0,000 000 000 000 000 000 008 532 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 532(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 532(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 532.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 532 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 064;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 064 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 128;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 128 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 256;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 256 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 512;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 512 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 273 024;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 273 024 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 546 048;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 546 048 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 092 096;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 092 096 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 184 192;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 184 192 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 368 384;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 368 384 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 736 768;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 736 768 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 473 536;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 473 536 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 947 072;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 947 072 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 894 144;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 894 144 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 788 288;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 788 288 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 279 576 576;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 279 576 576 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 559 153 152;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 559 153 152 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 118 306 304;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 118 306 304 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 236 612 608;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 236 612 608 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 473 225 216;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 473 225 216 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 946 450 432;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 946 450 432 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 892 900 864;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 892 900 864 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 785 801 728;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 785 801 728 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 571 603 456;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 571 603 456 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 143 206 912;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 143 206 912 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 286 286 413 824;
  • 26) 0,000 000 000 000 286 286 413 824 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 572 572 827 648;
  • 27) 0,000 000 000 000 572 572 827 648 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 145 145 655 296;
  • 28) 0,000 000 000 001 145 145 655 296 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 290 291 310 592;
  • 29) 0,000 000 000 002 290 291 310 592 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 580 582 621 184;
  • 30) 0,000 000 000 004 580 582 621 184 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 161 165 242 368;
  • 31) 0,000 000 000 009 161 165 242 368 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 322 330 484 736;
  • 32) 0,000 000 000 018 322 330 484 736 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 644 660 969 472;
  • 33) 0,000 000 000 036 644 660 969 472 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 289 321 938 944;
  • 34) 0,000 000 000 073 289 321 938 944 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 578 643 877 888;
