0,000 000 000 000 000 000 008 535 25 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 535 25(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 535 25(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 535 25.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 535 25 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 070 5;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 070 5 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 141;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 141 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 282;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 282 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 564;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 564 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 273 128;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 273 128 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 546 256;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 546 256 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 092 512;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 092 512 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 185 024;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 185 024 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 370 048;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 370 048 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 740 096;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 740 096 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 480 192;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 480 192 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 960 384;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 960 384 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 920 768;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 920 768 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 841 536;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 841 536 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 279 683 072;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 279 683 072 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 559 366 144;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 559 366 144 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 118 732 288;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 118 732 288 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 237 464 576;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 237 464 576 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 474 929 152;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 474 929 152 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 949 858 304;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 949 858 304 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 899 716 608;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 899 716 608 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 799 433 216;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 799 433 216 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 598 866 432;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 598 866 432 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 197 732 864;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 197 732 864 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 286 395 465 728;
  • 26) 0,000 000 000 000 286 395 465 728 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 572 790 931 456;
  • 27) 0,000 000 000 000 572 790 931 456 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 145 581 862 912;
  • 28) 0,000 000 000 001 145 581 862 912 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 291 163 725 824;
  • 29) 0,000 000 000 002 291 163 725 824 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 582 327 451 648;
  • 30) 0,000 000 000 004 582 327 451 648 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 164 654 903 296;
  • 31) 0,000 000 000 009 164 654 903 296 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 329 309 806 592;
  • 32) 0,000 000 000 018 329 309 806 592 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 658 619 613 184;
  • 33) 0,000 000 000 036 658 619 613 184 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 317 239 226 368;
  • 34) 0,000 000 000 073 317 239 226 368 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 634 478 452 736;
