0,000 000 000 000 000 000 008 534 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 534(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 534(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 534.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 534 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 068;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 068 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 136;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 136 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 272;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 272 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 544;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 544 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 273 088;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 273 088 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 546 176;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 546 176 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 092 352;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 092 352 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 184 704;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 184 704 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 369 408;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 369 408 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 738 816;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 738 816 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 477 632;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 477 632 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 955 264;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 955 264 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 910 528;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 910 528 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 821 056;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 821 056 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 279 642 112;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 279 642 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 559 284 224;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 559 284 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 118 568 448;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 118 568 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 237 136 896;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 237 136 896 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 474 273 792;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 474 273 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 948 547 584;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 948 547 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 897 095 168;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 897 095 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 794 190 336;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 794 190 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 588 380 672;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 588 380 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 176 761 344;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 176 761 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 286 353 522 688;
  • 26) 0,000 000 000 000 286 353 522 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 572 707 045 376;
  • 27) 0,000 000 000 000 572 707 045 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 145 414 090 752;
  • 28) 0,000 000 000 001 145 414 090 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 290 828 181 504;
  • 29) 0,000 000 000 002 290 828 181 504 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 581 656 363 008;
  • 30) 0,000 000 000 004 581 656 363 008 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 163 312 726 016;
  • 31) 0,000 000 000 009 163 312 726 016 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 326 625 452 032;
  • 32) 0,000 000 000 018 326 625 452 032 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 653 250 904 064;
  • 33) 0,000 000 000 036 653 250 904 064 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 306 501 808 128;
  • 34) 0,000 000 000 073 306 501 808 128 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 613 003 616 256;
