0,000 000 000 000 000 000 008 538 25 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 538 25(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 538 25(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 538 25.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 538 25 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 076 5;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 076 5 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 153;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 153 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 306;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 306 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 612;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 612 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 273 224;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 273 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 546 448;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 546 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 092 896;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 092 896 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 185 792;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 185 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 371 584;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 371 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 743 168;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 743 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 486 336;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 486 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 972 672;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 972 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 945 344;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 945 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 890 688;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 890 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 279 781 376;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 279 781 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 559 562 752;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 559 562 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 119 125 504;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 119 125 504 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 238 251 008;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 238 251 008 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 476 502 016;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 476 502 016 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 953 004 032;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 953 004 032 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 906 008 064;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 906 008 064 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 812 016 128;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 812 016 128 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 624 032 256;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 624 032 256 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 248 064 512;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 248 064 512 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 286 496 129 024;
  • 26) 0,000 000 000 000 286 496 129 024 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 572 992 258 048;
  • 27) 0,000 000 000 000 572 992 258 048 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 145 984 516 096;
  • 28) 0,000 000 000 001 145 984 516 096 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 291 969 032 192;
  • 29) 0,000 000 000 002 291 969 032 192 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 583 938 064 384;
  • 30) 0,000 000 000 004 583 938 064 384 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 167 876 128 768;
  • 31) 0,000 000 000 009 167 876 128 768 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 335 752 257 536;
  • 32) 0,000 000 000 018 335 752 257 536 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 671 504 515 072;
  • 33) 0,000 000 000 036 671 504 515 072 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 343 009 030 144;
  • 34) 0,000 000 000 073 343 009 030 144 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 686 018 060 288;
