0,000 000 000 000 000 000 008 525 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 525 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 525 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 525 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 525 5 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 051;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 051 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 102;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 102 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 204;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 204 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 408;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 408 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 272 816;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 272 816 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 545 632;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 545 632 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 091 264;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 091 264 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 182 528;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 182 528 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 365 056;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 365 056 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 730 112;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 730 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 460 224;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 460 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 920 448;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 920 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 840 896;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 840 896 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 681 792;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 681 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 279 363 584;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 279 363 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 558 727 168;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 558 727 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 117 454 336;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 117 454 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 234 908 672;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 234 908 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 469 817 344;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 469 817 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 939 634 688;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 939 634 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 879 269 376;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 879 269 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 758 538 752;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 758 538 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 517 077 504;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 517 077 504 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 034 155 008;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 034 155 008 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 286 068 310 016;
  • 26) 0,000 000 000 000 286 068 310 016 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 572 136 620 032;
  • 27) 0,000 000 000 000 572 136 620 032 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 144 273 240 064;
  • 28) 0,000 000 000 001 144 273 240 064 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 288 546 480 128;
  • 29) 0,000 000 000 002 288 546 480 128 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 577 092 960 256;
  • 30) 0,000 000 000 004 577 092 960 256 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 154 185 920 512;
  • 31) 0,000 000 000 009 154 185 920 512 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 308 371 841 024;
  • 32) 0,000 000 000 018 308 371 841 024 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 616 743 682 048;
  • 33) 0,000 000 000 036 616 743 682 048 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 233 487 364 096;
  • 34) 0,000 000 000 073 233 487 364 096 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 466 974 728 192;