  • 35) 0,000 000 000 146 578 643 877 888 × 2 = 0 + 0,000 000 000 293 157 287 755 776;
  • 36) 0,000 000 000 293 157 287 755 776 × 2 = 0 + 0,000 000 000 586 314 575 511 552;
  • 37) 0,000 000 000 586 314 575 511 552 × 2 = 0 + 0,000 000 001 172 629 151 023 104;
  • 38) 0,000 000 001 172 629 151 023 104 × 2 = 0 + 0,000 000 002 345 258 302 046 208;
  • 39) 0,000 000 002 345 258 302 046 208 × 2 = 0 + 0,000 000 004 690 516 604 092 416;
  • 40) 0,000 000 004 690 516 604 092 416 × 2 = 0 + 0,000 000 009 381 033 208 184 832;
  • 41) 0,000 000 009 381 033 208 184 832 × 2 = 0 + 0,000 000 018 762 066 416 369 664;
  • 42) 0,000 000 018 762 066 416 369 664 × 2 = 0 + 0,000 000 037 524 132 832 739 328;
  • 43) 0,000 000 037 524 132 832 739 328 × 2 = 0 + 0,000 000 075 048 265 665 478 656;
  • 44) 0,000 000 075 048 265 665 478 656 × 2 = 0 + 0,000 000 150 096 531 330 957 312;
  • 45) 0,000 000 150 096 531 330 957 312 × 2 = 0 + 0,000 000 300 193 062 661 914 624;
  • 46) 0,000 000 300 193 062 661 914 624 × 2 = 0 + 0,000 000 600 386 125 323 829 248;
  • 47) 0,000 000 600 386 125 323 829 248 × 2 = 0 + 0,000 001 200 772 250 647 658 496;
  • 48) 0,000 001 200 772 250 647 658 496 × 2 = 0 + 0,000 002 401 544 501 295 316 992;
  • 49) 0,000 002 401 544 501 295 316 992 × 2 = 0 + 0,000 004 803 089 002 590 633 984;
  • 50) 0,000 004 803 089 002 590 633 984 × 2 = 0 + 0,000 009 606 178 005 181 267 968;
  • 51) 0,000 009 606 178 005 181 267 968 × 2 = 0 + 0,000 019 212 356 010 362 535 936;
  • 52) 0,000 019 212 356 010 362 535 936 × 2 = 0 + 0,000 038 424 712 020 725 071 872;
  • 53) 0,000 038 424 712 020 725 071 872 × 2 = 0 + 0,000 076 849 424 041 450 143 744;
  • 54) 0,000 076 849 424 041 450 143 744 × 2 = 0 + 0,000 153 698 848 082 900 287 488;
  • 55) 0,000 153 698 848 082 900 287 488 × 2 = 0 + 0,000 307 397 696 165 800 574 976;
  • 56) 0,000 307 397 696 165 800 574 976 × 2 = 0 + 0,000 614 795 392 331 601 149 952;
  • 57) 0,000 614 795 392 331 601 149 952 × 2 = 0 + 0,001 229 590 784 663 202 299 904;
  • 58) 0,001 229 590 784 663 202 299 904 × 2 = 0 + 0,002 459 181 569 326 404 599 808;
  • 59) 0,002 459 181 569 326 404 599 808 × 2 = 0 + 0,004 918 363 138 652 809 199 616;
  • 60) 0,004 918 363 138 652 809 199 616 × 2 = 0 + 0,009 836 726 277 305 618 399 232;
  • 61) 0,009 836 726 277 305 618 399 232 × 2 = 0 + 0,019 673 452 554 611 236 798 464;
  • 62) 0,019 673 452 554 611 236 798 464 × 2 = 0 + 0,039 346 905 109 222 473 596 928;
  • 63) 0,039 346 905 109 222 473 596 928 × 2 = 0 + 0,078 693 810 218 444 947 193 856;
  • 64) 0,078 693 810 218 444 947 193 856 × 2 = 0 + 0,157 387 620 436 889 894 387 712;
  • 65) 0,157 387 620 436 889 894 387 712 × 2 = 0 + 0,314 775 240 873 779 788 775 424;
  • 66) 0,314 775 240 873 779 788 775 424 × 2 = 0 + 0,629 550 481 747 559 577 550 848;
  • 67) 0,629 550 481 747 559 577 550 848 × 2 = 1 + 0,259 100 963 495 119 155 101 696;
  • 68) 0,259 100 963 495 119 155 101 696 × 2 = 0 + 0,518 201 926 990 238 310 203 392;
  • 69) 0,518 201 926 990 238 310 203 392 × 2 = 1 + 0,036 403 853 980 476 620 406 784;
  • 70) 0,036 403 853 980 476 620 406 784 × 2 = 0 + 0,072 807 707 960 953 240 813 568;
  • 71) 0,072 807 707 960 953 240 813 568 × 2 = 0 + 0,145 615 415 921 906 481 627 136;
  • 72) 0,145 615 415 921 906 481 627 136 × 2 = 0 + 0,291 230 831 843 812 963 254 272;
  • 73) 0,291 230 831 843 812 963 254 272 × 2 = 0 + 0,582 461 663 687 625 926 508 544;
  • 74) 0,582 461 663 687 625 926 508 544 × 2 = 1 + 0,164 923 327 375 251 853 017 088;
  • 75) 0,164 923 327 375 251 853 017 088 × 2 = 0 + 0,329 846 654 750 503 706 034 176;
  • 76) 0,329 846 654 750 503 706 034 176 × 2 = 0 + 0,659 693 309 501 007 412 068 352;
  • 77) 0,659 693 309 501 007 412 068 352 × 2 = 1 + 0,319 386 619 002 014 824 136 704;
  • 78) 0,319 386 619 002 014 824 136 704 × 2 = 0 + 0,638 773 238 004 029 648 273 408;
  • 79) 0,638 773 238 004 029 648 273 408 × 2 = 1 + 0,277 546 476 008 059 296 546 816;
  • 80) 0,277 546 476 008 059 296 546 816 × 2 = 0 + 0,555 092 952 016 118 593 093 632;
  • 81) 0,555 092 952 016 118 593 093 632 × 2 = 1 + 0,110 185 904 032 237 186 187 264;
  • 82) 0,110 185 904 032 237 186 187 264 × 2 = 0 + 0,220 371 808 064 474 372 374 528;
  • 83) 0,220 371 808 064 474 372 374 528 × 2 = 0 + 0,440 743 616 128 948 744 749 056;
  • 84) 0,440 743 616 128 948 744 749 056 × 2 = 0 + 0,881 487 232 257 897 489 498 112;
  • 85) 0,881 487 232 257 897 489 498 112 × 2 = 1 + 0,762 974 464 515 794 978 996 224;