  • 35) 0,000 000 000 146 634 478 452 736 × 2 = 0 + 0,000 000 000 293 268 956 905 472;
  • 36) 0,000 000 000 293 268 956 905 472 × 2 = 0 + 0,000 000 000 586 537 913 810 944;
  • 37) 0,000 000 000 586 537 913 810 944 × 2 = 0 + 0,000 000 001 173 075 827 621 888;
  • 38) 0,000 000 001 173 075 827 621 888 × 2 = 0 + 0,000 000 002 346 151 655 243 776;
  • 39) 0,000 000 002 346 151 655 243 776 × 2 = 0 + 0,000 000 004 692 303 310 487 552;
  • 40) 0,000 000 004 692 303 310 487 552 × 2 = 0 + 0,000 000 009 384 606 620 975 104;
  • 41) 0,000 000 009 384 606 620 975 104 × 2 = 0 + 0,000 000 018 769 213 241 950 208;
  • 42) 0,000 000 018 769 213 241 950 208 × 2 = 0 + 0,000 000 037 538 426 483 900 416;
  • 43) 0,000 000 037 538 426 483 900 416 × 2 = 0 + 0,000 000 075 076 852 967 800 832;
  • 44) 0,000 000 075 076 852 967 800 832 × 2 = 0 + 0,000 000 150 153 705 935 601 664;
  • 45) 0,000 000 150 153 705 935 601 664 × 2 = 0 + 0,000 000 300 307 411 871 203 328;
  • 46) 0,000 000 300 307 411 871 203 328 × 2 = 0 + 0,000 000 600 614 823 742 406 656;
  • 47) 0,000 000 600 614 823 742 406 656 × 2 = 0 + 0,000 001 201 229 647 484 813 312;
  • 48) 0,000 001 201 229 647 484 813 312 × 2 = 0 + 0,000 002 402 459 294 969 626 624;
  • 49) 0,000 002 402 459 294 969 626 624 × 2 = 0 + 0,000 004 804 918 589 939 253 248;
  • 50) 0,000 004 804 918 589 939 253 248 × 2 = 0 + 0,000 009 609 837 179 878 506 496;
  • 51) 0,000 009 609 837 179 878 506 496 × 2 = 0 + 0,000 019 219 674 359 757 012 992;
  • 52) 0,000 019 219 674 359 757 012 992 × 2 = 0 + 0,000 038 439 348 719 514 025 984;
  • 53) 0,000 038 439 348 719 514 025 984 × 2 = 0 + 0,000 076 878 697 439 028 051 968;
  • 54) 0,000 076 878 697 439 028 051 968 × 2 = 0 + 0,000 153 757 394 878 056 103 936;
  • 55) 0,000 153 757 394 878 056 103 936 × 2 = 0 + 0,000 307 514 789 756 112 207 872;
  • 56) 0,000 307 514 789 756 112 207 872 × 2 = 0 + 0,000 615 029 579 512 224 415 744;
  • 57) 0,000 615 029 579 512 224 415 744 × 2 = 0 + 0,001 230 059 159 024 448 831 488;
  • 58) 0,001 230 059 159 024 448 831 488 × 2 = 0 + 0,002 460 118 318 048 897 662 976;
  • 59) 0,002 460 118 318 048 897 662 976 × 2 = 0 + 0,004 920 236 636 097 795 325 952;
  • 60) 0,004 920 236 636 097 795 325 952 × 2 = 0 + 0,009 840 473 272 195 590 651 904;
  • 61) 0,009 840 473 272 195 590 651 904 × 2 = 0 + 0,019 680 946 544 391 181 303 808;
  • 62) 0,019 680 946 544 391 181 303 808 × 2 = 0 + 0,039 361 893 088 782 362 607 616;
  • 63) 0,039 361 893 088 782 362 607 616 × 2 = 0 + 0,078 723 786 177 564 725 215 232;
  • 64) 0,078 723 786 177 564 725 215 232 × 2 = 0 + 0,157 447 572 355 129 450 430 464;
  • 65) 0,157 447 572 355 129 450 430 464 × 2 = 0 + 0,314 895 144 710 258 900 860 928;
  • 66) 0,314 895 144 710 258 900 860 928 × 2 = 0 + 0,629 790 289 420 517 801 721 856;
  • 67) 0,629 790 289 420 517 801 721 856 × 2 = 1 + 0,259 580 578 841 035 603 443 712;
  • 68) 0,259 580 578 841 035 603 443 712 × 2 = 0 + 0,519 161 157 682 071 206 887 424;
  • 69) 0,519 161 157 682 071 206 887 424 × 2 = 1 + 0,038 322 315 364 142 413 774 848;
  • 70) 0,038 322 315 364 142 413 774 848 × 2 = 0 + 0,076 644 630 728 284 827 549 696;
  • 71) 0,076 644 630 728 284 827 549 696 × 2 = 0 + 0,153 289 261 456 569 655 099 392;
  • 72) 0,153 289 261 456 569 655 099 392 × 2 = 0 + 0,306 578 522 913 139 310 198 784;
  • 73) 0,306 578 522 913 139 310 198 784 × 2 = 0 + 0,613 157 045 826 278 620 397 568;
  • 74) 0,613 157 045 826 278 620 397 568 × 2 = 1 + 0,226 314 091 652 557 240 795 136;
  • 75) 0,226 314 091 652 557 240 795 136 × 2 = 0 + 0,452 628 183 305 114 481 590 272;
  • 76) 0,452 628 183 305 114 481 590 272 × 2 = 0 + 0,905 256 366 610 228 963 180 544;
  • 77) 0,905 256 366 610 228 963 180 544 × 2 = 1 + 0,810 512 733 220 457 926 361 088;
  • 78) 0,810 512 733 220 457 926 361 088 × 2 = 1 + 0,621 025 466 440 915 852 722 176;
  • 79) 0,621 025 466 440 915 852 722 176 × 2 = 1 + 0,242 050 932 881 831 705 444 352;
  • 80) 0,242 050 932 881 831 705 444 352 × 2 = 0 + 0,484 101 865 763 663 410 888 704;
  • 81) 0,484 101 865 763 663 410 888 704 × 2 = 0 + 0,968 203 731 527 326 821 777 408;
  • 82) 0,968 203 731 527 326 821 777 408 × 2 = 1 + 0,936 407 463 054 653 643 554 816;
  • 83) 0,936 407 463 054 653 643 554 816 × 2 = 1 + 0,872 814 926 109 307 287 109 632;
  • 84) 0,872 814 926 109 307 287 109 632 × 2 = 1 + 0,745 629 852 218 614 574 219 264;
  • 85) 0,745 629 852 218 614 574 219 264 × 2 = 1 + 0,491 259 704 437 229 148 438 528;
