0,000 000 000 000 000 000 008 540 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 540 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 540 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 540 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 540 5 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 081;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 081 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 162;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 162 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 324;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 324 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 648;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 648 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 273 296;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 273 296 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 546 592;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 546 592 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 093 184;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 093 184 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 186 368;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 186 368 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 372 736;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 372 736 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 745 472;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 745 472 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 490 944;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 490 944 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 981 888;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 981 888 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 963 776;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 963 776 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 927 552;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 927 552 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 279 855 104;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 279 855 104 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 559 710 208;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 559 710 208 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 119 420 416;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 119 420 416 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 238 840 832;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 238 840 832 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 477 681 664;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 477 681 664 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 955 363 328;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 955 363 328 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 910 726 656;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 910 726 656 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 821 453 312;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 821 453 312 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 642 906 624;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 642 906 624 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 285 813 248;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 285 813 248 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 286 571 626 496;
  • 26) 0,000 000 000 000 286 571 626 496 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 573 143 252 992;
  • 27) 0,000 000 000 000 573 143 252 992 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 146 286 505 984;
  • 28) 0,000 000 000 001 146 286 505 984 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 292 573 011 968;
  • 29) 0,000 000 000 002 292 573 011 968 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 585 146 023 936;
  • 30) 0,000 000 000 004 585 146 023 936 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 170 292 047 872;
  • 31) 0,000 000 000 009 170 292 047 872 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 340 584 095 744;
  • 32) 0,000 000 000 018 340 584 095 744 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 681 168 191 488;
  • 33) 0,000 000 000 036 681 168 191 488 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 362 336 382 976;
  • 34) 0,000 000 000 073 362 336 382 976 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 724 672 765 952;