  • 86) 0,762 974 464 515 794 978 996 224 × 2 = 1 + 0,525 948 929 031 589 957 992 448;
  • 87) 0,525 948 929 031 589 957 992 448 × 2 = 1 + 0,051 897 858 063 179 915 984 896;
  • 88) 0,051 897 858 063 179 915 984 896 × 2 = 0 + 0,103 795 716 126 359 831 969 792;
  • 89) 0,103 795 716 126 359 831 969 792 × 2 = 0 + 0,207 591 432 252 719 663 939 584;
  • 90) 0,207 591 432 252 719 663 939 584 × 2 = 0 + 0,415 182 864 505 439 327 879 168;
  • 91) 0,415 182 864 505 439 327 879 168 × 2 = 0 + 0,830 365 729 010 878 655 758 336;
  • 92) 0,830 365 729 010 878 655 758 336 × 2 = 1 + 0,660 731 458 021 757 311 516 672;
  • 93) 0,660 731 458 021 757 311 516 672 × 2 = 1 + 0,321 462 916 043 514 623 033 344;
  • 94) 0,321 462 916 043 514 623 033 344 × 2 = 0 + 0,642 925 832 087 029 246 066 688;
  • 95) 0,642 925 832 087 029 246 066 688 × 2 = 1 + 0,285 851 664 174 058 492 133 376;
  • 96) 0,285 851 664 174 058 492 133 376 × 2 = 0 + 0,571 703 328 348 116 984 266 752;
  • 97) 0,571 703 328 348 116 984 266 752 × 2 = 1 + 0,143 406 656 696 233 968 533 504;
  • 98) 0,143 406 656 696 233 968 533 504 × 2 = 0 + 0,286 813 313 392 467 937 067 008;
  • 99) 0,286 813 313 392 467 937 067 008 × 2 = 0 + 0,573 626 626 784 935 874 134 016;
  • 100) 0,573 626 626 784 935 874 134 016 × 2 = 1 + 0,147 253 253 569 871 748 268 032;
  • 101) 0,147 253 253 569 871 748 268 032 × 2 = 0 + 0,294 506 507 139 743 496 536 064;
  • 102) 0,294 506 507 139 743 496 536 064 × 2 = 0 + 0,589 013 014 279 486 993 072 128;
  • 103) 0,589 013 014 279 486 993 072 128 × 2 = 1 + 0,178 026 028 558 973 986 144 256;
  • 104) 0,178 026 028 558 973 986 144 256 × 2 = 0 + 0,356 052 057 117 947 972 288 512;
  • 105) 0,356 052 057 117 947 972 288 512 × 2 = 0 + 0,712 104 114 235 895 944 577 024;
  • 106) 0,712 104 114 235 895 944 577 024 × 2 = 1 + 0,424 208 228 471 791 889 154 048;
  • 107) 0,424 208 228 471 791 889 154 048 × 2 = 0 + 0,848 416 456 943 583 778 308 096;
  • 108) 0,848 416 456 943 583 778 308 096 × 2 = 1 + 0,696 832 913 887 167 556 616 192;
  • 109) 0,696 832 913 887 167 556 616 192 × 2 = 1 + 0,393 665 827 774 335 113 232 384;
  • 110) 0,393 665 827 774 335 113 232 384 × 2 = 0 + 0,787 331 655 548 670 226 464 768;
  • 111) 0,787 331 655 548 670 226 464 768 × 2 = 1 + 0,574 663 311 097 340 452 929 536;
  • 112) 0,574 663 311 097 340 452 929 536 × 2 = 1 + 0,149 326 622 194 680 905 859 072;
  • 113) 0,149 326 622 194 680 905 859 072 × 2 = 0 + 0,298 653 244 389 361 811 718 144;
  • 114) 0,298 653 244 389 361 811 718 144 × 2 = 0 + 0,597 306 488 778 723 623 436 288;
  • 115) 0,597 306 488 778 723 623 436 288 × 2 = 1 + 0,194 612 977 557 447 246 872 576;
  • 116) 0,194 612 977 557 447 246 872 576 × 2 = 0 + 0,389 225 955 114 894 493 745 152;
  • 117) 0,389 225 955 114 894 493 745 152 × 2 = 0 + 0,778 451 910 229 788 987 490 304;
  • 118) 0,778 451 910 229 788 987 490 304 × 2 = 1 + 0,556 903 820 459 577 974 980 608;
  • 119) 0,556 903 820 459 577 974 980 608 × 2 = 1 + 0,113 807 640 919 155 949 961 216;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 532(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 1010 1000 1110 0001 1010 1001 0010 0101 1011 0010 011(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 532(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 1010 1000 1110 0001 1010 1001 0010 0101 1011 0010 011(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 532(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 1010 1000 1110 0001 1010 1001 0010 0101 1011 0010 011(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 1010 1000 1110 0001 1010 1001 0010 0101 1011 0010 011(2) × 20 =

1,0100 0010 0101 0100 0111 0000 1101 0100 1001 0010 1101 1001 0011(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0010 0101 0100 0111 0000 1101 0100 1001 0010 1101 1001 0011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0010 0101 0100 0111 0000 1101 0100 1001 0010 1101 1001 0011 =

0100 0010 0101 0100 0111 0000 1101 0100 1001 0010 1101 1001 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0010 0101 0100 0111 0000 1101 0100 1001 0010 1101 1001 0011


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 532 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0010 0101 0100 0111 0000 1101 0100 1001 0010 1101 1001 0011

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 524 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100