0,000 000 000 000 000 000 008 523 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 523 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 523 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 523 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 523 5 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 047;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 047 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 094;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 094 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 188;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 188 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 376;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 272 752;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 272 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 545 504;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 545 504 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 091 008;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 091 008 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 182 016;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 182 016 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 364 032;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 364 032 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 728 064;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 728 064 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 456 128;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 456 128 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 912 256;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 912 256 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 824 512;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 824 512 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 649 024;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 649 024 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 279 298 048;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 279 298 048 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 558 596 096;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 558 596 096 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 117 192 192;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 117 192 192 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 234 384 384;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 234 384 384 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 468 768 768;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 468 768 768 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 937 537 536;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 937 537 536 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 875 075 072;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 875 075 072 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 750 150 144;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 750 150 144 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 500 300 288;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 500 300 288 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 000 600 576;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 000 600 576 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 286 001 201 152;
  • 26) 0,000 000 000 000 286 001 201 152 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 572 002 402 304;
  • 27) 0,000 000 000 000 572 002 402 304 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 144 004 804 608;
  • 28) 0,000 000 000 001 144 004 804 608 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 288 009 609 216;
  • 29) 0,000 000 000 002 288 009 609 216 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 576 019 218 432;
  • 30) 0,000 000 000 004 576 019 218 432 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 152 038 436 864;
  • 31) 0,000 000 000 009 152 038 436 864 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 304 076 873 728;
  • 32) 0,000 000 000 018 304 076 873 728 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 608 153 747 456;
  • 33) 0,000 000 000 036 608 153 747 456 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 216 307 494 912;
  • 34) 0,000 000 000 073 216 307 494 912 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 432 614 989 824;
  • 35) 0,000 000 000 146 432 614 989 824 × 2 = 0 + 0,000 000 000 292 865 229 979 648;