  • 35) 0,000 000 000 146 724 672 765 952 × 2 = 0 + 0,000 000 000 293 449 345 531 904;
  • 36) 0,000 000 000 293 449 345 531 904 × 2 = 0 + 0,000 000 000 586 898 691 063 808;
  • 37) 0,000 000 000 586 898 691 063 808 × 2 = 0 + 0,000 000 001 173 797 382 127 616;
  • 38) 0,000 000 001 173 797 382 127 616 × 2 = 0 + 0,000 000 002 347 594 764 255 232;
  • 39) 0,000 000 002 347 594 764 255 232 × 2 = 0 + 0,000 000 004 695 189 528 510 464;
  • 40) 0,000 000 004 695 189 528 510 464 × 2 = 0 + 0,000 000 009 390 379 057 020 928;
  • 41) 0,000 000 009 390 379 057 020 928 × 2 = 0 + 0,000 000 018 780 758 114 041 856;
  • 42) 0,000 000 018 780 758 114 041 856 × 2 = 0 + 0,000 000 037 561 516 228 083 712;
  • 43) 0,000 000 037 561 516 228 083 712 × 2 = 0 + 0,000 000 075 123 032 456 167 424;
  • 44) 0,000 000 075 123 032 456 167 424 × 2 = 0 + 0,000 000 150 246 064 912 334 848;
  • 45) 0,000 000 150 246 064 912 334 848 × 2 = 0 + 0,000 000 300 492 129 824 669 696;
  • 46) 0,000 000 300 492 129 824 669 696 × 2 = 0 + 0,000 000 600 984 259 649 339 392;
  • 47) 0,000 000 600 984 259 649 339 392 × 2 = 0 + 0,000 001 201 968 519 298 678 784;
  • 48) 0,000 001 201 968 519 298 678 784 × 2 = 0 + 0,000 002 403 937 038 597 357 568;
  • 49) 0,000 002 403 937 038 597 357 568 × 2 = 0 + 0,000 004 807 874 077 194 715 136;
  • 50) 0,000 004 807 874 077 194 715 136 × 2 = 0 + 0,000 009 615 748 154 389 430 272;
  • 51) 0,000 009 615 748 154 389 430 272 × 2 = 0 + 0,000 019 231 496 308 778 860 544;
  • 52) 0,000 019 231 496 308 778 860 544 × 2 = 0 + 0,000 038 462 992 617 557 721 088;
  • 53) 0,000 038 462 992 617 557 721 088 × 2 = 0 + 0,000 076 925 985 235 115 442 176;
  • 54) 0,000 076 925 985 235 115 442 176 × 2 = 0 + 0,000 153 851 970 470 230 884 352;
  • 55) 0,000 153 851 970 470 230 884 352 × 2 = 0 + 0,000 307 703 940 940 461 768 704;
  • 56) 0,000 307 703 940 940 461 768 704 × 2 = 0 + 0,000 615 407 881 880 923 537 408;
  • 57) 0,000 615 407 881 880 923 537 408 × 2 = 0 + 0,001 230 815 763 761 847 074 816;
  • 58) 0,001 230 815 763 761 847 074 816 × 2 = 0 + 0,002 461 631 527 523 694 149 632;
  • 59) 0,002 461 631 527 523 694 149 632 × 2 = 0 + 0,004 923 263 055 047 388 299 264;
  • 60) 0,004 923 263 055 047 388 299 264 × 2 = 0 + 0,009 846 526 110 094 776 598 528;
  • 61) 0,009 846 526 110 094 776 598 528 × 2 = 0 + 0,019 693 052 220 189 553 197 056;
  • 62) 0,019 693 052 220 189 553 197 056 × 2 = 0 + 0,039 386 104 440 379 106 394 112;
  • 63) 0,039 386 104 440 379 106 394 112 × 2 = 0 + 0,078 772 208 880 758 212 788 224;
  • 64) 0,078 772 208 880 758 212 788 224 × 2 = 0 + 0,157 544 417 761 516 425 576 448;
  • 65) 0,157 544 417 761 516 425 576 448 × 2 = 0 + 0,315 088 835 523 032 851 152 896;
  • 66) 0,315 088 835 523 032 851 152 896 × 2 = 0 + 0,630 177 671 046 065 702 305 792;
  • 67) 0,630 177 671 046 065 702 305 792 × 2 = 1 + 0,260 355 342 092 131 404 611 584;
  • 68) 0,260 355 342 092 131 404 611 584 × 2 = 0 + 0,520 710 684 184 262 809 223 168;
  • 69) 0,520 710 684 184 262 809 223 168 × 2 = 1 + 0,041 421 368 368 525 618 446 336;
  • 70) 0,041 421 368 368 525 618 446 336 × 2 = 0 + 0,082 842 736 737 051 236 892 672;
  • 71) 0,082 842 736 737 051 236 892 672 × 2 = 0 + 0,165 685 473 474 102 473 785 344;
  • 72) 0,165 685 473 474 102 473 785 344 × 2 = 0 + 0,331 370 946 948 204 947 570 688;
  • 73) 0,331 370 946 948 204 947 570 688 × 2 = 0 + 0,662 741 893 896 409 895 141 376;
  • 74) 0,662 741 893 896 409 895 141 376 × 2 = 1 + 0,325 483 787 792 819 790 282 752;
  • 75) 0,325 483 787 792 819 790 282 752 × 2 = 0 + 0,650 967 575 585 639 580 565 504;
  • 76) 0,650 967 575 585 639 580 565 504 × 2 = 1 + 0,301 935 151 171 279 161 131 008;
  • 77) 0,301 935 151 171 279 161 131 008 × 2 = 0 + 0,603 870 302 342 558 322 262 016;
  • 78) 0,603 870 302 342 558 322 262 016 × 2 = 1 + 0,207 740 604 685 116 644 524 032;
  • 79) 0,207 740 604 685 116 644 524 032 × 2 = 0 + 0,415 481 209 370 233 289 048 064;
  • 80) 0,415 481 209 370 233 289 048 064 × 2 = 0 + 0,830 962 418 740 466 578 096 128;
  • 81) 0,830 962 418 740 466 578 096 128 × 2 = 1 + 0,661 924 837 480 933 156 192 256;
  • 82) 0,661 924 837 480 933 156 192 256 × 2 = 1 + 0,323 849 674 961 866 312 384 512;
  • 83) 0,323 849 674 961 866 312 384 512 × 2 = 0 + 0,647 699 349 923 732 624 769 024;
  • 84) 0,647 699 349 923 732 624 769 024 × 2 = 1 + 0,295 398 699 847 465 249 538 048;
