0,000 000 000 000 000 000 008 586 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 586(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 586(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 586.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 586 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 172;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 172 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 344;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 688;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 137 376;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 137 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 274 752;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 274 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 549 504;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 549 504 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 099 008;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 099 008 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 198 016;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 198 016 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 396 032;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 396 032 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 792 064;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 792 064 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 584 128;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 584 128 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 035 168 256;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 035 168 256 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 070 336 512;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 070 336 512 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 140 673 024;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 140 673 024 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 281 346 048;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 281 346 048 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 562 692 096;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 562 692 096 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 125 384 192;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 125 384 192 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 250 768 384;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 250 768 384 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 501 536 768;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 501 536 768 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 009 003 073 536;
  • 21) 0,000 000 000 000 009 003 073 536 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 018 006 147 072;
  • 22) 0,000 000 000 000 018 006 147 072 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 036 012 294 144;
  • 23) 0,000 000 000 000 036 012 294 144 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 072 024 588 288;
  • 24) 0,000 000 000 000 072 024 588 288 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 144 049 176 576;
  • 25) 0,000 000 000 000 144 049 176 576 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 288 098 353 152;
  • 26) 0,000 000 000 000 288 098 353 152 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 576 196 706 304;
  • 27) 0,000 000 000 000 576 196 706 304 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 152 393 412 608;
  • 28) 0,000 000 000 001 152 393 412 608 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 304 786 825 216;
  • 29) 0,000 000 000 002 304 786 825 216 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 609 573 650 432;
  • 30) 0,000 000 000 004 609 573 650 432 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 219 147 300 864;
  • 31) 0,000 000 000 009 219 147 300 864 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 438 294 601 728;
  • 32) 0,000 000 000 018 438 294 601 728 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 876 589 203 456;
  • 33) 0,000 000 000 036 876 589 203 456 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 753 178 406 912;
  • 34) 0,000 000 000 073 753 178 406 912 × 2 = 0 + 0,000 000 000 147 506 356 813 824;
  • 35) 0,000 000 000 147 506 356 813 824 × 2 = 0 + 0,000 000 000 295 012 713 627 648;
  • 36) 0,000 000 000 295 012 713 627 648 × 2 = 0 + 0,000 000 000 590 025 427 255 296;