  • 36) 0,000 000 000 292 865 229 979 648 × 2 = 0 + 0,000 000 000 585 730 459 959 296;
  • 37) 0,000 000 000 585 730 459 959 296 × 2 = 0 + 0,000 000 001 171 460 919 918 592;
  • 38) 0,000 000 001 171 460 919 918 592 × 2 = 0 + 0,000 000 002 342 921 839 837 184;
  • 39) 0,000 000 002 342 921 839 837 184 × 2 = 0 + 0,000 000 004 685 843 679 674 368;
  • 40) 0,000 000 004 685 843 679 674 368 × 2 = 0 + 0,000 000 009 371 687 359 348 736;
  • 41) 0,000 000 009 371 687 359 348 736 × 2 = 0 + 0,000 000 018 743 374 718 697 472;
  • 42) 0,000 000 018 743 374 718 697 472 × 2 = 0 + 0,000 000 037 486 749 437 394 944;
  • 43) 0,000 000 037 486 749 437 394 944 × 2 = 0 + 0,000 000 074 973 498 874 789 888;
  • 44) 0,000 000 074 973 498 874 789 888 × 2 = 0 + 0,000 000 149 946 997 749 579 776;
  • 45) 0,000 000 149 946 997 749 579 776 × 2 = 0 + 0,000 000 299 893 995 499 159 552;
  • 46) 0,000 000 299 893 995 499 159 552 × 2 = 0 + 0,000 000 599 787 990 998 319 104;
  • 47) 0,000 000 599 787 990 998 319 104 × 2 = 0 + 0,000 001 199 575 981 996 638 208;
  • 48) 0,000 001 199 575 981 996 638 208 × 2 = 0 + 0,000 002 399 151 963 993 276 416;
  • 49) 0,000 002 399 151 963 993 276 416 × 2 = 0 + 0,000 004 798 303 927 986 552 832;
  • 50) 0,000 004 798 303 927 986 552 832 × 2 = 0 + 0,000 009 596 607 855 973 105 664;
  • 51) 0,000 009 596 607 855 973 105 664 × 2 = 0 + 0,000 019 193 215 711 946 211 328;
  • 52) 0,000 019 193 215 711 946 211 328 × 2 = 0 + 0,000 038 386 431 423 892 422 656;
  • 53) 0,000 038 386 431 423 892 422 656 × 2 = 0 + 0,000 076 772 862 847 784 845 312;
  • 54) 0,000 076 772 862 847 784 845 312 × 2 = 0 + 0,000 153 545 725 695 569 690 624;
  • 55) 0,000 153 545 725 695 569 690 624 × 2 = 0 + 0,000 307 091 451 391 139 381 248;
  • 56) 0,000 307 091 451 391 139 381 248 × 2 = 0 + 0,000 614 182 902 782 278 762 496;
  • 57) 0,000 614 182 902 782 278 762 496 × 2 = 0 + 0,001 228 365 805 564 557 524 992;
  • 58) 0,001 228 365 805 564 557 524 992 × 2 = 0 + 0,002 456 731 611 129 115 049 984;
  • 59) 0,002 456 731 611 129 115 049 984 × 2 = 0 + 0,004 913 463 222 258 230 099 968;
  • 60) 0,004 913 463 222 258 230 099 968 × 2 = 0 + 0,009 826 926 444 516 460 199 936;
  • 61) 0,009 826 926 444 516 460 199 936 × 2 = 0 + 0,019 653 852 889 032 920 399 872;
  • 62) 0,019 653 852 889 032 920 399 872 × 2 = 0 + 0,039 307 705 778 065 840 799 744;
  • 63) 0,039 307 705 778 065 840 799 744 × 2 = 0 + 0,078 615 411 556 131 681 599 488;
  • 64) 0,078 615 411 556 131 681 599 488 × 2 = 0 + 0,157 230 823 112 263 363 198 976;
  • 65) 0,157 230 823 112 263 363 198 976 × 2 = 0 + 0,314 461 646 224 526 726 397 952;
  • 66) 0,314 461 646 224 526 726 397 952 × 2 = 0 + 0,628 923 292 449 053 452 795 904;
  • 67) 0,628 923 292 449 053 452 795 904 × 2 = 1 + 0,257 846 584 898 106 905 591 808;
  • 68) 0,257 846 584 898 106 905 591 808 × 2 = 0 + 0,515 693 169 796 213 811 183 616;
  • 69) 0,515 693 169 796 213 811 183 616 × 2 = 1 + 0,031 386 339 592 427 622 367 232;
  • 70) 0,031 386 339 592 427 622 367 232 × 2 = 0 + 0,062 772 679 184 855 244 734 464;
  • 71) 0,062 772 679 184 855 244 734 464 × 2 = 0 + 0,125 545 358 369 710 489 468 928;
  • 72) 0,125 545 358 369 710 489 468 928 × 2 = 0 + 0,251 090 716 739 420 978 937 856;
  • 73) 0,251 090 716 739 420 978 937 856 × 2 = 0 + 0,502 181 433 478 841 957 875 712;
  • 74) 0,502 181 433 478 841 957 875 712 × 2 = 1 + 0,004 362 866 957 683 915 751 424;
  • 75) 0,004 362 866 957 683 915 751 424 × 2 = 0 + 0,008 725 733 915 367 831 502 848;
  • 76) 0,008 725 733 915 367 831 502 848 × 2 = 0 + 0,017 451 467 830 735 663 005 696;
  • 77) 0,017 451 467 830 735 663 005 696 × 2 = 0 + 0,034 902 935 661 471 326 011 392;
  • 78) 0,034 902 935 661 471 326 011 392 × 2 = 0 + 0,069 805 871 322 942 652 022 784;
  • 79) 0,069 805 871 322 942 652 022 784 × 2 = 0 + 0,139 611 742 645 885 304 045 568;
  • 80) 0,139 611 742 645 885 304 045 568 × 2 = 0 + 0,279 223 485 291 770 608 091 136;
  • 81) 0,279 223 485 291 770 608 091 136 × 2 = 0 + 0,558 446 970 583 541 216 182 272;
  • 82) 0,558 446 970 583 541 216 182 272 × 2 = 1 + 0,116 893 941 167 082 432 364 544;
  • 83) 0,116 893 941 167 082 432 364 544 × 2 = 0 + 0,233 787 882 334 164 864 729 088;
  • 84) 0,233 787 882 334 164 864 729 088 × 2 = 0 + 0,467 575 764 668 329 729 458 176;
  • 85) 0,467 575 764 668 329 729 458 176 × 2 = 0 + 0,935 151 529 336 659 458 916 352;
