0,000 000 000 000 000 000 008 529 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 529(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 529(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 529.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 529 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 058;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 058 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 116;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 116 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 232;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 232 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 464;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 464 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 272 928;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 272 928 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 545 856;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 545 856 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 091 712;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 091 712 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 183 424;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 183 424 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 366 848;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 366 848 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 733 696;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 733 696 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 467 392;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 467 392 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 934 784;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 934 784 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 869 568;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 869 568 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 739 136;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 739 136 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 279 478 272;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 279 478 272 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 558 956 544;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 558 956 544 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 117 913 088;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 117 913 088 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 235 826 176;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 235 826 176 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 471 652 352;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 471 652 352 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 943 304 704;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 943 304 704 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 886 609 408;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 886 609 408 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 773 218 816;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 773 218 816 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 546 437 632;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 546 437 632 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 092 875 264;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 092 875 264 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 286 185 750 528;
  • 26) 0,000 000 000 000 286 185 750 528 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 572 371 501 056;
  • 27) 0,000 000 000 000 572 371 501 056 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 144 743 002 112;
  • 28) 0,000 000 000 001 144 743 002 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 289 486 004 224;
  • 29) 0,000 000 000 002 289 486 004 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 578 972 008 448;
  • 30) 0,000 000 000 004 578 972 008 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 157 944 016 896;
  • 31) 0,000 000 000 009 157 944 016 896 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 315 888 033 792;
  • 32) 0,000 000 000 018 315 888 033 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 631 776 067 584;
  • 33) 0,000 000 000 036 631 776 067 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 263 552 135 168;
  • 34) 0,000 000 000 073 263 552 135 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 527 104 270 336;
