0,000 000 000 000 000 000 008 584 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 584(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 584(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 584.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 168;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 336;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 672;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 137 344;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 137 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 274 688;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 274 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 549 376;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 549 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 098 752;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 098 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 197 504;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 197 504 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 395 008;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 395 008 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 790 016;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 790 016 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 580 032;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 580 032 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 035 160 064;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 035 160 064 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 070 320 128;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 070 320 128 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 140 640 256;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 140 640 256 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 281 280 512;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 281 280 512 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 562 561 024;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 562 561 024 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 125 122 048;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 125 122 048 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 250 244 096;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 250 244 096 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 500 488 192;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 500 488 192 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 009 000 976 384;
  • 21) 0,000 000 000 000 009 000 976 384 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 018 001 952 768;
  • 22) 0,000 000 000 000 018 001 952 768 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 036 003 905 536;
  • 23) 0,000 000 000 000 036 003 905 536 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 072 007 811 072;
  • 24) 0,000 000 000 000 072 007 811 072 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 144 015 622 144;
  • 25) 0,000 000 000 000 144 015 622 144 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 288 031 244 288;
  • 26) 0,000 000 000 000 288 031 244 288 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 576 062 488 576;
  • 27) 0,000 000 000 000 576 062 488 576 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 152 124 977 152;
  • 28) 0,000 000 000 001 152 124 977 152 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 304 249 954 304;
  • 29) 0,000 000 000 002 304 249 954 304 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 608 499 908 608;
  • 30) 0,000 000 000 004 608 499 908 608 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 216 999 817 216;
  • 31) 0,000 000 000 009 216 999 817 216 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 433 999 634 432;
  • 32) 0,000 000 000 018 433 999 634 432 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 867 999 268 864;
  • 33) 0,000 000 000 036 867 999 268 864 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 735 998 537 728;
  • 34) 0,000 000 000 073 735 998 537 728 × 2 = 0 + 0,000 000 000 147 471 997 075 456;
  • 35) 0,000 000 000 147 471 997 075 456 × 2 = 0 + 0,000 000 000 294 943 994 150 912;
  • 36) 0,000 000 000 294 943 994 150 912 × 2 = 0 + 0,000 000 000 589 887 988 301 824;
  • 37) 0,000 000 000 589 887 988 301 824 × 2 = 0 + 0,000 000 001 179 775 976 603 648;