  • 35) 0,000 000 000 146 613 003 616 256 × 2 = 0 + 0,000 000 000 293 226 007 232 512;
  • 36) 0,000 000 000 293 226 007 232 512 × 2 = 0 + 0,000 000 000 586 452 014 465 024;
  • 37) 0,000 000 000 586 452 014 465 024 × 2 = 0 + 0,000 000 001 172 904 028 930 048;
  • 38) 0,000 000 001 172 904 028 930 048 × 2 = 0 + 0,000 000 002 345 808 057 860 096;
  • 39) 0,000 000 002 345 808 057 860 096 × 2 = 0 + 0,000 000 004 691 616 115 720 192;
  • 40) 0,000 000 004 691 616 115 720 192 × 2 = 0 + 0,000 000 009 383 232 231 440 384;
  • 41) 0,000 000 009 383 232 231 440 384 × 2 = 0 + 0,000 000 018 766 464 462 880 768;
  • 42) 0,000 000 018 766 464 462 880 768 × 2 = 0 + 0,000 000 037 532 928 925 761 536;
  • 43) 0,000 000 037 532 928 925 761 536 × 2 = 0 + 0,000 000 075 065 857 851 523 072;
  • 44) 0,000 000 075 065 857 851 523 072 × 2 = 0 + 0,000 000 150 131 715 703 046 144;
  • 45) 0,000 000 150 131 715 703 046 144 × 2 = 0 + 0,000 000 300 263 431 406 092 288;
  • 46) 0,000 000 300 263 431 406 092 288 × 2 = 0 + 0,000 000 600 526 862 812 184 576;
  • 47) 0,000 000 600 526 862 812 184 576 × 2 = 0 + 0,000 001 201 053 725 624 369 152;
  • 48) 0,000 001 201 053 725 624 369 152 × 2 = 0 + 0,000 002 402 107 451 248 738 304;
  • 49) 0,000 002 402 107 451 248 738 304 × 2 = 0 + 0,000 004 804 214 902 497 476 608;
  • 50) 0,000 004 804 214 902 497 476 608 × 2 = 0 + 0,000 009 608 429 804 994 953 216;
  • 51) 0,000 009 608 429 804 994 953 216 × 2 = 0 + 0,000 019 216 859 609 989 906 432;
  • 52) 0,000 019 216 859 609 989 906 432 × 2 = 0 + 0,000 038 433 719 219 979 812 864;
  • 53) 0,000 038 433 719 219 979 812 864 × 2 = 0 + 0,000 076 867 438 439 959 625 728;
  • 54) 0,000 076 867 438 439 959 625 728 × 2 = 0 + 0,000 153 734 876 879 919 251 456;
  • 55) 0,000 153 734 876 879 919 251 456 × 2 = 0 + 0,000 307 469 753 759 838 502 912;
  • 56) 0,000 307 469 753 759 838 502 912 × 2 = 0 + 0,000 614 939 507 519 677 005 824;
  • 57) 0,000 614 939 507 519 677 005 824 × 2 = 0 + 0,001 229 879 015 039 354 011 648;
  • 58) 0,001 229 879 015 039 354 011 648 × 2 = 0 + 0,002 459 758 030 078 708 023 296;
  • 59) 0,002 459 758 030 078 708 023 296 × 2 = 0 + 0,004 919 516 060 157 416 046 592;
  • 60) 0,004 919 516 060 157 416 046 592 × 2 = 0 + 0,009 839 032 120 314 832 093 184;
  • 61) 0,009 839 032 120 314 832 093 184 × 2 = 0 + 0,019 678 064 240 629 664 186 368;
  • 62) 0,019 678 064 240 629 664 186 368 × 2 = 0 + 0,039 356 128 481 259 328 372 736;
  • 63) 0,039 356 128 481 259 328 372 736 × 2 = 0 + 0,078 712 256 962 518 656 745 472;
  • 64) 0,078 712 256 962 518 656 745 472 × 2 = 0 + 0,157 424 513 925 037 313 490 944;
  • 65) 0,157 424 513 925 037 313 490 944 × 2 = 0 + 0,314 849 027 850 074 626 981 888;
  • 66) 0,314 849 027 850 074 626 981 888 × 2 = 0 + 0,629 698 055 700 149 253 963 776;
  • 67) 0,629 698 055 700 149 253 963 776 × 2 = 1 + 0,259 396 111 400 298 507 927 552;
  • 68) 0,259 396 111 400 298 507 927 552 × 2 = 0 + 0,518 792 222 800 597 015 855 104;
  • 69) 0,518 792 222 800 597 015 855 104 × 2 = 1 + 0,037 584 445 601 194 031 710 208;
  • 70) 0,037 584 445 601 194 031 710 208 × 2 = 0 + 0,075 168 891 202 388 063 420 416;
  • 71) 0,075 168 891 202 388 063 420 416 × 2 = 0 + 0,150 337 782 404 776 126 840 832;
  • 72) 0,150 337 782 404 776 126 840 832 × 2 = 0 + 0,300 675 564 809 552 253 681 664;
  • 73) 0,300 675 564 809 552 253 681 664 × 2 = 0 + 0,601 351 129 619 104 507 363 328;
  • 74) 0,601 351 129 619 104 507 363 328 × 2 = 1 + 0,202 702 259 238 209 014 726 656;
  • 75) 0,202 702 259 238 209 014 726 656 × 2 = 0 + 0,405 404 518 476 418 029 453 312;
  • 76) 0,405 404 518 476 418 029 453 312 × 2 = 0 + 0,810 809 036 952 836 058 906 624;
  • 77) 0,810 809 036 952 836 058 906 624 × 2 = 1 + 0,621 618 073 905 672 117 813 248;
  • 78) 0,621 618 073 905 672 117 813 248 × 2 = 1 + 0,243 236 147 811 344 235 626 496;
  • 79) 0,243 236 147 811 344 235 626 496 × 2 = 0 + 0,486 472 295 622 688 471 252 992;
  • 80) 0,486 472 295 622 688 471 252 992 × 2 = 0 + 0,972 944 591 245 376 942 505 984;
  • 81) 0,972 944 591 245 376 942 505 984 × 2 = 1 + 0,945 889 182 490 753 885 011 968;
  • 82) 0,945 889 182 490 753 885 011 968 × 2 = 1 + 0,891 778 364 981 507 770 023 936;
  • 83) 0,891 778 364 981 507 770 023 936 × 2 = 1 + 0,783 556 729 963 015 540 047 872;
  • 84) 0,783 556 729 963 015 540 047 872 × 2 = 1 + 0,567 113 459 926 031 080 095 744;
  • 85) 0,567 113 459 926 031 080 095 744 × 2 = 1 + 0,134 226 919 852 062 160 191 488;