  • 35) 0,000 000 000 146 527 104 270 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 293 054 208 540 672;
  • 36) 0,000 000 000 293 054 208 540 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 586 108 417 081 344;
  • 37) 0,000 000 000 586 108 417 081 344 × 2 = 0 + 0,000 000 001 172 216 834 162 688;
  • 38) 0,000 000 001 172 216 834 162 688 × 2 = 0 + 0,000 000 002 344 433 668 325 376;
  • 39) 0,000 000 002 344 433 668 325 376 × 2 = 0 + 0,000 000 004 688 867 336 650 752;
  • 40) 0,000 000 004 688 867 336 650 752 × 2 = 0 + 0,000 000 009 377 734 673 301 504;
  • 41) 0,000 000 009 377 734 673 301 504 × 2 = 0 + 0,000 000 018 755 469 346 603 008;
  • 42) 0,000 000 018 755 469 346 603 008 × 2 = 0 + 0,000 000 037 510 938 693 206 016;
  • 43) 0,000 000 037 510 938 693 206 016 × 2 = 0 + 0,000 000 075 021 877 386 412 032;
  • 44) 0,000 000 075 021 877 386 412 032 × 2 = 0 + 0,000 000 150 043 754 772 824 064;
  • 45) 0,000 000 150 043 754 772 824 064 × 2 = 0 + 0,000 000 300 087 509 545 648 128;
  • 46) 0,000 000 300 087 509 545 648 128 × 2 = 0 + 0,000 000 600 175 019 091 296 256;
  • 47) 0,000 000 600 175 019 091 296 256 × 2 = 0 + 0,000 001 200 350 038 182 592 512;
  • 48) 0,000 001 200 350 038 182 592 512 × 2 = 0 + 0,000 002 400 700 076 365 185 024;
  • 49) 0,000 002 400 700 076 365 185 024 × 2 = 0 + 0,000 004 801 400 152 730 370 048;
  • 50) 0,000 004 801 400 152 730 370 048 × 2 = 0 + 0,000 009 602 800 305 460 740 096;
  • 51) 0,000 009 602 800 305 460 740 096 × 2 = 0 + 0,000 019 205 600 610 921 480 192;
  • 52) 0,000 019 205 600 610 921 480 192 × 2 = 0 + 0,000 038 411 201 221 842 960 384;
  • 53) 0,000 038 411 201 221 842 960 384 × 2 = 0 + 0,000 076 822 402 443 685 920 768;
  • 54) 0,000 076 822 402 443 685 920 768 × 2 = 0 + 0,000 153 644 804 887 371 841 536;
  • 55) 0,000 153 644 804 887 371 841 536 × 2 = 0 + 0,000 307 289 609 774 743 683 072;
  • 56) 0,000 307 289 609 774 743 683 072 × 2 = 0 + 0,000 614 579 219 549 487 366 144;
  • 57) 0,000 614 579 219 549 487 366 144 × 2 = 0 + 0,001 229 158 439 098 974 732 288;
  • 58) 0,001 229 158 439 098 974 732 288 × 2 = 0 + 0,002 458 316 878 197 949 464 576;
  • 59) 0,002 458 316 878 197 949 464 576 × 2 = 0 + 0,004 916 633 756 395 898 929 152;
  • 60) 0,004 916 633 756 395 898 929 152 × 2 = 0 + 0,009 833 267 512 791 797 858 304;
  • 61) 0,009 833 267 512 791 797 858 304 × 2 = 0 + 0,019 666 535 025 583 595 716 608;
  • 62) 0,019 666 535 025 583 595 716 608 × 2 = 0 + 0,039 333 070 051 167 191 433 216;
  • 63) 0,039 333 070 051 167 191 433 216 × 2 = 0 + 0,078 666 140 102 334 382 866 432;
  • 64) 0,078 666 140 102 334 382 866 432 × 2 = 0 + 0,157 332 280 204 668 765 732 864;
  • 65) 0,157 332 280 204 668 765 732 864 × 2 = 0 + 0,314 664 560 409 337 531 465 728;
  • 66) 0,314 664 560 409 337 531 465 728 × 2 = 0 + 0,629 329 120 818 675 062 931 456;
  • 67) 0,629 329 120 818 675 062 931 456 × 2 = 1 + 0,258 658 241 637 350 125 862 912;
  • 68) 0,258 658 241 637 350 125 862 912 × 2 = 0 + 0,517 316 483 274 700 251 725 824;
  • 69) 0,517 316 483 274 700 251 725 824 × 2 = 1 + 0,034 632 966 549 400 503 451 648;
  • 70) 0,034 632 966 549 400 503 451 648 × 2 = 0 + 0,069 265 933 098 801 006 903 296;
  • 71) 0,069 265 933 098 801 006 903 296 × 2 = 0 + 0,138 531 866 197 602 013 806 592;
  • 72) 0,138 531 866 197 602 013 806 592 × 2 = 0 + 0,277 063 732 395 204 027 613 184;
  • 73) 0,277 063 732 395 204 027 613 184 × 2 = 0 + 0,554 127 464 790 408 055 226 368;
  • 74) 0,554 127 464 790 408 055 226 368 × 2 = 1 + 0,108 254 929 580 816 110 452 736;
  • 75) 0,108 254 929 580 816 110 452 736 × 2 = 0 + 0,216 509 859 161 632 220 905 472;
  • 76) 0,216 509 859 161 632 220 905 472 × 2 = 0 + 0,433 019 718 323 264 441 810 944;
  • 77) 0,433 019 718 323 264 441 810 944 × 2 = 0 + 0,866 039 436 646 528 883 621 888;
  • 78) 0,866 039 436 646 528 883 621 888 × 2 = 1 + 0,732 078 873 293 057 767 243 776;
  • 79) 0,732 078 873 293 057 767 243 776 × 2 = 1 + 0,464 157 746 586 115 534 487 552;
  • 80) 0,464 157 746 586 115 534 487 552 × 2 = 0 + 0,928 315 493 172 231 068 975 104;
  • 81) 0,928 315 493 172 231 068 975 104 × 2 = 1 + 0,856 630 986 344 462 137 950 208;
  • 82) 0,856 630 986 344 462 137 950 208 × 2 = 1 + 0,713 261 972 688 924 275 900 416;
  • 83) 0,713 261 972 688 924 275 900 416 × 2 = 1 + 0,426 523 945 377 848 551 800 832;
  • 84) 0,426 523 945 377 848 551 800 832 × 2 = 0 + 0,853 047 890 755 697 103 601 664;