  • 38) 0,000 000 001 179 775 976 603 648 × 2 = 0 + 0,000 000 002 359 551 953 207 296;
  • 39) 0,000 000 002 359 551 953 207 296 × 2 = 0 + 0,000 000 004 719 103 906 414 592;
  • 40) 0,000 000 004 719 103 906 414 592 × 2 = 0 + 0,000 000 009 438 207 812 829 184;
  • 41) 0,000 000 009 438 207 812 829 184 × 2 = 0 + 0,000 000 018 876 415 625 658 368;
  • 42) 0,000 000 018 876 415 625 658 368 × 2 = 0 + 0,000 000 037 752 831 251 316 736;
  • 43) 0,000 000 037 752 831 251 316 736 × 2 = 0 + 0,000 000 075 505 662 502 633 472;
  • 44) 0,000 000 075 505 662 502 633 472 × 2 = 0 + 0,000 000 151 011 325 005 266 944;
  • 45) 0,000 000 151 011 325 005 266 944 × 2 = 0 + 0,000 000 302 022 650 010 533 888;
  • 46) 0,000 000 302 022 650 010 533 888 × 2 = 0 + 0,000 000 604 045 300 021 067 776;
  • 47) 0,000 000 604 045 300 021 067 776 × 2 = 0 + 0,000 001 208 090 600 042 135 552;
  • 48) 0,000 001 208 090 600 042 135 552 × 2 = 0 + 0,000 002 416 181 200 084 271 104;
  • 49) 0,000 002 416 181 200 084 271 104 × 2 = 0 + 0,000 004 832 362 400 168 542 208;
  • 50) 0,000 004 832 362 400 168 542 208 × 2 = 0 + 0,000 009 664 724 800 337 084 416;
  • 51) 0,000 009 664 724 800 337 084 416 × 2 = 0 + 0,000 019 329 449 600 674 168 832;
  • 52) 0,000 019 329 449 600 674 168 832 × 2 = 0 + 0,000 038 658 899 201 348 337 664;
  • 53) 0,000 038 658 899 201 348 337 664 × 2 = 0 + 0,000 077 317 798 402 696 675 328;
  • 54) 0,000 077 317 798 402 696 675 328 × 2 = 0 + 0,000 154 635 596 805 393 350 656;
  • 55) 0,000 154 635 596 805 393 350 656 × 2 = 0 + 0,000 309 271 193 610 786 701 312;
  • 56) 0,000 309 271 193 610 786 701 312 × 2 = 0 + 0,000 618 542 387 221 573 402 624;
  • 57) 0,000 618 542 387 221 573 402 624 × 2 = 0 + 0,001 237 084 774 443 146 805 248;
  • 58) 0,001 237 084 774 443 146 805 248 × 2 = 0 + 0,002 474 169 548 886 293 610 496;
  • 59) 0,002 474 169 548 886 293 610 496 × 2 = 0 + 0,004 948 339 097 772 587 220 992;
  • 60) 0,004 948 339 097 772 587 220 992 × 2 = 0 + 0,009 896 678 195 545 174 441 984;
  • 61) 0,009 896 678 195 545 174 441 984 × 2 = 0 + 0,019 793 356 391 090 348 883 968;
  • 62) 0,019 793 356 391 090 348 883 968 × 2 = 0 + 0,039 586 712 782 180 697 767 936;
  • 63) 0,039 586 712 782 180 697 767 936 × 2 = 0 + 0,079 173 425 564 361 395 535 872;
  • 64) 0,079 173 425 564 361 395 535 872 × 2 = 0 + 0,158 346 851 128 722 791 071 744;
  • 65) 0,158 346 851 128 722 791 071 744 × 2 = 0 + 0,316 693 702 257 445 582 143 488;
  • 66) 0,316 693 702 257 445 582 143 488 × 2 = 0 + 0,633 387 404 514 891 164 286 976;
  • 67) 0,633 387 404 514 891 164 286 976 × 2 = 1 + 0,266 774 809 029 782 328 573 952;
  • 68) 0,266 774 809 029 782 328 573 952 × 2 = 0 + 0,533 549 618 059 564 657 147 904;
  • 69) 0,533 549 618 059 564 657 147 904 × 2 = 1 + 0,067 099 236 119 129 314 295 808;
  • 70) 0,067 099 236 119 129 314 295 808 × 2 = 0 + 0,134 198 472 238 258 628 591 616;
  • 71) 0,134 198 472 238 258 628 591 616 × 2 = 0 + 0,268 396 944 476 517 257 183 232;
  • 72) 0,268 396 944 476 517 257 183 232 × 2 = 0 + 0,536 793 888 953 034 514 366 464;
  • 73) 0,536 793 888 953 034 514 366 464 × 2 = 1 + 0,073 587 777 906 069 028 732 928;
  • 74) 0,073 587 777 906 069 028 732 928 × 2 = 0 + 0,147 175 555 812 138 057 465 856;
  • 75) 0,147 175 555 812 138 057 465 856 × 2 = 0 + 0,294 351 111 624 276 114 931 712;
  • 76) 0,294 351 111 624 276 114 931 712 × 2 = 0 + 0,588 702 223 248 552 229 863 424;
  • 77) 0,588 702 223 248 552 229 863 424 × 2 = 1 + 0,177 404 446 497 104 459 726 848;
  • 78) 0,177 404 446 497 104 459 726 848 × 2 = 0 + 0,354 808 892 994 208 919 453 696;
  • 79) 0,354 808 892 994 208 919 453 696 × 2 = 0 + 0,709 617 785 988 417 838 907 392;
  • 80) 0,709 617 785 988 417 838 907 392 × 2 = 1 + 0,419 235 571 976 835 677 814 784;
  • 81) 0,419 235 571 976 835 677 814 784 × 2 = 0 + 0,838 471 143 953 671 355 629 568;
  • 82) 0,838 471 143 953 671 355 629 568 × 2 = 1 + 0,676 942 287 907 342 711 259 136;
  • 83) 0,676 942 287 907 342 711 259 136 × 2 = 1 + 0,353 884 575 814 685 422 518 272;
  • 84) 0,353 884 575 814 685 422 518 272 × 2 = 0 + 0,707 769 151 629 370 845 036 544;
  • 85) 0,707 769 151 629 370 845 036 544 × 2 = 1 + 0,415 538 303 258 741 690 073 088;
  • 86) 0,415 538 303 258 741 690 073 088 × 2 = 0 + 0,831 076 606 517 483 380 146 176;
