0,000 000 000 000 000 000 008 524 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 524(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 524(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 524.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 524 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 048;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 048 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 096;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 096 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 192;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 192 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 384;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 384 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 272 768;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 272 768 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 545 536;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 545 536 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 091 072;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 091 072 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 182 144;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 182 144 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 364 288;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 364 288 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 728 576;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 728 576 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 457 152;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 457 152 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 914 304;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 914 304 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 828 608;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 828 608 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 657 216;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 657 216 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 279 314 432;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 279 314 432 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 558 628 864;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 558 628 864 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 117 257 728;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 117 257 728 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 234 515 456;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 234 515 456 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 469 030 912;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 469 030 912 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 938 061 824;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 938 061 824 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 876 123 648;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 876 123 648 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 752 247 296;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 752 247 296 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 504 494 592;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 504 494 592 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 008 989 184;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 008 989 184 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 286 017 978 368;
  • 26) 0,000 000 000 000 286 017 978 368 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 572 035 956 736;
  • 27) 0,000 000 000 000 572 035 956 736 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 144 071 913 472;
  • 28) 0,000 000 000 001 144 071 913 472 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 288 143 826 944;
  • 29) 0,000 000 000 002 288 143 826 944 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 576 287 653 888;
  • 30) 0,000 000 000 004 576 287 653 888 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 152 575 307 776;
  • 31) 0,000 000 000 009 152 575 307 776 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 305 150 615 552;
  • 32) 0,000 000 000 018 305 150 615 552 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 610 301 231 104;
  • 33) 0,000 000 000 036 610 301 231 104 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 220 602 462 208;
  • 34) 0,000 000 000 073 220 602 462 208 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 441 204 924 416;