  • 35) 0,000 000 000 146 686 018 060 288 × 2 = 0 + 0,000 000 000 293 372 036 120 576;
  • 36) 0,000 000 000 293 372 036 120 576 × 2 = 0 + 0,000 000 000 586 744 072 241 152;
  • 37) 0,000 000 000 586 744 072 241 152 × 2 = 0 + 0,000 000 001 173 488 144 482 304;
  • 38) 0,000 000 001 173 488 144 482 304 × 2 = 0 + 0,000 000 002 346 976 288 964 608;
  • 39) 0,000 000 002 346 976 288 964 608 × 2 = 0 + 0,000 000 004 693 952 577 929 216;
  • 40) 0,000 000 004 693 952 577 929 216 × 2 = 0 + 0,000 000 009 387 905 155 858 432;
  • 41) 0,000 000 009 387 905 155 858 432 × 2 = 0 + 0,000 000 018 775 810 311 716 864;
  • 42) 0,000 000 018 775 810 311 716 864 × 2 = 0 + 0,000 000 037 551 620 623 433 728;
  • 43) 0,000 000 037 551 620 623 433 728 × 2 = 0 + 0,000 000 075 103 241 246 867 456;
  • 44) 0,000 000 075 103 241 246 867 456 × 2 = 0 + 0,000 000 150 206 482 493 734 912;
  • 45) 0,000 000 150 206 482 493 734 912 × 2 = 0 + 0,000 000 300 412 964 987 469 824;
  • 46) 0,000 000 300 412 964 987 469 824 × 2 = 0 + 0,000 000 600 825 929 974 939 648;
  • 47) 0,000 000 600 825 929 974 939 648 × 2 = 0 + 0,000 001 201 651 859 949 879 296;
  • 48) 0,000 001 201 651 859 949 879 296 × 2 = 0 + 0,000 002 403 303 719 899 758 592;
  • 49) 0,000 002 403 303 719 899 758 592 × 2 = 0 + 0,000 004 806 607 439 799 517 184;
  • 50) 0,000 004 806 607 439 799 517 184 × 2 = 0 + 0,000 009 613 214 879 599 034 368;
  • 51) 0,000 009 613 214 879 599 034 368 × 2 = 0 + 0,000 019 226 429 759 198 068 736;
  • 52) 0,000 019 226 429 759 198 068 736 × 2 = 0 + 0,000 038 452 859 518 396 137 472;
  • 53) 0,000 038 452 859 518 396 137 472 × 2 = 0 + 0,000 076 905 719 036 792 274 944;
  • 54) 0,000 076 905 719 036 792 274 944 × 2 = 0 + 0,000 153 811 438 073 584 549 888;
  • 55) 0,000 153 811 438 073 584 549 888 × 2 = 0 + 0,000 307 622 876 147 169 099 776;
  • 56) 0,000 307 622 876 147 169 099 776 × 2 = 0 + 0,000 615 245 752 294 338 199 552;
  • 57) 0,000 615 245 752 294 338 199 552 × 2 = 0 + 0,001 230 491 504 588 676 399 104;
  • 58) 0,001 230 491 504 588 676 399 104 × 2 = 0 + 0,002 460 983 009 177 352 798 208;
  • 59) 0,002 460 983 009 177 352 798 208 × 2 = 0 + 0,004 921 966 018 354 705 596 416;
  • 60) 0,004 921 966 018 354 705 596 416 × 2 = 0 + 0,009 843 932 036 709 411 192 832;
  • 61) 0,009 843 932 036 709 411 192 832 × 2 = 0 + 0,019 687 864 073 418 822 385 664;
  • 62) 0,019 687 864 073 418 822 385 664 × 2 = 0 + 0,039 375 728 146 837 644 771 328;
  • 63) 0,039 375 728 146 837 644 771 328 × 2 = 0 + 0,078 751 456 293 675 289 542 656;
  • 64) 0,078 751 456 293 675 289 542 656 × 2 = 0 + 0,157 502 912 587 350 579 085 312;
  • 65) 0,157 502 912 587 350 579 085 312 × 2 = 0 + 0,315 005 825 174 701 158 170 624;
  • 66) 0,315 005 825 174 701 158 170 624 × 2 = 0 + 0,630 011 650 349 402 316 341 248;
  • 67) 0,630 011 650 349 402 316 341 248 × 2 = 1 + 0,260 023 300 698 804 632 682 496;
  • 68) 0,260 023 300 698 804 632 682 496 × 2 = 0 + 0,520 046 601 397 609 265 364 992;
  • 69) 0,520 046 601 397 609 265 364 992 × 2 = 1 + 0,040 093 202 795 218 530 729 984;
  • 70) 0,040 093 202 795 218 530 729 984 × 2 = 0 + 0,080 186 405 590 437 061 459 968;
  • 71) 0,080 186 405 590 437 061 459 968 × 2 = 0 + 0,160 372 811 180 874 122 919 936;
  • 72) 0,160 372 811 180 874 122 919 936 × 2 = 0 + 0,320 745 622 361 748 245 839 872;
  • 73) 0,320 745 622 361 748 245 839 872 × 2 = 0 + 0,641 491 244 723 496 491 679 744;
  • 74) 0,641 491 244 723 496 491 679 744 × 2 = 1 + 0,282 982 489 446 992 983 359 488;
  • 75) 0,282 982 489 446 992 983 359 488 × 2 = 0 + 0,565 964 978 893 985 966 718 976;
  • 76) 0,565 964 978 893 985 966 718 976 × 2 = 1 + 0,131 929 957 787 971 933 437 952;
  • 77) 0,131 929 957 787 971 933 437 952 × 2 = 0 + 0,263 859 915 575 943 866 875 904;
  • 78) 0,263 859 915 575 943 866 875 904 × 2 = 0 + 0,527 719 831 151 887 733 751 808;
  • 79) 0,527 719 831 151 887 733 751 808 × 2 = 1 + 0,055 439 662 303 775 467 503 616;
  • 80) 0,055 439 662 303 775 467 503 616 × 2 = 0 + 0,110 879 324 607 550 935 007 232;
  • 81) 0,110 879 324 607 550 935 007 232 × 2 = 0 + 0,221 758 649 215 101 870 014 464;
  • 82) 0,221 758 649 215 101 870 014 464 × 2 = 0 + 0,443 517 298 430 203 740 028 928;
  • 83) 0,443 517 298 430 203 740 028 928 × 2 = 0 + 0,887 034 596 860 407 480 057 856;
  • 84) 0,887 034 596 860 407 480 057 856 × 2 = 1 + 0,774 069 193 720 814 960 115 712;
  • 85) 0,774 069 193 720 814 960 115 712 × 2 = 1 + 0,548 138 387 441 629 920 231 424;