  • 87) 0,831 076 606 517 483 380 146 176 × 2 = 1 + 0,662 153 213 034 966 760 292 352;
  • 88) 0,662 153 213 034 966 760 292 352 × 2 = 1 + 0,324 306 426 069 933 520 584 704;
  • 89) 0,324 306 426 069 933 520 584 704 × 2 = 0 + 0,648 612 852 139 867 041 169 408;
  • 90) 0,648 612 852 139 867 041 169 408 × 2 = 1 + 0,297 225 704 279 734 082 338 816;
  • 91) 0,297 225 704 279 734 082 338 816 × 2 = 0 + 0,594 451 408 559 468 164 677 632;
  • 92) 0,594 451 408 559 468 164 677 632 × 2 = 1 + 0,188 902 817 118 936 329 355 264;
  • 93) 0,188 902 817 118 936 329 355 264 × 2 = 0 + 0,377 805 634 237 872 658 710 528;
  • 94) 0,377 805 634 237 872 658 710 528 × 2 = 0 + 0,755 611 268 475 745 317 421 056;
  • 95) 0,755 611 268 475 745 317 421 056 × 2 = 1 + 0,511 222 536 951 490 634 842 112;
  • 96) 0,511 222 536 951 490 634 842 112 × 2 = 1 + 0,022 445 073 902 981 269 684 224;
  • 97) 0,022 445 073 902 981 269 684 224 × 2 = 0 + 0,044 890 147 805 962 539 368 448;
  • 98) 0,044 890 147 805 962 539 368 448 × 2 = 0 + 0,089 780 295 611 925 078 736 896;
  • 99) 0,089 780 295 611 925 078 736 896 × 2 = 0 + 0,179 560 591 223 850 157 473 792;
  • 100) 0,179 560 591 223 850 157 473 792 × 2 = 0 + 0,359 121 182 447 700 314 947 584;
  • 101) 0,359 121 182 447 700 314 947 584 × 2 = 0 + 0,718 242 364 895 400 629 895 168;
  • 102) 0,718 242 364 895 400 629 895 168 × 2 = 1 + 0,436 484 729 790 801 259 790 336;
  • 103) 0,436 484 729 790 801 259 790 336 × 2 = 0 + 0,872 969 459 581 602 519 580 672;
  • 104) 0,872 969 459 581 602 519 580 672 × 2 = 1 + 0,745 938 919 163 205 039 161 344;
  • 105) 0,745 938 919 163 205 039 161 344 × 2 = 1 + 0,491 877 838 326 410 078 322 688;
  • 106) 0,491 877 838 326 410 078 322 688 × 2 = 0 + 0,983 755 676 652 820 156 645 376;
  • 107) 0,983 755 676 652 820 156 645 376 × 2 = 1 + 0,967 511 353 305 640 313 290 752;
  • 108) 0,967 511 353 305 640 313 290 752 × 2 = 1 + 0,935 022 706 611 280 626 581 504;
  • 109) 0,935 022 706 611 280 626 581 504 × 2 = 1 + 0,870 045 413 222 561 253 163 008;
  • 110) 0,870 045 413 222 561 253 163 008 × 2 = 1 + 0,740 090 826 445 122 506 326 016;
  • 111) 0,740 090 826 445 122 506 326 016 × 2 = 1 + 0,480 181 652 890 245 012 652 032;
  • 112) 0,480 181 652 890 245 012 652 032 × 2 = 0 + 0,960 363 305 780 490 025 304 064;
  • 113) 0,960 363 305 780 490 025 304 064 × 2 = 1 + 0,920 726 611 560 980 050 608 128;
  • 114) 0,920 726 611 560 980 050 608 128 × 2 = 1 + 0,841 453 223 121 960 101 216 256;
  • 115) 0,841 453 223 121 960 101 216 256 × 2 = 1 + 0,682 906 446 243 920 202 432 512;
  • 116) 0,682 906 446 243 920 202 432 512 × 2 = 1 + 0,365 812 892 487 840 404 865 024;
  • 117) 0,365 812 892 487 840 404 865 024 × 2 = 0 + 0,731 625 784 975 680 809 730 048;
  • 118) 0,731 625 784 975 680 809 730 048 × 2 = 1 + 0,463 251 569 951 361 619 460 096;
  • 119) 0,463 251 569 951 361 619 460 096 × 2 = 0 + 0,926 503 139 902 723 238 920 192;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 584(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1000 1001 0110 1011 0101 0011 0000 0101 1011 1110 1111 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 584(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1000 1001 0110 1011 0101 0011 0000 0101 1011 1110 1111 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 584(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1000 1001 0110 1011 0101 0011 0000 0101 1011 1110 1111 010(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1000 1001 0110 1011 0101 0011 0000 0101 1011 1110 1111 010(2) × 20 =

1,0100 0100 0100 1011 0101 1010 1001 1000 0010 1101 1111 0111 1010(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0100 0100 1011 0101 1010 1001 1000 0010 1101 1111 0111 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0100 0100 1011 0101 1010 1001 1000 0010 1101 1111 0111 1010 =

0100 0100 0100 1011 0101 1010 1001 1000 0010 1101 1111 0111 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0100 0100 1011 0101 1010 1001 1000 0010 1101 1111 0111 1010


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 584 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0100 0100 1011 0101 1010 1001 1000 0010 1101 1111 0111 1010

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 554 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100