  • 86) 0,491 259 704 437 229 148 438 528 × 2 = 0 + 0,982 519 408 874 458 296 877 056;
  • 87) 0,982 519 408 874 458 296 877 056 × 2 = 1 + 0,965 038 817 748 916 593 754 112;
  • 88) 0,965 038 817 748 916 593 754 112 × 2 = 1 + 0,930 077 635 497 833 187 508 224;
  • 89) 0,930 077 635 497 833 187 508 224 × 2 = 1 + 0,860 155 270 995 666 375 016 448;
  • 90) 0,860 155 270 995 666 375 016 448 × 2 = 1 + 0,720 310 541 991 332 750 032 896;
  • 91) 0,720 310 541 991 332 750 032 896 × 2 = 1 + 0,440 621 083 982 665 500 065 792;
  • 92) 0,440 621 083 982 665 500 065 792 × 2 = 0 + 0,881 242 167 965 331 000 131 584;
  • 93) 0,881 242 167 965 331 000 131 584 × 2 = 1 + 0,762 484 335 930 662 000 263 168;
  • 94) 0,762 484 335 930 662 000 263 168 × 2 = 1 + 0,524 968 671 861 324 000 526 336;
  • 95) 0,524 968 671 861 324 000 526 336 × 2 = 1 + 0,049 937 343 722 648 001 052 672;
  • 96) 0,049 937 343 722 648 001 052 672 × 2 = 0 + 0,099 874 687 445 296 002 105 344;
  • 97) 0,099 874 687 445 296 002 105 344 × 2 = 0 + 0,199 749 374 890 592 004 210 688;
  • 98) 0,199 749 374 890 592 004 210 688 × 2 = 0 + 0,399 498 749 781 184 008 421 376;
  • 99) 0,399 498 749 781 184 008 421 376 × 2 = 0 + 0,798 997 499 562 368 016 842 752;
  • 100) 0,798 997 499 562 368 016 842 752 × 2 = 1 + 0,597 994 999 124 736 033 685 504;
  • 101) 0,597 994 999 124 736 033 685 504 × 2 = 1 + 0,195 989 998 249 472 067 371 008;
  • 102) 0,195 989 998 249 472 067 371 008 × 2 = 0 + 0,391 979 996 498 944 134 742 016;
  • 103) 0,391 979 996 498 944 134 742 016 × 2 = 0 + 0,783 959 992 997 888 269 484 032;
  • 104) 0,783 959 992 997 888 269 484 032 × 2 = 1 + 0,567 919 985 995 776 538 968 064;
  • 105) 0,567 919 985 995 776 538 968 064 × 2 = 1 + 0,135 839 971 991 553 077 936 128;
  • 106) 0,135 839 971 991 553 077 936 128 × 2 = 0 + 0,271 679 943 983 106 155 872 256;
  • 107) 0,271 679 943 983 106 155 872 256 × 2 = 0 + 0,543 359 887 966 212 311 744 512;
  • 108) 0,543 359 887 966 212 311 744 512 × 2 = 1 + 0,086 719 775 932 424 623 489 024;
  • 109) 0,086 719 775 932 424 623 489 024 × 2 = 0 + 0,173 439 551 864 849 246 978 048;
  • 110) 0,173 439 551 864 849 246 978 048 × 2 = 0 + 0,346 879 103 729 698 493 956 096;
  • 111) 0,346 879 103 729 698 493 956 096 × 2 = 0 + 0,693 758 207 459 396 987 912 192;
  • 112) 0,693 758 207 459 396 987 912 192 × 2 = 1 + 0,387 516 414 918 793 975 824 384;
  • 113) 0,387 516 414 918 793 975 824 384 × 2 = 0 + 0,775 032 829 837 587 951 648 768;
  • 114) 0,775 032 829 837 587 951 648 768 × 2 = 1 + 0,550 065 659 675 175 903 297 536;
  • 115) 0,550 065 659 675 175 903 297 536 × 2 = 1 + 0,100 131 319 350 351 806 595 072;
  • 116) 0,100 131 319 350 351 806 595 072 × 2 = 0 + 0,200 262 638 700 703 613 190 144;
  • 117) 0,200 262 638 700 703 613 190 144 × 2 = 0 + 0,400 525 277 401 407 226 380 288;
  • 118) 0,400 525 277 401 407 226 380 288 × 2 = 0 + 0,801 050 554 802 814 452 760 576;
  • 119) 0,801 050 554 802 814 452 760 576 × 2 = 1 + 0,602 101 109 605 628 905 521 152;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 535 25(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 1110 0111 1011 1110 1110 0001 1001 1001 0001 0110 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 535 25(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 1110 0111 1011 1110 1110 0001 1001 1001 0001 0110 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 535 25(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 1110 0111 1011 1110 1110 0001 1001 1001 0001 0110 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0100 1110 0111 1011 1110 1110 0001 1001 1001 0001 0110 001(2) × 20 =

1,0100 0010 0111 0011 1101 1111 0111 0000 1100 1100 1000 1011 0001(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0010 0111 0011 1101 1111 0111 0000 1100 1100 1000 1011 0001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0010 0111 0011 1101 1111 0111 0000 1100 1100 1000 1011 0001 =

0100 0010 0111 0011 1101 1111 0111 0000 1100 1100 1000 1011 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0010 0111 0011 1101 1111 0111 0000 1100 1100 1000 1011 0001


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 535 25 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0010 0111 0011 1101 1111 0111 0000 1100 1100 1000 1011 0001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 536 06 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100