  • 35) 0,000 000 000 146 466 974 728 192 × 2 = 0 + 0,000 000 000 292 933 949 456 384;
  • 36) 0,000 000 000 292 933 949 456 384 × 2 = 0 + 0,000 000 000 585 867 898 912 768;
  • 37) 0,000 000 000 585 867 898 912 768 × 2 = 0 + 0,000 000 001 171 735 797 825 536;
  • 38) 0,000 000 001 171 735 797 825 536 × 2 = 0 + 0,000 000 002 343 471 595 651 072;
  • 39) 0,000 000 002 343 471 595 651 072 × 2 = 0 + 0,000 000 004 686 943 191 302 144;
  • 40) 0,000 000 004 686 943 191 302 144 × 2 = 0 + 0,000 000 009 373 886 382 604 288;
  • 41) 0,000 000 009 373 886 382 604 288 × 2 = 0 + 0,000 000 018 747 772 765 208 576;
  • 42) 0,000 000 018 747 772 765 208 576 × 2 = 0 + 0,000 000 037 495 545 530 417 152;
  • 43) 0,000 000 037 495 545 530 417 152 × 2 = 0 + 0,000 000 074 991 091 060 834 304;
  • 44) 0,000 000 074 991 091 060 834 304 × 2 = 0 + 0,000 000 149 982 182 121 668 608;
  • 45) 0,000 000 149 982 182 121 668 608 × 2 = 0 + 0,000 000 299 964 364 243 337 216;
  • 46) 0,000 000 299 964 364 243 337 216 × 2 = 0 + 0,000 000 599 928 728 486 674 432;
  • 47) 0,000 000 599 928 728 486 674 432 × 2 = 0 + 0,000 001 199 857 456 973 348 864;
  • 48) 0,000 001 199 857 456 973 348 864 × 2 = 0 + 0,000 002 399 714 913 946 697 728;
  • 49) 0,000 002 399 714 913 946 697 728 × 2 = 0 + 0,000 004 799 429 827 893 395 456;
  • 50) 0,000 004 799 429 827 893 395 456 × 2 = 0 + 0,000 009 598 859 655 786 790 912;
  • 51) 0,000 009 598 859 655 786 790 912 × 2 = 0 + 0,000 019 197 719 311 573 581 824;
  • 52) 0,000 019 197 719 311 573 581 824 × 2 = 0 + 0,000 038 395 438 623 147 163 648;
  • 53) 0,000 038 395 438 623 147 163 648 × 2 = 0 + 0,000 076 790 877 246 294 327 296;
  • 54) 0,000 076 790 877 246 294 327 296 × 2 = 0 + 0,000 153 581 754 492 588 654 592;
  • 55) 0,000 153 581 754 492 588 654 592 × 2 = 0 + 0,000 307 163 508 985 177 309 184;
  • 56) 0,000 307 163 508 985 177 309 184 × 2 = 0 + 0,000 614 327 017 970 354 618 368;
  • 57) 0,000 614 327 017 970 354 618 368 × 2 = 0 + 0,001 228 654 035 940 709 236 736;
  • 58) 0,001 228 654 035 940 709 236 736 × 2 = 0 + 0,002 457 308 071 881 418 473 472;
  • 59) 0,002 457 308 071 881 418 473 472 × 2 = 0 + 0,004 914 616 143 762 836 946 944;
  • 60) 0,004 914 616 143 762 836 946 944 × 2 = 0 + 0,009 829 232 287 525 673 893 888;
  • 61) 0,009 829 232 287 525 673 893 888 × 2 = 0 + 0,019 658 464 575 051 347 787 776;
  • 62) 0,019 658 464 575 051 347 787 776 × 2 = 0 + 0,039 316 929 150 102 695 575 552;
  • 63) 0,039 316 929 150 102 695 575 552 × 2 = 0 + 0,078 633 858 300 205 391 151 104;
  • 64) 0,078 633 858 300 205 391 151 104 × 2 = 0 + 0,157 267 716 600 410 782 302 208;
  • 65) 0,157 267 716 600 410 782 302 208 × 2 = 0 + 0,314 535 433 200 821 564 604 416;
  • 66) 0,314 535 433 200 821 564 604 416 × 2 = 0 + 0,629 070 866 401 643 129 208 832;
  • 67) 0,629 070 866 401 643 129 208 832 × 2 = 1 + 0,258 141 732 803 286 258 417 664;
  • 68) 0,258 141 732 803 286 258 417 664 × 2 = 0 + 0,516 283 465 606 572 516 835 328;
  • 69) 0,516 283 465 606 572 516 835 328 × 2 = 1 + 0,032 566 931 213 145 033 670 656;
  • 70) 0,032 566 931 213 145 033 670 656 × 2 = 0 + 0,065 133 862 426 290 067 341 312;
  • 71) 0,065 133 862 426 290 067 341 312 × 2 = 0 + 0,130 267 724 852 580 134 682 624;
  • 72) 0,130 267 724 852 580 134 682 624 × 2 = 0 + 0,260 535 449 705 160 269 365 248;
  • 73) 0,260 535 449 705 160 269 365 248 × 2 = 0 + 0,521 070 899 410 320 538 730 496;
  • 74) 0,521 070 899 410 320 538 730 496 × 2 = 1 + 0,042 141 798 820 641 077 460 992;
  • 75) 0,042 141 798 820 641 077 460 992 × 2 = 0 + 0,084 283 597 641 282 154 921 984;
  • 76) 0,084 283 597 641 282 154 921 984 × 2 = 0 + 0,168 567 195 282 564 309 843 968;
  • 77) 0,168 567 195 282 564 309 843 968 × 2 = 0 + 0,337 134 390 565 128 619 687 936;
  • 78) 0,337 134 390 565 128 619 687 936 × 2 = 0 + 0,674 268 781 130 257 239 375 872;
  • 79) 0,674 268 781 130 257 239 375 872 × 2 = 1 + 0,348 537 562 260 514 478 751 744;
  • 80) 0,348 537 562 260 514 478 751 744 × 2 = 0 + 0,697 075 124 521 028 957 503 488;
  • 81) 0,697 075 124 521 028 957 503 488 × 2 = 1 + 0,394 150 249 042 057 915 006 976;
  • 82) 0,394 150 249 042 057 915 006 976 × 2 = 0 + 0,788 300 498 084 115 830 013 952;
  • 83) 0,788 300 498 084 115 830 013 952 × 2 = 1 + 0,576 600 996 168 231 660 027 904;
  • 84) 0,576 600 996 168 231 660 027 904 × 2 = 1 + 0,153 201 992 336 463 320 055 808;
  • 85) 0,153 201 992 336 463 320 055 808 × 2 = 0 + 0,306 403 984 672 926 640 111 616;