  • 35) 0,000 000 000 146 441 204 924 416 × 2 = 0 + 0,000 000 000 292 882 409 848 832;
  • 36) 0,000 000 000 292 882 409 848 832 × 2 = 0 + 0,000 000 000 585 764 819 697 664;
  • 37) 0,000 000 000 585 764 819 697 664 × 2 = 0 + 0,000 000 001 171 529 639 395 328;
  • 38) 0,000 000 001 171 529 639 395 328 × 2 = 0 + 0,000 000 002 343 059 278 790 656;
  • 39) 0,000 000 002 343 059 278 790 656 × 2 = 0 + 0,000 000 004 686 118 557 581 312;
  • 40) 0,000 000 004 686 118 557 581 312 × 2 = 0 + 0,000 000 009 372 237 115 162 624;
  • 41) 0,000 000 009 372 237 115 162 624 × 2 = 0 + 0,000 000 018 744 474 230 325 248;
  • 42) 0,000 000 018 744 474 230 325 248 × 2 = 0 + 0,000 000 037 488 948 460 650 496;
  • 43) 0,000 000 037 488 948 460 650 496 × 2 = 0 + 0,000 000 074 977 896 921 300 992;
  • 44) 0,000 000 074 977 896 921 300 992 × 2 = 0 + 0,000 000 149 955 793 842 601 984;
  • 45) 0,000 000 149 955 793 842 601 984 × 2 = 0 + 0,000 000 299 911 587 685 203 968;
  • 46) 0,000 000 299 911 587 685 203 968 × 2 = 0 + 0,000 000 599 823 175 370 407 936;
  • 47) 0,000 000 599 823 175 370 407 936 × 2 = 0 + 0,000 001 199 646 350 740 815 872;
  • 48) 0,000 001 199 646 350 740 815 872 × 2 = 0 + 0,000 002 399 292 701 481 631 744;
  • 49) 0,000 002 399 292 701 481 631 744 × 2 = 0 + 0,000 004 798 585 402 963 263 488;
  • 50) 0,000 004 798 585 402 963 263 488 × 2 = 0 + 0,000 009 597 170 805 926 526 976;
  • 51) 0,000 009 597 170 805 926 526 976 × 2 = 0 + 0,000 019 194 341 611 853 053 952;
  • 52) 0,000 019 194 341 611 853 053 952 × 2 = 0 + 0,000 038 388 683 223 706 107 904;
  • 53) 0,000 038 388 683 223 706 107 904 × 2 = 0 + 0,000 076 777 366 447 412 215 808;
  • 54) 0,000 076 777 366 447 412 215 808 × 2 = 0 + 0,000 153 554 732 894 824 431 616;
  • 55) 0,000 153 554 732 894 824 431 616 × 2 = 0 + 0,000 307 109 465 789 648 863 232;
  • 56) 0,000 307 109 465 789 648 863 232 × 2 = 0 + 0,000 614 218 931 579 297 726 464;
  • 57) 0,000 614 218 931 579 297 726 464 × 2 = 0 + 0,001 228 437 863 158 595 452 928;
  • 58) 0,001 228 437 863 158 595 452 928 × 2 = 0 + 0,002 456 875 726 317 190 905 856;
  • 59) 0,002 456 875 726 317 190 905 856 × 2 = 0 + 0,004 913 751 452 634 381 811 712;
  • 60) 0,004 913 751 452 634 381 811 712 × 2 = 0 + 0,009 827 502 905 268 763 623 424;
  • 61) 0,009 827 502 905 268 763 623 424 × 2 = 0 + 0,019 655 005 810 537 527 246 848;
  • 62) 0,019 655 005 810 537 527 246 848 × 2 = 0 + 0,039 310 011 621 075 054 493 696;
  • 63) 0,039 310 011 621 075 054 493 696 × 2 = 0 + 0,078 620 023 242 150 108 987 392;
  • 64) 0,078 620 023 242 150 108 987 392 × 2 = 0 + 0,157 240 046 484 300 217 974 784;
  • 65) 0,157 240 046 484 300 217 974 784 × 2 = 0 + 0,314 480 092 968 600 435 949 568;
  • 66) 0,314 480 092 968 600 435 949 568 × 2 = 0 + 0,628 960 185 937 200 871 899 136;
  • 67) 0,628 960 185 937 200 871 899 136 × 2 = 1 + 0,257 920 371 874 401 743 798 272;
  • 68) 0,257 920 371 874 401 743 798 272 × 2 = 0 + 0,515 840 743 748 803 487 596 544;
  • 69) 0,515 840 743 748 803 487 596 544 × 2 = 1 + 0,031 681 487 497 606 975 193 088;
  • 70) 0,031 681 487 497 606 975 193 088 × 2 = 0 + 0,063 362 974 995 213 950 386 176;
  • 71) 0,063 362 974 995 213 950 386 176 × 2 = 0 + 0,126 725 949 990 427 900 772 352;
  • 72) 0,126 725 949 990 427 900 772 352 × 2 = 0 + 0,253 451 899 980 855 801 544 704;
  • 73) 0,253 451 899 980 855 801 544 704 × 2 = 0 + 0,506 903 799 961 711 603 089 408;
  • 74) 0,506 903 799 961 711 603 089 408 × 2 = 1 + 0,013 807 599 923 423 206 178 816;
  • 75) 0,013 807 599 923 423 206 178 816 × 2 = 0 + 0,027 615 199 846 846 412 357 632;
  • 76) 0,027 615 199 846 846 412 357 632 × 2 = 0 + 0,055 230 399 693 692 824 715 264;
  • 77) 0,055 230 399 693 692 824 715 264 × 2 = 0 + 0,110 460 799 387 385 649 430 528;
  • 78) 0,110 460 799 387 385 649 430 528 × 2 = 0 + 0,220 921 598 774 771 298 861 056;
  • 79) 0,220 921 598 774 771 298 861 056 × 2 = 0 + 0,441 843 197 549 542 597 722 112;
  • 80) 0,441 843 197 549 542 597 722 112 × 2 = 0 + 0,883 686 395 099 085 195 444 224;
  • 81) 0,883 686 395 099 085 195 444 224 × 2 = 1 + 0,767 372 790 198 170 390 888 448;
  • 82) 0,767 372 790 198 170 390 888 448 × 2 = 1 + 0,534 745 580 396 340 781 776 896;
  • 83) 0,534 745 580 396 340 781 776 896 × 2 = 1 + 0,069 491 160 792 681 563 553 792;
  • 84) 0,069 491 160 792 681 563 553 792 × 2 = 0 + 0,138 982 321 585 363 127 107 584;
