0,000 000 000 000 000 000 008 545 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 545(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 545(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 545.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 545 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 09;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 09 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 18;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 18 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 36;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 72;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 273 44;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 273 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 546 88;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 546 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 093 76;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 093 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 187 52;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 187 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 375 04;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 375 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 750 08;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 750 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 500 16;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 500 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 035 000 32;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 035 000 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 070 000 64;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 070 000 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 140 001 28;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 140 001 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 280 002 56;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 280 002 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 560 005 12;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 560 005 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 120 010 24;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 120 010 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 240 020 48;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 240 020 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 480 040 96;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 480 040 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 960 081 92;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 960 081 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 920 163 84;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 920 163 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 840 327 68;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 840 327 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 680 655 36;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 680 655 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 361 310 72;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 361 310 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 286 722 621 44;
  • 26) 0,000 000 000 000 286 722 621 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 573 445 242 88;
  • 27) 0,000 000 000 000 573 445 242 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 146 890 485 76;
  • 28) 0,000 000 000 001 146 890 485 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 293 780 971 52;
  • 29) 0,000 000 000 002 293 780 971 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 587 561 943 04;
  • 30) 0,000 000 000 004 587 561 943 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 175 123 886 08;
  • 31) 0,000 000 000 009 175 123 886 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 350 247 772 16;
  • 32) 0,000 000 000 018 350 247 772 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 700 495 544 32;
  • 33) 0,000 000 000 036 700 495 544 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 400 991 088 64;
  • 34) 0,000 000 000 073 400 991 088 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 801 982 177 28;
  • 35) 0,000 000 000 146 801 982 177 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 293 603 964 354 56;
