872 × 2 = 0 + 0,000 000 009 366 739 557 023 744;
  • 41) 0,000 000 009 366 739 557 023 744 × 2 = 0 + 0,000 000 018 733 479 114 047 488;
  • 42) 0,000 000 018 733 479 114 047 488 × 2 = 0 + 0,000 000 037 466 958 228 094 976;
  • 43) 0,000 000 037 466 958 228 094 976 × 2 = 0 + 0,000 000 074 933 916 456 189 952;
  • 44) 0,000 000 074 933 916 456 189 952 × 2 = 0 + 0,000 000 149 867 832 912 379 904;
  • 45) 0,000 000 149 867 832 912 379 904 × 2 = 0 + 0,000 000 299 735 665 824 759 808;
  • 46) 0,000 000 299 735 665 824 759 808 × 2 = 0 + 0,000 000 599 471 331 649 519 616;
  • 47) 0,000 000 599 471 331 649 519 616 × 2 = 0 + 0,000 001 198 942 663 299 039 232;
  • 48) 0,000 001 198 942 663 299 039 232 × 2 = 0 + 0,000 002 397 885 326 598 078 464;
  • 49) 0,000 002 397 885 326 598 078 464 × 2 = 0 + 0,000 004 795 770 653 196 156 928;
  • 50) 0,000 004 795 770 653 196 156 928 × 2 = 0 + 0,000 009 591 541 306 392 313 856;
  • 51) 0,000 009 591 541 306 392 313 856 × 2 = 0 + 0,000 019 183 082 612 784 627 712;
  • 52) 0,000 019 183 082 612 784 627 712 × 2 = 0 + 0,000 038 366 165 225 569 255 424;
  • 53) 0,000 038 366 165 225 569 255 424 × 2 = 0 + 0,000 076 732 330 451 138 510 848;
  • 54) 0,000 076 732 330 451 138 510 848 × 2 = 0 + 0,000 153 464 660 902 277 021 696;
  • 55) 0,000 153 464 660 902 277 021 696 × 2 = 0 + 0,000 306 929 321 804 554 043 392;
  • 56) 0,000 306 929 321 804 554 043 392 × 2 = 0 + 0,000 613 858 643 609 108 086 784;
  • 57) 0,000 613 858 643 609 108 086 784 × 2 = 0 + 0,001 227 717 287 218 216 173 568;
  • 58) 0,001 227 717 287 218 216 173 568 × 2 = 0 + 0,002 455 434 574 436 432 347 136;
  • 59) 0,002 455 434 574 436 432 347 136 × 2 = 0 + 0,004 910 869 148 872 864 694 272;
  • 60) 0,004 910 869 148 872 864 694 272 × 2 = 0 + 0,009 821 738 297 745 729 388 544;
  • 61) 0,009 821 738 297 745 729 388 544 × 2 = 0 + 0,019 643 476 595 491 458 777 088;
  • 62) 0,019 643 476 595 491 458 777 088 × 2 = 0 + 0,039 286 953 190 982 917 554 176;
  • 63) 0,039 286 953 190 982 917 554 176 × 2 = 0 + 0,078 573 906 381 965 835 108 352;
  • 64) 0,078 573 906 381 965 835 108 352 × 2 = 0 + 0,157 147 812 763 931 670 216 704;
  • 65) 0,157 147 812 763 931 670 216 704 × 2 = 0 + 0,314 295 625 527 863 340 433 408;
  • 66) 0,314 295 625 527 863 340 433 408 × 2 = 0 + 0,628 591 251 055 726 680 866 816;
  • 67) 0,628 591 251 055 726 680 866 816 × 2 = 1 + 0,257 182 502 111 453 361 733 632;
  • 68) 0,257 182 502 111 453 361 733 632 × 2 = 0 + 0,514 365 004 222 906 723 467 264;
  • 69) 0,514 365 004 222 906 723 467 264 × 2 = 1 + 0,028 730 008 445 813 446 934 528;
  • 70) 0,028 730 008 445 813 446 934 528 × 2 = 0 + 0,057 460 016 891 626 893 869 056;
  • 71) 0,057 460 016 891 626 893 869 056 × 2 = 0 + 0,114 920 033 783 253 787 738 112;
  • 72) 0,114 920 033 783 253 787 738 112 × 2 = 0 + 0,229 840 067 566 507 575 476 224;
  • 73) 0,229 840 067 566 507 575 476 224 × 2 = 0 + 0,459 680 135 133 015 150 952 448;
  • 74) 0,459 680 135 133 015 150 952 448 × 2 = 0 + 0,919 360 270 266 030 301 904 896;
  • 75) 0,919 360 270 266 030 301 904 896 × 2 = 1 + 0,838 720 540 532 060 603 809 792;
  • 76) 0,838 720 540 532 060 603 809 792 × 2 = 1 + 0,677 441 081 064 121 207 619 584;
  • 77) 0,677 441 081 064 121 207 619 584 × 2 = 1 + 0,354 882 162 128 242 415 239 168;
  • 78) 0,354 882 162 128 242 415 239 168 × 2 = 0 + 0,709 764 324 256 484 830 478 336;
  • 79) 0,709 764 324 256 484 830 478 336 × 2 = 1 + 0,419 528 648 512 969 660 956 672;
  • 80) 0,419 528 648 512 969 660 956 672 × 2 = 0 + 0,839 057 297 025 939 321 913 344;
  • 81) 0,839 057 297 025 939 321 913 344 × 2 = 1 + 0,678 114 594 051 878 643 826 688;
  • 82) 0,678 114 594 051 878 643 826 688 × 2 = 1 + 0,356 229 188 103 757 287 653 376;
  • 83) 0,356 229 188 103 757 287 653 376 × 2 = 0 + 0,712 458 376 207 514 575 306 752;
  • 84) 0,712 458 376 207 514 575 306 752 × 2 = 1 + 0,424 916 752 415 029 150 613 504;
  • 85) 0,424 916 752 415 029 150 613 504 × 2 = 0 + 0,849 833 504 830 058 301 227 008;
  • 86) 0,849 833 504 830 058 301 227 008 × 2 = 1 + 0,699 667 009 660 116 602 454 016;
  • 87) 0,699 667 009 660 116 602 454 016 × 2 = 1 + 0,399 334 019 320 233 204 908 032;