  • 37) 0,000 000 000 590 025 427 255 296 × 2 = 0 + 0,000 000 001 180 050 854 510 592;
  • 38) 0,000 000 001 180 050 854 510 592 × 2 = 0 + 0,000 000 002 360 101 709 021 184;
  • 39) 0,000 000 002 360 101 709 021 184 × 2 = 0 + 0,000 000 004 720 203 418 042 368;
  • 40) 0,000 000 004 720 203 418 042 368 × 2 = 0 + 0,000 000 009 440 406 836 084 736;
  • 41) 0,000 000 009 440 406 836 084 736 × 2 = 0 + 0,000 000 018 880 813 672 169 472;
  • 42) 0,000 000 018 880 813 672 169 472 × 2 = 0 + 0,000 000 037 761 627 344 338 944;
  • 43) 0,000 000 037 761 627 344 338 944 × 2 = 0 + 0,000 000 075 523 254 688 677 888;
  • 44) 0,000 000 075 523 254 688 677 888 × 2 = 0 + 0,000 000 151 046 509 377 355 776;
  • 45) 0,000 000 151 046 509 377 355 776 × 2 = 0 + 0,000 000 302 093 018 754 711 552;
  • 46) 0,000 000 302 093 018 754 711 552 × 2 = 0 + 0,000 000 604 186 037 509 423 104;
  • 47) 0,000 000 604 186 037 509 423 104 × 2 = 0 + 0,000 001 208 372 075 018 846 208;
  • 48) 0,000 001 208 372 075 018 846 208 × 2 = 0 + 0,000 002 416 744 150 037 692 416;
  • 49) 0,000 002 416 744 150 037 692 416 × 2 = 0 + 0,000 004 833 488 300 075 384 832;
  • 50) 0,000 004 833 488 300 075 384 832 × 2 = 0 + 0,000 009 666 976 600 150 769 664;
  • 51) 0,000 009 666 976 600 150 769 664 × 2 = 0 + 0,000 019 333 953 200 301 539 328;
  • 52) 0,000 019 333 953 200 301 539 328 × 2 = 0 + 0,000 038 667 906 400 603 078 656;
  • 53) 0,000 038 667 906 400 603 078 656 × 2 = 0 + 0,000 077 335 812 801 206 157 312;
  • 54) 0,000 077 335 812 801 206 157 312 × 2 = 0 + 0,000 154 671 625 602 412 314 624;
  • 55) 0,000 154 671 625 602 412 314 624 × 2 = 0 + 0,000 309 343 251 204 824 629 248;
  • 56) 0,000 309 343 251 204 824 629 248 × 2 = 0 + 0,000 618 686 502 409 649 258 496;
  • 57) 0,000 618 686 502 409 649 258 496 × 2 = 0 + 0,001 237 373 004 819 298 516 992;
  • 58) 0,001 237 373 004 819 298 516 992 × 2 = 0 + 0,002 474 746 009 638 597 033 984;
  • 59) 0,002 474 746 009 638 597 033 984 × 2 = 0 + 0,004 949 492 019 277 194 067 968;
  • 60) 0,004 949 492 019 277 194 067 968 × 2 = 0 + 0,009 898 984 038 554 388 135 936;
  • 61) 0,009 898 984 038 554 388 135 936 × 2 = 0 + 0,019 797 968 077 108 776 271 872;
  • 62) 0,019 797 968 077 108 776 271 872 × 2 = 0 + 0,039 595 936 154 217 552 543 744;
  • 63) 0,039 595 936 154 217 552 543 744 × 2 = 0 + 0,079 191 872 308 435 105 087 488;
  • 64) 0,079 191 872 308 435 105 087 488 × 2 = 0 + 0,158 383 744 616 870 210 174 976;
  • 65) 0,158 383 744 616 870 210 174 976 × 2 = 0 + 0,316 767 489 233 740 420 349 952;
  • 66) 0,316 767 489 233 740 420 349 952 × 2 = 0 + 0,633 534 978 467 480 840 699 904;
  • 67) 0,633 534 978 467 480 840 699 904 × 2 = 1 + 0,267 069 956 934 961 681 399 808;
  • 68) 0,267 069 956 934 961 681 399 808 × 2 = 0 + 0,534 139 913 869 923 362 799 616;
  • 69) 0,534 139 913 869 923 362 799 616 × 2 = 1 + 0,068 279 827 739 846 725 599 232;
  • 70) 0,068 279 827 739 846 725 599 232 × 2 = 0 + 0,136 559 655 479 693 451 198 464;
  • 71) 0,136 559 655 479 693 451 198 464 × 2 = 0 + 0,273 119 310 959 386 902 396 928;
  • 72) 0,273 119 310 959 386 902 396 928 × 2 = 0 + 0,546 238 621 918 773 804 793 856;
  • 73) 0,546 238 621 918 773 804 793 856 × 2 = 1 + 0,092 477 243 837 547 609 587 712;
  • 74) 0,092 477 243 837 547 609 587 712 × 2 = 0 + 0,184 954 487 675 095 219 175 424;
  • 75) 0,184 954 487 675 095 219 175 424 × 2 = 0 + 0,369 908 975 350 190 438 350 848;
  • 76) 0,369 908 975 350 190 438 350 848 × 2 = 0 + 0,739 817 950 700 380 876 701 696;
  • 77) 0,739 817 950 700 380 876 701 696 × 2 = 1 + 0,479 635 901 400 761 753 403 392;
  • 78) 0,479 635 901 400 761 753 403 392 × 2 = 0 + 0,959 271 802 801 523 506 806 784;
  • 79) 0,959 271 802 801 523 506 806 784 × 2 = 1 + 0,918 543 605 603 047 013 613 568;
  • 80) 0,918 543 605 603 047 013 613 568 × 2 = 1 + 0,837 087 211 206 094 027 227 136;
  • 81) 0,837 087 211 206 094 027 227 136 × 2 = 1 + 0,674 174 422 412 188 054 454 272;
  • 82) 0,674 174 422 412 188 054 454 272 × 2 = 1 + 0,348 348 844 824 376 108 908 544;
  • 83) 0,348 348 844 824 376 108 908 544 × 2 = 0 + 0,696 697 689 648 752 217 817 088;
  • 84) 0,696 697 689 648 752 217 817 088 × 2 = 1 + 0,393 395 379 297 504 435 634 176;
  • 85) 0,393 395 379 297 504 435 634 176 × 2 = 0 + 0,786 790 758 595 008 871 268 352;