  • 36) 0,000 000 000 293 603 964 354 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 587 207 928 709 12;
  • 37) 0,000 000 000 587 207 928 709 12 × 2 = 0 + 0,000 000 001 174 415 857 418 24;
  • 38) 0,000 000 001 174 415 857 418 24 × 2 = 0 + 0,000 000 002 348 831 714 836 48;
  • 39) 0,000 000 002 348 831 714 836 48 × 2 = 0 + 0,000 000 004 697 663 429 672 96;
  • 40) 0,000 000 004 697 663 429 672 96 × 2 = 0 + 0,000 000 009 395 326 859 345 92;
  • 41) 0,000 000 009 395 326 859 345 92 × 2 = 0 + 0,000 000 018 790 653 718 691 84;
  • 42) 0,000 000 018 790 653 718 691 84 × 2 = 0 + 0,000 000 037 581 307 437 383 68;
  • 43) 0,000 000 037 581 307 437 383 68 × 2 = 0 + 0,000 000 075 162 614 874 767 36;
  • 44) 0,000 000 075 162 614 874 767 36 × 2 = 0 + 0,000 000 150 325 229 749 534 72;
  • 45) 0,000 000 150 325 229 749 534 72 × 2 = 0 + 0,000 000 300 650 459 499 069 44;
  • 46) 0,000 000 300 650 459 499 069 44 × 2 = 0 + 0,000 000 601 300 918 998 138 88;
  • 47) 0,000 000 601 300 918 998 138 88 × 2 = 0 + 0,000 001 202 601 837 996 277 76;
  • 48) 0,000 001 202 601 837 996 277 76 × 2 = 0 + 0,000 002 405 203 675 992 555 52;
  • 49) 0,000 002 405 203 675 992 555 52 × 2 = 0 + 0,000 004 810 407 351 985 111 04;
  • 50) 0,000 004 810 407 351 985 111 04 × 2 = 0 + 0,000 009 620 814 703 970 222 08;
  • 51) 0,000 009 620 814 703 970 222 08 × 2 = 0 + 0,000 019 241 629 407 940 444 16;
  • 52) 0,000 019 241 629 407 940 444 16 × 2 = 0 + 0,000 038 483 258 815 880 888 32;
  • 53) 0,000 038 483 258 815 880 888 32 × 2 = 0 + 0,000 076 966 517 631 761 776 64;
  • 54) 0,000 076 966 517 631 761 776 64 × 2 = 0 + 0,000 153 933 035 263 523 553 28;
  • 55) 0,000 153 933 035 263 523 553 28 × 2 = 0 + 0,000 307 866 070 527 047 106 56;
  • 56) 0,000 307 866 070 527 047 106 56 × 2 = 0 + 0,000 615 732 141 054 094 213 12;
  • 57) 0,000 615 732 141 054 094 213 12 × 2 = 0 + 0,001 231 464 282 108 188 426 24;
  • 58) 0,001 231 464 282 108 188 426 24 × 2 = 0 + 0,002 462 928 564 216 376 852 48;
  • 59) 0,002 462 928 564 216 376 852 48 × 2 = 0 + 0,004 925 857 128 432 753 704 96;
  • 60) 0,004 925 857 128 432 753 704 96 × 2 = 0 + 0,009 851 714 256 865 507 409 92;
  • 61) 0,009 851 714 256 865 507 409 92 × 2 = 0 + 0,019 703 428 513 731 014 819 84;
  • 62) 0,019 703 428 513 731 014 819 84 × 2 = 0 + 0,039 406 857 027 462 029 639 68;
  • 63) 0,039 406 857 027 462 029 639 68 × 2 = 0 + 0,078 813 714 054 924 059 279 36;
  • 64) 0,078 813 714 054 924 059 279 36 × 2 = 0 + 0,157 627 428 109 848 118 558 72;
  • 65) 0,157 627 428 109 848 118 558 72 × 2 = 0 + 0,315 254 856 219 696 237 117 44;
  • 66) 0,315 254 856 219 696 237 117 44 × 2 = 0 + 0,630 509 712 439 392 474 234 88;
  • 67) 0,630 509 712 439 392 474 234 88 × 2 = 1 + 0,261 019 424 878 784 948 469 76;
  • 68) 0,261 019 424 878 784 948 469 76 × 2 = 0 + 0,522 038 849 757 569 896 939 52;
  • 69) 0,522 038 849 757 569 896 939 52 × 2 = 1 + 0,044 077 699 515 139 793 879 04;
  • 70) 0,044 077 699 515 139 793 879 04 × 2 = 0 + 0,088 155 399 030 279 587 758 08;
  • 71) 0,088 155 399 030 279 587 758 08 × 2 = 0 + 0,176 310 798 060 559 175 516 16;
  • 72) 0,176 310 798 060 559 175 516 16 × 2 = 0 + 0,352 621 596 121 118 351 032 32;
  • 73) 0,352 621 596 121 118 351 032 32 × 2 = 0 + 0,705 243 192 242 236 702 064 64;
  • 74) 0,705 243 192 242 236 702 064 64 × 2 = 1 + 0,410 486 384 484 473 404 129 28;
  • 75) 0,410 486 384 484 473 404 129 28 × 2 = 0 + 0,820 972 768 968 946 808 258 56;
  • 76) 0,820 972 768 968 946 808 258 56 × 2 = 1 + 0,641 945 537 937 893 616 517 12;
  • 77) 0,641 945 537 937 893 616 517 12 × 2 = 1 + 0,283 891 075 875 787 233 034 24;
  • 78) 0,283 891 075 875 787 233 034 24 × 2 = 0 + 0,567 782 151 751 574 466 068 48;
  • 79) 0,567 782 151 751 574 466 068 48 × 2 = 1 + 0,135 564 303 503 148 932 136 96;
  • 80) 0,135 564 303 503 148 932 136 96 × 2 = 0 + 0,271 128 607 006 297 864 273 92;
  • 81) 0,271 128 607 006 297 864 273 92 × 2 = 0 + 0,542 257 214 012 595 728 547 84;
  • 82) 0,542 257 214 012 595 728 547 84 × 2 = 1 + 0,084 514 428 025 191 457 095 68;
  • 83) 0,084 514 428 025 191 457 095 68 × 2 = 0 + 0,169 028 856 050 382 914 191 36;
  • 84) 0,169 028 856 050 382 914 191 36 × 2 = 0 + 0,338 057 712 100 765 828 382 72;
  • 85) 0,338 057 712 100 765 828 382 72 × 2 = 0 + 0,676 115 424 201 531 656 765 44;