  • 86) 0,134 226 919 852 062 160 191 488 × 2 = 0 + 0,268 453 839 704 124 320 382 976;
  • 87) 0,268 453 839 704 124 320 382 976 × 2 = 0 + 0,536 907 679 408 248 640 765 952;
  • 88) 0,536 907 679 408 248 640 765 952 × 2 = 1 + 0,073 815 358 816 497 281 531 904;
  • 89) 0,073 815 358 816 497 281 531 904 × 2 = 0 + 0,147 630 717 632 994 563 063 808;
  • 90) 0,147 630 717 632 994 563 063 808 × 2 = 0 + 0,295 261 435 265 989 126 127 616;
  • 91) 0,295 261 435 265 989 126 127 616 × 2 = 0 + 0,590 522 870 531 978 252 255 232;
  • 92) 0,590 522 870 531 978 252 255 232 × 2 = 1 + 0,181 045 741 063 956 504 510 464;
  • 93) 0,181 045 741 063 956 504 510 464 × 2 = 0 + 0,362 091 482 127 913 009 020 928;
  • 94) 0,362 091 482 127 913 009 020 928 × 2 = 0 + 0,724 182 964 255 826 018 041 856;
  • 95) 0,724 182 964 255 826 018 041 856 × 2 = 1 + 0,448 365 928 511 652 036 083 712;
  • 96) 0,448 365 928 511 652 036 083 712 × 2 = 0 + 0,896 731 857 023 304 072 167 424;
  • 97) 0,896 731 857 023 304 072 167 424 × 2 = 1 + 0,793 463 714 046 608 144 334 848;
  • 98) 0,793 463 714 046 608 144 334 848 × 2 = 1 + 0,586 927 428 093 216 288 669 696;
  • 99) 0,586 927 428 093 216 288 669 696 × 2 = 1 + 0,173 854 856 186 432 577 339 392;
  • 100) 0,173 854 856 186 432 577 339 392 × 2 = 0 + 0,347 709 712 372 865 154 678 784;
  • 101) 0,347 709 712 372 865 154 678 784 × 2 = 0 + 0,695 419 424 745 730 309 357 568;
  • 102) 0,695 419 424 745 730 309 357 568 × 2 = 1 + 0,390 838 849 491 460 618 715 136;
  • 103) 0,390 838 849 491 460 618 715 136 × 2 = 0 + 0,781 677 698 982 921 237 430 272;
  • 104) 0,781 677 698 982 921 237 430 272 × 2 = 1 + 0,563 355 397 965 842 474 860 544;
  • 105) 0,563 355 397 965 842 474 860 544 × 2 = 1 + 0,126 710 795 931 684 949 721 088;
  • 106) 0,126 710 795 931 684 949 721 088 × 2 = 0 + 0,253 421 591 863 369 899 442 176;
  • 107) 0,253 421 591 863 369 899 442 176 × 2 = 0 + 0,506 843 183 726 739 798 884 352;
  • 108) 0,506 843 183 726 739 798 884 352 × 2 = 1 + 0,013 686 367 453 479 597 768 704;
  • 109) 0,013 686 367 453 479 597 768 704 × 2 = 0 + 0,027 372 734 906 959 195 537 408;
  • 110) 0,027 372 734 906 959 195 537 408 × 2 = 0 + 0,054 745 469 813 918 391 074 816;
  • 111) 0,054 745 469 813 918 391 074 816 × 2 = 0 + 0,109 490 939 627 836 782 149 632;
  • 112) 0,109 490 939 627 836 782 149 632 × 2 = 0 + 0,218 981 879 255 673 564 299 264;
  • 113) 0,218 981 879 255 673 564 299 264 × 2 = 0 + 0,437 963 758 511 347 128 598 528;
  • 114) 0,437 963 758 511 347 128 598 528 × 2 = 0 + 0,875 927 517 022 694 257 197 056;
  • 115) 0,875 927 517 022 694 257 197 056 × 2 = 1 + 0,751 855 034 045 388 514 394 112;
  • 116) 0,751 855 034 045 388 514 394 112 × 2 = 1 + 0,503 710 068 090 777 028 788 224;
  • 117) 0,503 710 068 090 777 028 788 224 × 2 = 1 + 0,007 420 136 181 554 057 576 448;
  • 118) 0,007 420 136 181 554 057 576 448 × 2 = 0 + 0,014 840 272 363 108 115 152 896;
  • 119) 0,014 840 272 363 108 115 152 896 × 2 = 0 + 0,029 680 544 726 216 230 305 792;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 534(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 1100 1111 1001 0001 0010 1110 0101 1001 0000 0011 100(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 534(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 1100 1111 1001 0001 0010 1110 0101 1001 0000 0011 100(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 534(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 1100 1111 1001 0001 0010 1110 0101 1001 0000 0011 100(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 1100 1111 1001 0001 0010 1110 0101 1001 0000 0011 100(2) × 20 =

1,0100 0010 0110 0111 1100 1000 1001 0111 0010 1100 1000 0001 1100(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0010 0110 0111 1100 1000 1001 0111 0010 1100 1000 0001 1100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0010 0110 0111 1100 1000 1001 0111 0010 1100 1000 0001 1100 =

0100 0010 0110 0111 1100 1000 1001 0111 0010 1100 1000 0001 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0010 0110 0111 1100 1000 1001 0111 0010 1100 1000 0001 1100


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 534 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0010 0110 0111 1100 1000 1001 0111 0010 1100 1000 0001 1100

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 441 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100