  • 86) 0,786 790 758 595 008 871 268 352 × 2 = 1 + 0,573 581 517 190 017 742 536 704;
  • 87) 0,573 581 517 190 017 742 536 704 × 2 = 1 + 0,147 163 034 380 035 485 073 408;
  • 88) 0,147 163 034 380 035 485 073 408 × 2 = 0 + 0,294 326 068 760 070 970 146 816;
  • 89) 0,294 326 068 760 070 970 146 816 × 2 = 0 + 0,588 652 137 520 141 940 293 632;
  • 90) 0,588 652 137 520 141 940 293 632 × 2 = 1 + 0,177 304 275 040 283 880 587 264;
  • 91) 0,177 304 275 040 283 880 587 264 × 2 = 0 + 0,354 608 550 080 567 761 174 528;
  • 92) 0,354 608 550 080 567 761 174 528 × 2 = 0 + 0,709 217 100 161 135 522 349 056;
  • 93) 0,709 217 100 161 135 522 349 056 × 2 = 1 + 0,418 434 200 322 271 044 698 112;
  • 94) 0,418 434 200 322 271 044 698 112 × 2 = 0 + 0,836 868 400 644 542 089 396 224;
  • 95) 0,836 868 400 644 542 089 396 224 × 2 = 1 + 0,673 736 801 289 084 178 792 448;
  • 96) 0,673 736 801 289 084 178 792 448 × 2 = 1 + 0,347 473 602 578 168 357 584 896;
  • 97) 0,347 473 602 578 168 357 584 896 × 2 = 0 + 0,694 947 205 156 336 715 169 792;
  • 98) 0,694 947 205 156 336 715 169 792 × 2 = 1 + 0,389 894 410 312 673 430 339 584;
  • 99) 0,389 894 410 312 673 430 339 584 × 2 = 0 + 0,779 788 820 625 346 860 679 168;
  • 100) 0,779 788 820 625 346 860 679 168 × 2 = 1 + 0,559 577 641 250 693 721 358 336;
  • 101) 0,559 577 641 250 693 721 358 336 × 2 = 1 + 0,119 155 282 501 387 442 716 672;
  • 102) 0,119 155 282 501 387 442 716 672 × 2 = 0 + 0,238 310 565 002 774 885 433 344;
  • 103) 0,238 310 565 002 774 885 433 344 × 2 = 0 + 0,476 621 130 005 549 770 866 688;
  • 104) 0,476 621 130 005 549 770 866 688 × 2 = 0 + 0,953 242 260 011 099 541 733 376;
  • 105) 0,953 242 260 011 099 541 733 376 × 2 = 1 + 0,906 484 520 022 199 083 466 752;
  • 106) 0,906 484 520 022 199 083 466 752 × 2 = 1 + 0,812 969 040 044 398 166 933 504;
  • 107) 0,812 969 040 044 398 166 933 504 × 2 = 1 + 0,625 938 080 088 796 333 867 008;
  • 108) 0,625 938 080 088 796 333 867 008 × 2 = 1 + 0,251 876 160 177 592 667 734 016;
  • 109) 0,251 876 160 177 592 667 734 016 × 2 = 0 + 0,503 752 320 355 185 335 468 032;
  • 110) 0,503 752 320 355 185 335 468 032 × 2 = 1 + 0,007 504 640 710 370 670 936 064;
  • 111) 0,007 504 640 710 370 670 936 064 × 2 = 0 + 0,015 009 281 420 741 341 872 128;
  • 112) 0,015 009 281 420 741 341 872 128 × 2 = 0 + 0,030 018 562 841 482 683 744 256;
  • 113) 0,030 018 562 841 482 683 744 256 × 2 = 0 + 0,060 037 125 682 965 367 488 512;
  • 114) 0,060 037 125 682 965 367 488 512 × 2 = 0 + 0,120 074 251 365 930 734 977 024;
  • 115) 0,120 074 251 365 930 734 977 024 × 2 = 0 + 0,240 148 502 731 861 469 954 048;
  • 116) 0,240 148 502 731 861 469 954 048 × 2 = 0 + 0,480 297 005 463 722 939 908 096;
  • 117) 0,480 297 005 463 722 939 908 096 × 2 = 0 + 0,960 594 010 927 445 879 816 192;
  • 118) 0,960 594 010 927 445 879 816 192 × 2 = 1 + 0,921 188 021 854 891 759 632 384;
  • 119) 0,921 188 021 854 891 759 632 384 × 2 = 1 + 0,842 376 043 709 783 519 264 768;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 586(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1000 1011 1101 0110 0100 1011 0101 1000 1111 0100 0000 011(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 586(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1000 1011 1101 0110 0100 1011 0101 1000 1111 0100 0000 011(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 586(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1000 1011 1101 0110 0100 1011 0101 1000 1111 0100 0000 011(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1000 1011 1101 0110 0100 1011 0101 1000 1111 0100 0000 011(2) × 20 =

1,0100 0100 0101 1110 1011 0010 0101 1010 1100 0111 1010 0000 0011(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0100 0101 1110 1011 0010 0101 1010 1100 0111 1010 0000 0011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0100 0101 1110 1011 0010 0101 1010 1100 0111 1010 0000 0011 =

0100 0100 0101 1110 1011 0010 0101 1010 1100 0111 1010 0000 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0100 0101 1110 1011 0010 0101 1010 1100 0111 1010 0000 0011


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 586 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0100 0101 1110 1011 0010 0101 1010 1100 0111 1010 0000 0011

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 49 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100