  • 86) 0,548 138 387 441 629 920 231 424 × 2 = 1 + 0,096 276 774 883 259 840 462 848;
  • 87) 0,096 276 774 883 259 840 462 848 × 2 = 0 + 0,192 553 549 766 519 680 925 696;
  • 88) 0,192 553 549 766 519 680 925 696 × 2 = 0 + 0,385 107 099 533 039 361 851 392;
  • 89) 0,385 107 099 533 039 361 851 392 × 2 = 0 + 0,770 214 199 066 078 723 702 784;
  • 90) 0,770 214 199 066 078 723 702 784 × 2 = 1 + 0,540 428 398 132 157 447 405 568;
  • 91) 0,540 428 398 132 157 447 405 568 × 2 = 1 + 0,080 856 796 264 314 894 811 136;
  • 92) 0,080 856 796 264 314 894 811 136 × 2 = 0 + 0,161 713 592 528 629 789 622 272;
  • 93) 0,161 713 592 528 629 789 622 272 × 2 = 0 + 0,323 427 185 057 259 579 244 544;
  • 94) 0,323 427 185 057 259 579 244 544 × 2 = 0 + 0,646 854 370 114 519 158 489 088;
  • 95) 0,646 854 370 114 519 158 489 088 × 2 = 1 + 0,293 708 740 229 038 316 978 176;
  • 96) 0,293 708 740 229 038 316 978 176 × 2 = 0 + 0,587 417 480 458 076 633 956 352;
  • 97) 0,587 417 480 458 076 633 956 352 × 2 = 1 + 0,174 834 960 916 153 267 912 704;
  • 98) 0,174 834 960 916 153 267 912 704 × 2 = 0 + 0,349 669 921 832 306 535 825 408;
  • 99) 0,349 669 921 832 306 535 825 408 × 2 = 0 + 0,699 339 843 664 613 071 650 816;
  • 100) 0,699 339 843 664 613 071 650 816 × 2 = 1 + 0,398 679 687 329 226 143 301 632;
  • 101) 0,398 679 687 329 226 143 301 632 × 2 = 0 + 0,797 359 374 658 452 286 603 264;
  • 102) 0,797 359 374 658 452 286 603 264 × 2 = 1 + 0,594 718 749 316 904 573 206 528;
  • 103) 0,594 718 749 316 904 573 206 528 × 2 = 1 + 0,189 437 498 633 809 146 413 056;
  • 104) 0,189 437 498 633 809 146 413 056 × 2 = 0 + 0,378 874 997 267 618 292 826 112;
  • 105) 0,378 874 997 267 618 292 826 112 × 2 = 0 + 0,757 749 994 535 236 585 652 224;
  • 106) 0,757 749 994 535 236 585 652 224 × 2 = 1 + 0,515 499 989 070 473 171 304 448;
  • 107) 0,515 499 989 070 473 171 304 448 × 2 = 1 + 0,030 999 978 140 946 342 608 896;
  • 108) 0,030 999 978 140 946 342 608 896 × 2 = 0 + 0,061 999 956 281 892 685 217 792;
  • 109) 0,061 999 956 281 892 685 217 792 × 2 = 0 + 0,123 999 912 563 785 370 435 584;
  • 110) 0,123 999 912 563 785 370 435 584 × 2 = 0 + 0,247 999 825 127 570 740 871 168;
  • 111) 0,247 999 825 127 570 740 871 168 × 2 = 0 + 0,495 999 650 255 141 481 742 336;
  • 112) 0,495 999 650 255 141 481 742 336 × 2 = 0 + 0,991 999 300 510 282 963 484 672;
  • 113) 0,991 999 300 510 282 963 484 672 × 2 = 1 + 0,983 998 601 020 565 926 969 344;
  • 114) 0,983 998 601 020 565 926 969 344 × 2 = 1 + 0,967 997 202 041 131 853 938 688;
  • 115) 0,967 997 202 041 131 853 938 688 × 2 = 1 + 0,935 994 404 082 263 707 877 376;
  • 116) 0,935 994 404 082 263 707 877 376 × 2 = 1 + 0,871 988 808 164 527 415 754 752;
  • 117) 0,871 988 808 164 527 415 754 752 × 2 = 1 + 0,743 977 616 329 054 831 509 504;
  • 118) 0,743 977 616 329 054 831 509 504 × 2 = 1 + 0,487 955 232 658 109 663 019 008;
  • 119) 0,487 955 232 658 109 663 019 008 × 2 = 0 + 0,975 910 465 316 219 326 038 016;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 538 25(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0010 0001 1100 0110 0010 1001 0110 0110 0000 1111 110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 538 25(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0010 0001 1100 0110 0010 1001 0110 0110 0000 1111 110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 538 25(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0010 0001 1100 0110 0010 1001 0110 0110 0000 1111 110(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0010 0001 1100 0110 0010 1001 0110 0110 0000 1111 110(2) × 20 =

1,0100 0010 1001 0000 1110 0011 0001 0100 1011 0011 0000 0111 1110(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0010 1001 0000 1110 0011 0001 0100 1011 0011 0000 0111 1110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0010 1001 0000 1110 0011 0001 0100 1011 0011 0000 0111 1110 =

0100 0010 1001 0000 1110 0011 0001 0100 1011 0011 0000 0111 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0010 1001 0000 1110 0011 0001 0100 1011 0011 0000 0111 1110


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 538 25 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0010 1001 0000 1110 0011 0001 0100 1011 0011 0000 0111 1110

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 537 88 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100