  • 86) 0,676 115 424 201 531 656 765 44 × 2 = 1 + 0,352 230 848 403 063 313 530 88;
  • 87) 0,352 230 848 403 063 313 530 88 × 2 = 0 + 0,704 461 696 806 126 627 061 76;
  • 88) 0,704 461 696 806 126 627 061 76 × 2 = 1 + 0,408 923 393 612 253 254 123 52;
  • 89) 0,408 923 393 612 253 254 123 52 × 2 = 0 + 0,817 846 787 224 506 508 247 04;
  • 90) 0,817 846 787 224 506 508 247 04 × 2 = 1 + 0,635 693 574 449 013 016 494 08;
  • 91) 0,635 693 574 449 013 016 494 08 × 2 = 1 + 0,271 387 148 898 026 032 988 16;
  • 92) 0,271 387 148 898 026 032 988 16 × 2 = 0 + 0,542 774 297 796 052 065 976 32;
  • 93) 0,542 774 297 796 052 065 976 32 × 2 = 1 + 0,085 548 595 592 104 131 952 64;
  • 94) 0,085 548 595 592 104 131 952 64 × 2 = 0 + 0,171 097 191 184 208 263 905 28;
  • 95) 0,171 097 191 184 208 263 905 28 × 2 = 0 + 0,342 194 382 368 416 527 810 56;
  • 96) 0,342 194 382 368 416 527 810 56 × 2 = 0 + 0,684 388 764 736 833 055 621 12;
  • 97) 0,684 388 764 736 833 055 621 12 × 2 = 1 + 0,368 777 529 473 666 111 242 24;
  • 98) 0,368 777 529 473 666 111 242 24 × 2 = 0 + 0,737 555 058 947 332 222 484 48;
  • 99) 0,737 555 058 947 332 222 484 48 × 2 = 1 + 0,475 110 117 894 664 444 968 96;
  • 100) 0,475 110 117 894 664 444 968 96 × 2 = 0 + 0,950 220 235 789 328 889 937 92;
  • 101) 0,950 220 235 789 328 889 937 92 × 2 = 1 + 0,900 440 471 578 657 779 875 84;
  • 102) 0,900 440 471 578 657 779 875 84 × 2 = 1 + 0,800 880 943 157 315 559 751 68;
  • 103) 0,800 880 943 157 315 559 751 68 × 2 = 1 + 0,601 761 886 314 631 119 503 36;
  • 104) 0,601 761 886 314 631 119 503 36 × 2 = 1 + 0,203 523 772 629 262 239 006 72;
  • 105) 0,203 523 772 629 262 239 006 72 × 2 = 0 + 0,407 047 545 258 524 478 013 44;
  • 106) 0,407 047 545 258 524 478 013 44 × 2 = 0 + 0,814 095 090 517 048 956 026 88;
  • 107) 0,814 095 090 517 048 956 026 88 × 2 = 1 + 0,628 190 181 034 097 912 053 76;
  • 108) 0,628 190 181 034 097 912 053 76 × 2 = 1 + 0,256 380 362 068 195 824 107 52;
  • 109) 0,256 380 362 068 195 824 107 52 × 2 = 0 + 0,512 760 724 136 391 648 215 04;
  • 110) 0,512 760 724 136 391 648 215 04 × 2 = 1 + 0,025 521 448 272 783 296 430 08;
  • 111) 0,025 521 448 272 783 296 430 08 × 2 = 0 + 0,051 042 896 545 566 592 860 16;
  • 112) 0,051 042 896 545 566 592 860 16 × 2 = 0 + 0,102 085 793 091 133 185 720 32;
  • 113) 0,102 085 793 091 133 185 720 32 × 2 = 0 + 0,204 171 586 182 266 371 440 64;
  • 114) 0,204 171 586 182 266 371 440 64 × 2 = 0 + 0,408 343 172 364 532 742 881 28;
  • 115) 0,408 343 172 364 532 742 881 28 × 2 = 0 + 0,816 686 344 729 065 485 762 56;
  • 116) 0,816 686 344 729 065 485 762 56 × 2 = 1 + 0,633 372 689 458 130 971 525 12;
  • 117) 0,633 372 689 458 130 971 525 12 × 2 = 1 + 0,266 745 378 916 261 943 050 24;
  • 118) 0,266 745 378 916 261 943 050 24 × 2 = 0 + 0,533 490 757 832 523 886 100 48;
  • 119) 0,533 490 757 832 523 886 100 48 × 2 = 1 + 0,066 981 515 665 047 772 200 96;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 545(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 1010 0100 0101 0110 1000 1010 1111 0011 0100 0001 101(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 545(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 1010 0100 0101 0110 1000 1010 1111 0011 0100 0001 101(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 545(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 1010 0100 0101 0110 1000 1010 1111 0011 0100 0001 101(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 1010 0100 0101 0110 1000 1010 1111 0011 0100 0001 101(2) × 20 =

1,0100 0010 1101 0010 0010 1011 0100 0101 0111 1001 1010 0000 1101(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0010 1101 0010 0010 1011 0100 0101 0111 1001 1010 0000 1101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0010 1101 0010 0010 1011 0100 0101 0111 1001 1010 0000 1101 =

0100 0010 1101 0010 0010 1011 0100 0101 0111 1001 1010 0000 1101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0010 1101 0010 0010 1011 0100 0101 0111 1001 1010 0000 1101


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 545 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0010 1101 0010 0010 1011 0100 0101 0111 1001 1010 0000 1101

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 511 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100