  • 85) 0,853 047 890 755 697 103 601 664 × 2 = 1 + 0,706 095 781 511 394 207 203 328;
  • 86) 0,706 095 781 511 394 207 203 328 × 2 = 1 + 0,412 191 563 022 788 414 406 656;
  • 87) 0,412 191 563 022 788 414 406 656 × 2 = 0 + 0,824 383 126 045 576 828 813 312;
  • 88) 0,824 383 126 045 576 828 813 312 × 2 = 1 + 0,648 766 252 091 153 657 626 624;
  • 89) 0,648 766 252 091 153 657 626 624 × 2 = 1 + 0,297 532 504 182 307 315 253 248;
  • 90) 0,297 532 504 182 307 315 253 248 × 2 = 0 + 0,595 065 008 364 614 630 506 496;
  • 91) 0,595 065 008 364 614 630 506 496 × 2 = 1 + 0,190 130 016 729 229 261 012 992;
  • 92) 0,190 130 016 729 229 261 012 992 × 2 = 0 + 0,380 260 033 458 458 522 025 984;
  • 93) 0,380 260 033 458 458 522 025 984 × 2 = 0 + 0,760 520 066 916 917 044 051 968;
  • 94) 0,760 520 066 916 917 044 051 968 × 2 = 1 + 0,521 040 133 833 834 088 103 936;
  • 95) 0,521 040 133 833 834 088 103 936 × 2 = 1 + 0,042 080 267 667 668 176 207 872;
  • 96) 0,042 080 267 667 668 176 207 872 × 2 = 0 + 0,084 160 535 335 336 352 415 744;
  • 97) 0,084 160 535 335 336 352 415 744 × 2 = 0 + 0,168 321 070 670 672 704 831 488;
  • 98) 0,168 321 070 670 672 704 831 488 × 2 = 0 + 0,336 642 141 341 345 409 662 976;
  • 99) 0,336 642 141 341 345 409 662 976 × 2 = 0 + 0,673 284 282 682 690 819 325 952;
  • 100) 0,673 284 282 682 690 819 325 952 × 2 = 1 + 0,346 568 565 365 381 638 651 904;
  • 101) 0,346 568 565 365 381 638 651 904 × 2 = 0 + 0,693 137 130 730 763 277 303 808;
  • 102) 0,693 137 130 730 763 277 303 808 × 2 = 1 + 0,386 274 261 461 526 554 607 616;
  • 103) 0,386 274 261 461 526 554 607 616 × 2 = 0 + 0,772 548 522 923 053 109 215 232;
  • 104) 0,772 548 522 923 053 109 215 232 × 2 = 1 + 0,545 097 045 846 106 218 430 464;
  • 105) 0,545 097 045 846 106 218 430 464 × 2 = 1 + 0,090 194 091 692 212 436 860 928;
  • 106) 0,090 194 091 692 212 436 860 928 × 2 = 0 + 0,180 388 183 384 424 873 721 856;
  • 107) 0,180 388 183 384 424 873 721 856 × 2 = 0 + 0,360 776 366 768 849 747 443 712;
  • 108) 0,360 776 366 768 849 747 443 712 × 2 = 0 + 0,721 552 733 537 699 494 887 424;
  • 109) 0,721 552 733 537 699 494 887 424 × 2 = 1 + 0,443 105 467 075 398 989 774 848;
  • 110) 0,443 105 467 075 398 989 774 848 × 2 = 0 + 0,886 210 934 150 797 979 549 696;
  • 111) 0,886 210 934 150 797 979 549 696 × 2 = 1 + 0,772 421 868 301 595 959 099 392;
  • 112) 0,772 421 868 301 595 959 099 392 × 2 = 1 + 0,544 843 736 603 191 918 198 784;
  • 113) 0,544 843 736 603 191 918 198 784 × 2 = 1 + 0,089 687 473 206 383 836 397 568;
  • 114) 0,089 687 473 206 383 836 397 568 × 2 = 0 + 0,179 374 946 412 767 672 795 136;
  • 115) 0,179 374 946 412 767 672 795 136 × 2 = 0 + 0,358 749 892 825 535 345 590 272;
  • 116) 0,358 749 892 825 535 345 590 272 × 2 = 0 + 0,717 499 785 651 070 691 180 544;
  • 117) 0,717 499 785 651 070 691 180 544 × 2 = 1 + 0,434 999 571 302 141 382 361 088;
  • 118) 0,434 999 571 302 141 382 361 088 × 2 = 0 + 0,869 999 142 604 282 764 722 176;
  • 119) 0,869 999 142 604 282 764 722 176 × 2 = 1 + 0,739 998 285 208 565 529 444 352;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 529(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0110 1110 1101 1010 0110 0001 0101 1000 1011 1000 101(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 529(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0110 1110 1101 1010 0110 0001 0101 1000 1011 1000 101(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 529(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0110 1110 1101 1010 0110 0001 0101 1000 1011 1000 101(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 0110 1110 1101 1010 0110 0001 0101 1000 1011 1000 101(2) × 20 =

1,0100 0010 0011 0111 0110 1101 0011 0000 1010 1100 0101 1100 0101(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0010 0011 0111 0110 1101 0011 0000 1010 1100 0101 1100 0101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0010 0011 0111 0110 1101 0011 0000 1010 1100 0101 1100 0101 =

0100 0010 0011 0111 0110 1101 0011 0000 1010 1100 0101 1100 0101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0010 0011 0111 0110 1101 0011 0000 1010 1100 0101 1100 0101


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 529 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0010 0011 0111 0110 1101 0011 0000 1010 1100 0101 1100 0101

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 586 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100