  • 85) 0,138 982 321 585 363 127 107 584 × 2 = 0 + 0,277 964 643 170 726 254 215 168;
  • 86) 0,277 964 643 170 726 254 215 168 × 2 = 0 + 0,555 929 286 341 452 508 430 336;
  • 87) 0,555 929 286 341 452 508 430 336 × 2 = 1 + 0,111 858 572 682 905 016 860 672;
  • 88) 0,111 858 572 682 905 016 860 672 × 2 = 0 + 0,223 717 145 365 810 033 721 344;
  • 89) 0,223 717 145 365 810 033 721 344 × 2 = 0 + 0,447 434 290 731 620 067 442 688;
  • 90) 0,447 434 290 731 620 067 442 688 × 2 = 0 + 0,894 868 581 463 240 134 885 376;
  • 91) 0,894 868 581 463 240 134 885 376 × 2 = 1 + 0,789 737 162 926 480 269 770 752;
  • 92) 0,789 737 162 926 480 269 770 752 × 2 = 1 + 0,579 474 325 852 960 539 541 504;
  • 93) 0,579 474 325 852 960 539 541 504 × 2 = 1 + 0,158 948 651 705 921 079 083 008;
  • 94) 0,158 948 651 705 921 079 083 008 × 2 = 0 + 0,317 897 303 411 842 158 166 016;
  • 95) 0,317 897 303 411 842 158 166 016 × 2 = 0 + 0,635 794 606 823 684 316 332 032;
  • 96) 0,635 794 606 823 684 316 332 032 × 2 = 1 + 0,271 589 213 647 368 632 664 064;
  • 97) 0,271 589 213 647 368 632 664 064 × 2 = 0 + 0,543 178 427 294 737 265 328 128;
  • 98) 0,543 178 427 294 737 265 328 128 × 2 = 1 + 0,086 356 854 589 474 530 656 256;
  • 99) 0,086 356 854 589 474 530 656 256 × 2 = 0 + 0,172 713 709 178 949 061 312 512;
  • 100) 0,172 713 709 178 949 061 312 512 × 2 = 0 + 0,345 427 418 357 898 122 625 024;
  • 101) 0,345 427 418 357 898 122 625 024 × 2 = 0 + 0,690 854 836 715 796 245 250 048;
  • 102) 0,690 854 836 715 796 245 250 048 × 2 = 1 + 0,381 709 673 431 592 490 500 096;
  • 103) 0,381 709 673 431 592 490 500 096 × 2 = 0 + 0,763 419 346 863 184 981 000 192;
  • 104) 0,763 419 346 863 184 981 000 192 × 2 = 1 + 0,526 838 693 726 369 962 000 384;
  • 105) 0,526 838 693 726 369 962 000 384 × 2 = 1 + 0,053 677 387 452 739 924 000 768;
  • 106) 0,053 677 387 452 739 924 000 768 × 2 = 0 + 0,107 354 774 905 479 848 001 536;
  • 107) 0,107 354 774 905 479 848 001 536 × 2 = 0 + 0,214 709 549 810 959 696 003 072;
  • 108) 0,214 709 549 810 959 696 003 072 × 2 = 0 + 0,429 419 099 621 919 392 006 144;
  • 109) 0,429 419 099 621 919 392 006 144 × 2 = 0 + 0,858 838 199 243 838 784 012 288;
  • 110) 0,858 838 199 243 838 784 012 288 × 2 = 1 + 0,717 676 398 487 677 568 024 576;
  • 111) 0,717 676 398 487 677 568 024 576 × 2 = 1 + 0,435 352 796 975 355 136 049 152;
  • 112) 0,435 352 796 975 355 136 049 152 × 2 = 0 + 0,870 705 593 950 710 272 098 304;
  • 113) 0,870 705 593 950 710 272 098 304 × 2 = 1 + 0,741 411 187 901 420 544 196 608;
  • 114) 0,741 411 187 901 420 544 196 608 × 2 = 1 + 0,482 822 375 802 841 088 393 216;
  • 115) 0,482 822 375 802 841 088 393 216 × 2 = 0 + 0,965 644 751 605 682 176 786 432;
  • 116) 0,965 644 751 605 682 176 786 432 × 2 = 1 + 0,931 289 503 211 364 353 572 864;
  • 117) 0,931 289 503 211 364 353 572 864 × 2 = 1 + 0,862 579 006 422 728 707 145 728;
  • 118) 0,862 579 006 422 728 707 145 728 × 2 = 1 + 0,725 158 012 845 457 414 291 456;
  • 119) 0,725 158 012 845 457 414 291 456 × 2 = 1 + 0,450 316 025 690 914 828 582 912;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 524(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0000 1110 0010 0011 1001 0100 0101 1000 0110 1101 111(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 524(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0000 1110 0010 0011 1001 0100 0101 1000 0110 1101 111(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 524(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0000 1110 0010 0011 1001 0100 0101 1000 0110 1101 111(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0000 1110 0010 0011 1001 0100 0101 1000 0110 1101 111(2) × 20 =

1,0100 0010 0000 0111 0001 0001 1100 1010 0010 1100 0011 0110 1111(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0010 0000 0111 0001 0001 1100 1010 0010 1100 0011 0110 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0010 0000 0111 0001 0001 1100 1010 0010 1100 0011 0110 1111 =

0100 0010 0000 0111 0001 0001 1100 1010 0010 1100 0011 0110 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0010 0000 0111 0001 0001 1100 1010 0010 1100 0011 0110 1111


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 524 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0010 0000 0111 0001 0001 1100 1010 0010 1100 0011 0110 1111

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 44 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100