  • 86) 0,935 151 529 336 659 458 916 352 × 2 = 1 + 0,870 303 058 673 318 917 832 704;
  • 87) 0,870 303 058 673 318 917 832 704 × 2 = 1 + 0,740 606 117 346 637 835 665 408;
  • 88) 0,740 606 117 346 637 835 665 408 × 2 = 1 + 0,481 212 234 693 275 671 330 816;
  • 89) 0,481 212 234 693 275 671 330 816 × 2 = 0 + 0,962 424 469 386 551 342 661 632;
  • 90) 0,962 424 469 386 551 342 661 632 × 2 = 1 + 0,924 848 938 773 102 685 323 264;
  • 91) 0,924 848 938 773 102 685 323 264 × 2 = 1 + 0,849 697 877 546 205 370 646 528;
  • 92) 0,849 697 877 546 205 370 646 528 × 2 = 1 + 0,699 395 755 092 410 741 293 056;
  • 93) 0,699 395 755 092 410 741 293 056 × 2 = 1 + 0,398 791 510 184 821 482 586 112;
  • 94) 0,398 791 510 184 821 482 586 112 × 2 = 0 + 0,797 583 020 369 642 965 172 224;
  • 95) 0,797 583 020 369 642 965 172 224 × 2 = 1 + 0,595 166 040 739 285 930 344 448;
  • 96) 0,595 166 040 739 285 930 344 448 × 2 = 1 + 0,190 332 081 478 571 860 688 896;
  • 97) 0,190 332 081 478 571 860 688 896 × 2 = 0 + 0,380 664 162 957 143 721 377 792;
  • 98) 0,380 664 162 957 143 721 377 792 × 2 = 0 + 0,761 328 325 914 287 442 755 584;
  • 99) 0,761 328 325 914 287 442 755 584 × 2 = 1 + 0,522 656 651 828 574 885 511 168;
  • 100) 0,522 656 651 828 574 885 511 168 × 2 = 1 + 0,045 313 303 657 149 771 022 336;
  • 101) 0,045 313 303 657 149 771 022 336 × 2 = 0 + 0,090 626 607 314 299 542 044 672;
  • 102) 0,090 626 607 314 299 542 044 672 × 2 = 0 + 0,181 253 214 628 599 084 089 344;
  • 103) 0,181 253 214 628 599 084 089 344 × 2 = 0 + 0,362 506 429 257 198 168 178 688;
  • 104) 0,362 506 429 257 198 168 178 688 × 2 = 0 + 0,725 012 858 514 396 336 357 376;
  • 105) 0,725 012 858 514 396 336 357 376 × 2 = 1 + 0,450 025 717 028 792 672 714 752;
  • 106) 0,450 025 717 028 792 672 714 752 × 2 = 0 + 0,900 051 434 057 585 345 429 504;
  • 107) 0,900 051 434 057 585 345 429 504 × 2 = 1 + 0,800 102 868 115 170 690 859 008;
  • 108) 0,800 102 868 115 170 690 859 008 × 2 = 1 + 0,600 205 736 230 341 381 718 016;
  • 109) 0,600 205 736 230 341 381 718 016 × 2 = 1 + 0,200 411 472 460 682 763 436 032;
  • 110) 0,200 411 472 460 682 763 436 032 × 2 = 0 + 0,400 822 944 921 365 526 872 064;
  • 111) 0,400 822 944 921 365 526 872 064 × 2 = 0 + 0,801 645 889 842 731 053 744 128;
  • 112) 0,801 645 889 842 731 053 744 128 × 2 = 1 + 0,603 291 779 685 462 107 488 256;
  • 113) 0,603 291 779 685 462 107 488 256 × 2 = 1 + 0,206 583 559 370 924 214 976 512;
  • 114) 0,206 583 559 370 924 214 976 512 × 2 = 0 + 0,413 167 118 741 848 429 953 024;
  • 115) 0,413 167 118 741 848 429 953 024 × 2 = 0 + 0,826 334 237 483 696 859 906 048;
  • 116) 0,826 334 237 483 696 859 906 048 × 2 = 1 + 0,652 668 474 967 393 719 812 096;
  • 117) 0,652 668 474 967 393 719 812 096 × 2 = 1 + 0,305 336 949 934 787 439 624 192;
  • 118) 0,305 336 949 934 787 439 624 192 × 2 = 0 + 0,610 673 899 869 574 879 248 384;
  • 119) 0,610 673 899 869 574 879 248 384 × 2 = 1 + 0,221 347 799 739 149 758 496 768;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 523 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0000 0100 0111 0111 1011 0011 0000 1011 1001 1001 101(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 523 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0000 0100 0111 0111 1011 0011 0000 1011 1001 1001 101(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 523 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0000 0100 0111 0111 1011 0011 0000 1011 1001 1001 101(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0000 0100 0111 0111 1011 0011 0000 1011 1001 1001 101(2) × 20 =

1,0100 0010 0000 0010 0011 1011 1101 1001 1000 0101 1100 1100 1101(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0010 0000 0010 0011 1011 1101 1001 1000 0101 1100 1100 1101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0010 0000 0010 0011 1011 1101 1001 1000 0101 1100 1100 1101 =

0100 0010 0000 0010 0011 1011 1101 1001 1000 0101 1100 1100 1101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0010 0000 0010 0011 1011 1101 1001 1000 0101 1100 1100 1101


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 523 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0010 0000 0010 0011 1011 1101 1001 1000 0101 1100 1100 1101

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 531 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100