  • 86) 0,306 403 984 672 926 640 111 616 × 2 = 0 + 0,612 807 969 345 853 280 223 232;
  • 87) 0,612 807 969 345 853 280 223 232 × 2 = 1 + 0,225 615 938 691 706 560 446 464;
  • 88) 0,225 615 938 691 706 560 446 464 × 2 = 0 + 0,451 231 877 383 413 120 892 928;
  • 89) 0,451 231 877 383 413 120 892 928 × 2 = 0 + 0,902 463 754 766 826 241 785 856;
  • 90) 0,902 463 754 766 826 241 785 856 × 2 = 1 + 0,804 927 509 533 652 483 571 712;
  • 91) 0,804 927 509 533 652 483 571 712 × 2 = 1 + 0,609 855 019 067 304 967 143 424;
  • 92) 0,609 855 019 067 304 967 143 424 × 2 = 1 + 0,219 710 038 134 609 934 286 848;
  • 93) 0,219 710 038 134 609 934 286 848 × 2 = 0 + 0,439 420 076 269 219 868 573 696;
  • 94) 0,439 420 076 269 219 868 573 696 × 2 = 0 + 0,878 840 152 538 439 737 147 392;
  • 95) 0,878 840 152 538 439 737 147 392 × 2 = 1 + 0,757 680 305 076 879 474 294 784;
  • 96) 0,757 680 305 076 879 474 294 784 × 2 = 1 + 0,515 360 610 153 758 948 589 568;
  • 97) 0,515 360 610 153 758 948 589 568 × 2 = 1 + 0,030 721 220 307 517 897 179 136;
  • 98) 0,030 721 220 307 517 897 179 136 × 2 = 0 + 0,061 442 440 615 035 794 358 272;
  • 99) 0,061 442 440 615 035 794 358 272 × 2 = 0 + 0,122 884 881 230 071 588 716 544;
  • 100) 0,122 884 881 230 071 588 716 544 × 2 = 0 + 0,245 769 762 460 143 177 433 088;
  • 101) 0,245 769 762 460 143 177 433 088 × 2 = 0 + 0,491 539 524 920 286 354 866 176;
  • 102) 0,491 539 524 920 286 354 866 176 × 2 = 0 + 0,983 079 049 840 572 709 732 352;
  • 103) 0,983 079 049 840 572 709 732 352 × 2 = 1 + 0,966 158 099 681 145 419 464 704;
  • 104) 0,966 158 099 681 145 419 464 704 × 2 = 1 + 0,932 316 199 362 290 838 929 408;
  • 105) 0,932 316 199 362 290 838 929 408 × 2 = 1 + 0,864 632 398 724 581 677 858 816;
  • 106) 0,864 632 398 724 581 677 858 816 × 2 = 1 + 0,729 264 797 449 163 355 717 632;
  • 107) 0,729 264 797 449 163 355 717 632 × 2 = 1 + 0,458 529 594 898 326 711 435 264;
  • 108) 0,458 529 594 898 326 711 435 264 × 2 = 0 + 0,917 059 189 796 653 422 870 528;
  • 109) 0,917 059 189 796 653 422 870 528 × 2 = 1 + 0,834 118 379 593 306 845 741 056;
  • 110) 0,834 118 379 593 306 845 741 056 × 2 = 1 + 0,668 236 759 186 613 691 482 112;
  • 111) 0,668 236 759 186 613 691 482 112 × 2 = 1 + 0,336 473 518 373 227 382 964 224;
  • 112) 0,336 473 518 373 227 382 964 224 × 2 = 0 + 0,672 947 036 746 454 765 928 448;
  • 113) 0,672 947 036 746 454 765 928 448 × 2 = 1 + 0,345 894 073 492 909 531 856 896;
  • 114) 0,345 894 073 492 909 531 856 896 × 2 = 0 + 0,691 788 146 985 819 063 713 792;
  • 115) 0,691 788 146 985 819 063 713 792 × 2 = 1 + 0,383 576 293 971 638 127 427 584;
  • 116) 0,383 576 293 971 638 127 427 584 × 2 = 0 + 0,767 152 587 943 276 254 855 168;
  • 117) 0,767 152 587 943 276 254 855 168 × 2 = 1 + 0,534 305 175 886 552 509 710 336;
  • 118) 0,534 305 175 886 552 509 710 336 × 2 = 1 + 0,068 610 351 773 105 019 420 672;
  • 119) 0,068 610 351 773 105 019 420 672 × 2 = 0 + 0,137 220 703 546 210 038 841 344;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 525 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0010 1011 0010 0111 0011 1000 0011 1110 1110 1010 110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 525 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0010 1011 0010 0111 0011 1000 0011 1110 1110 1010 110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 525 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0010 1011 0010 0111 0011 1000 0011 1110 1110 1010 110(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0010 1011 0010 0111 0011 1000 0011 1110 1110 1010 110(2) × 20 =

1,0100 0010 0001 0101 1001 0011 1001 1100 0001 1111 0111 0101 0110(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0010 0001 0101 1001 0011 1001 1100 0001 1111 0111 0101 0110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0010 0001 0101 1001 0011 1001 1100 0001 1111 0111 0101 0110 =

0100 0010 0001 0101 1001 0011 1001 1100 0001 1111 0111 0101 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0010 0001 0101 1001 0011 1001 1100 0001 1111 0111 0101 0110


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 525 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0010 0001 0101 1001 0011 1001 1100 0001 1111 0111 0101 0110

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 535 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100