  • 85) 0,295 398 699 847 465 249 538 048 × 2 = 0 + 0,590 797 399 694 930 499 076 096;
  • 86) 0,590 797 399 694 930 499 076 096 × 2 = 1 + 0,181 594 799 389 860 998 152 192;
  • 87) 0,181 594 799 389 860 998 152 192 × 2 = 0 + 0,363 189 598 779 721 996 304 384;
  • 88) 0,363 189 598 779 721 996 304 384 × 2 = 0 + 0,726 379 197 559 443 992 608 768;
  • 89) 0,726 379 197 559 443 992 608 768 × 2 = 1 + 0,452 758 395 118 887 985 217 536;
  • 90) 0,452 758 395 118 887 985 217 536 × 2 = 0 + 0,905 516 790 237 775 970 435 072;
  • 91) 0,905 516 790 237 775 970 435 072 × 2 = 1 + 0,811 033 580 475 551 940 870 144;
  • 92) 0,811 033 580 475 551 940 870 144 × 2 = 1 + 0,622 067 160 951 103 881 740 288;
  • 93) 0,622 067 160 951 103 881 740 288 × 2 = 1 + 0,244 134 321 902 207 763 480 576;
  • 94) 0,244 134 321 902 207 763 480 576 × 2 = 0 + 0,488 268 643 804 415 526 961 152;
  • 95) 0,488 268 643 804 415 526 961 152 × 2 = 0 + 0,976 537 287 608 831 053 922 304;
  • 96) 0,976 537 287 608 831 053 922 304 × 2 = 1 + 0,953 074 575 217 662 107 844 608;
  • 97) 0,953 074 575 217 662 107 844 608 × 2 = 1 + 0,906 149 150 435 324 215 689 216;
  • 98) 0,906 149 150 435 324 215 689 216 × 2 = 1 + 0,812 298 300 870 648 431 378 432;
  • 99) 0,812 298 300 870 648 431 378 432 × 2 = 1 + 0,624 596 601 741 296 862 756 864;
  • 100) 0,624 596 601 741 296 862 756 864 × 2 = 1 + 0,249 193 203 482 593 725 513 728;
  • 101) 0,249 193 203 482 593 725 513 728 × 2 = 0 + 0,498 386 406 965 187 451 027 456;
  • 102) 0,498 386 406 965 187 451 027 456 × 2 = 0 + 0,996 772 813 930 374 902 054 912;
  • 103) 0,996 772 813 930 374 902 054 912 × 2 = 1 + 0,993 545 627 860 749 804 109 824;
  • 104) 0,993 545 627 860 749 804 109 824 × 2 = 1 + 0,987 091 255 721 499 608 219 648;
  • 105) 0,987 091 255 721 499 608 219 648 × 2 = 1 + 0,974 182 511 442 999 216 439 296;
  • 106) 0,974 182 511 442 999 216 439 296 × 2 = 1 + 0,948 365 022 885 998 432 878 592;
  • 107) 0,948 365 022 885 998 432 878 592 × 2 = 1 + 0,896 730 045 771 996 865 757 184;
  • 108) 0,896 730 045 771 996 865 757 184 × 2 = 1 + 0,793 460 091 543 993 731 514 368;
  • 109) 0,793 460 091 543 993 731 514 368 × 2 = 1 + 0,586 920 183 087 987 463 028 736;
  • 110) 0,586 920 183 087 987 463 028 736 × 2 = 1 + 0,173 840 366 175 974 926 057 472;
  • 111) 0,173 840 366 175 974 926 057 472 × 2 = 0 + 0,347 680 732 351 949 852 114 944;
  • 112) 0,347 680 732 351 949 852 114 944 × 2 = 0 + 0,695 361 464 703 899 704 229 888;
  • 113) 0,695 361 464 703 899 704 229 888 × 2 = 1 + 0,390 722 929 407 799 408 459 776;
  • 114) 0,390 722 929 407 799 408 459 776 × 2 = 0 + 0,781 445 858 815 598 816 919 552;
  • 115) 0,781 445 858 815 598 816 919 552 × 2 = 1 + 0,562 891 717 631 197 633 839 104;
  • 116) 0,562 891 717 631 197 633 839 104 × 2 = 1 + 0,125 783 435 262 395 267 678 208;
  • 117) 0,125 783 435 262 395 267 678 208 × 2 = 0 + 0,251 566 870 524 790 535 356 416;
  • 118) 0,251 566 870 524 790 535 356 416 × 2 = 0 + 0,503 133 741 049 581 070 712 832;
  • 119) 0,503 133 741 049 581 070 712 832 × 2 = 1 + 0,006 267 482 099 162 141 425 664;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 540 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0100 1101 0100 1011 1001 1111 0011 1111 1100 1011 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 540 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0100 1101 0100 1011 1001 1111 0011 1111 1100 1011 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 540 5(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0100 1101 0100 1011 1001 1111 0011 1111 1100 1011 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0100 1101 0100 1011 1001 1111 0011 1111 1100 1011 001(2) × 20 =

1,0100 0010 1010 0110 1010 0101 1100 1111 1001 1111 1110 0101 1001(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0010 1010 0110 1010 0101 1100 1111 1001 1111 1110 0101 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0010 1010 0110 1010 0101 1100 1111 1001 1111 1110 0101 1001 =

0100 0010 1010 0110 1010 0101 1100 1111 1001 1111 1110 0101 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0010 1010 0110 1010 0101 1100 1111 1001 1111 1110 0101 1001


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 540 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0010 1010 0110 1010 0101 1100 1111 1001 1111 1110 0101 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 530 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100