  • 88) 0,399 334 019 320 233 204 908 032 × 2 = 0 + 0,798 668 038 640 466 409 816 064;
  • 89) 0,798 668 038 640 466 409 816 064 × 2 = 1 + 0,597 336 077 280 932 819 632 128;
  • 90) 0,597 336 077 280 932 819 632 128 × 2 = 1 + 0,194 672 154 561 865 639 264 256;
  • 91) 0,194 672 154 561 865 639 264 256 × 2 = 0 + 0,389 344 309 123 731 278 528 512;
  • 92) 0,389 344 309 123 731 278 528 512 × 2 = 0 + 0,778 688 618 247 462 557 057 024;
  • 93) 0,778 688 618 247 462 557 057 024 × 2 = 1 + 0,557 377 236 494 925 114 114 048;
  • 94) 0,557 377 236 494 925 114 114 048 × 2 = 1 + 0,114 754 472 989 850 228 228 096;
  • 95) 0,114 754 472 989 850 228 228 096 × 2 = 0 + 0,229 508 945 979 700 456 456 192;
  • 96) 0,229 508 945 979 700 456 456 192 × 2 = 0 + 0,459 017 891 959 400 912 912 384;
  • 97) 0,459 017 891 959 400 912 912 384 × 2 = 0 + 0,918 035 783 918 801 825 824 768;
  • 98) 0,918 035 783 918 801 825 824 768 × 2 = 1 + 0,836 071 567 837 603 651 649 536;
  • 99) 0,836 071 567 837 603 651 649 536 × 2 = 1 + 0,672 143 135 675 207 303 299 072;
  • 100) 0,672 143 135 675 207 303 299 072 × 2 = 1 + 0,344 286 271 350 414 606 598 144;
  • 101) 0,344 286 271 350 414 606 598 144 × 2 = 0 + 0,688 572 542 700 829 213 196 288;
  • 102) 0,688 572 542 700 829 213 196 288 × 2 = 1 + 0,377 145 085 401 658 426 392 576;
  • 103) 0,377 145 085 401 658 426 392 576 × 2 = 0 + 0,754 290 170 803 316 852 785 152;
  • 104) 0,754 290 170 803 316 852 785 152 × 2 = 1 + 0,508 580 341 606 633 705 570 304;
  • 105) 0,508 580 341 606 633 705 570 304 × 2 = 1 + 0,017 160 683 213 267 411 140 608;
  • 106) 0,017 160 683 213 267 411 140 608 × 2 = 0 + 0,034 321 366 426 534 822 281 216;
  • 107) 0,034 321 366 426 534 822 281 216 × 2 = 0 + 0,068 642 732 853 069 644 562 432;
  • 108) 0,068 642 732 853 069 644 562 432 × 2 = 0 + 0,137 285 465 706 139 289 124 864;
  • 109) 0,137 285 465 706 139 289 124 864 × 2 = 0 + 0,274 570 931 412 278 578 249 728;
  • 110) 0,274 570 931 412 278 578 249 728 × 2 = 0 + 0,549 141 862 824 557 156 499 456;
  • 111) 0,549 141 862 824 557 156 499 456 × 2 = 1 + 0,098 283 725 649 114 312 998 912;
  • 112) 0,098 283 725 649 114 312 998 912 × 2 = 0 + 0,196 567 451 298 228 625 997 824;
  • 113) 0,196 567 451 298 228 625 997 824 × 2 = 0 + 0,393 134 902 596 457 251 995 648;
  • 114) 0,393 134 902 596 457 251 995 648 × 2 = 0 + 0,786 269 805 192 914 503 991 296;
  • 115) 0,786 269 805 192 914 503 991 296 × 2 = 1 + 0,572 539 610 385 829 007 982 592;
  • 116) 0,572 539 610 385 829 007 982 592 × 2 = 1 + 0,145 079 220 771 658 015 965 184;
  • 117) 0,145 079 220 771 658 015 965 184 × 2 = 0 + 0,290 158 441 543 316 031 930 368;
  • 118) 0,290 158 441 543 316 031 930 368 × 2 = 0 + 0,580 316 883 086 632 063 860 736;
  • 119) 0,580 316 883 086 632 063 860 736 × 2 = 1 + 0,160 633 766 173 264 127 721 472;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 519(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0011 1010 1101 0110 1100 1100 0111 0101 1000 0010 0011 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 519(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0011 1010 1101 0110 1100 1100 0111 0101 1000 0010 0011 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 519(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0011 1010 1101 0110 1100 1100 0111 0101 1000 0010 0011 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0011 1010 1101 0110 1100 1100 0111 0101 1000 0010 0011 001(2) × 20 =

1,0100 0001 1101 0110 1011 0110 0110 0011 1010 1100 0001 0001 1001(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0001 1101 0110 1011 0110 0110 0011 1010 1100 0001 0001 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0001 1101 0110 1011 0110 0110 0011 1010 1100 0001 0001 1001 =

0100 0001 1101 0110 1011 0110 0110 0011 1010 1100 0001 0001 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0001 1101 0110 1011 0110 0110 0011 1010 1100 0001 0001 1001


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 519 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0001 1101 0110 1011 0110 0110 0011 1010 1100 0001 0001 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 46 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100