0,000 000 000 000 000 000 008 589 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 589(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 589(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 589.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 589 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 178;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 178 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 356;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 356 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 712;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 712 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 137 424;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 137 424 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 274 848;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 274 848 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 549 696;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 549 696 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 099 392;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 099 392 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 198 784;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 198 784 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 397 568;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 397 568 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 795 136;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 795 136 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 590 272;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 590 272 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 035 180 544;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 035 180 544 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 070 361 088;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 070 361 088 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 140 722 176;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 140 722 176 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 281 444 352;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 281 444 352 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 562 888 704;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 562 888 704 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 125 777 408;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 125 777 408 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 251 554 816;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 251 554 816 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 503 109 632;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 503 109 632 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 009 006 219 264;
  • 21) 0,000 000 000 000 009 006 219 264 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 018 012 438 528;
  • 22) 0,000 000 000 000 018 012 438 528 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 036 024 877 056;
  • 23) 0,000 000 000 000 036 024 877 056 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 072 049 754 112;
  • 24) 0,000 000 000 000 072 049 754 112 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 144 099 508 224;
  • 25) 0,000 000 000 000 144 099 508 224 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 288 199 016 448;
  • 26) 0,000 000 000 000 288 199 016 448 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 576 398 032 896;
  • 27) 0,000 000 000 000 576 398 032 896 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 152 796 065 792;
  • 28) 0,000 000 000 001 152 796 065 792 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 305 592 131 584;
  • 29) 0,000 000 000 002 305 592 131 584 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 611 184 263 168;
  • 30) 0,000 000 000 004 611 184 263 168 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 222 368 526 336;
  • 31) 0,000 000 000 009 222 368 526 336 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 444 737 052 672;
  • 32) 0,000 000 000 018 444 737 052 672 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 889 474 105 344;
  • 33) 0,000 000 000 036 889 474 105 344 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 778 948 210 688;
  • 34) 0,000 000 000 073 778 948 210 688 × 2 = 0 + 0,000 000 000 147 557 896 421 376;
  • 35) 0,000 000 000 147 557 896 421 376 × 2 = 0 + 0,000 000 000 295 115 792 842 752;
  • 36) 0,000 000 000 295 115 792 842 752 × 2 = 0 + 0,000 000 000 590 231 585 685 504;
  • 37) 0,000 000 000 590 231 585 685 504 × 2 = 0 + 0,000 000 001 180 463 171 371 008;
  • 38) 0,000 000 001 180 463 171 371 008 × 2 = 0 + 0,000 000 002 360 926 342 742 016;
  • 39) 0,000 000 002 360 926 342 742 016 × 2 = 0 + 0,000 000 004 721 852 685 484 032;
  • 40) 0,000 000 004 721 852 685 484 032 × 2 = 0 + 0,000 000 009 443 705 370 968 064;
  • 41) 0,000 000 009 443 705 370 968 064 × 2 = 0 + 0,000 000 018 887 410 741 936 128;
  • 42) 0,000 000 018 887 410 741 936 128 × 2 = 0 + 0,000 000 037 774 821 483 872 256;
  • 43) 0,000 000 037 774 821 483 872 256 × 2 = 0 + 0,000 000 075 549 642 967 744 512;
  • 44) 0,000 000 075 549 642 967 744 512 × 2 = 0 + 0,000 000 151 099 285 935 489 024;
  • 45) 0,000 000 151 099 285 935 489 024 × 2 = 0 + 0,000 000 302 198 571 870 978 048;
  • 46) 0,000 000 302 198 571 870 978 048 × 2 = 0 + 0,000 000 604 397 143 741 956 096;
  • 47) 0,000 000 604 397 143 741 956 096 × 2 = 0 + 0,000 001 208 794 287 483 912 192;
  • 48) 0,000 001 208 794 287 483 912 192 × 2 = 0 + 0,000 002 417 588 574 967 824 384;
  • 49) 0,000 002 417 588 574 967 824 384 × 2 = 0 + 0,000 004 835 177 149 935 648 768;
  • 50) 0,000 004 835 177 149 935 648 768 × 2 = 0 + 0,000 009 670 354 299 871 297 536;
  • 51) 0,000 009 670 354 299 871 297 536 × 2 = 0 + 0,000 019 340 708 599 742 595 072;
  • 52) 0,000 019 340 708 599 742 595 072 × 2 = 0 + 0,000 038 681 417 199 485 190 144;
  • 53) 0,000 038 681 417 199 485 190 144 × 2 = 0 + 0,000 077 362 834 398 970 380 288;
  • 54) 0,000 077 362 834 398 970 380 288 × 2 = 0 + 0,000 154 725 668 797 940 760 576;
  • 55) 0,000 154 725 668 797 940 760 576 × 2 = 0 + 0,000 309 451 337 595 881 521 152;
  • 56) 0,000 309 451 337 595 881 521 152 × 2 = 0 + 0,000 618 902 675 191 763 042 304;
  • 57) 0,000 618 902 675 191 763 042 304 × 2 = 0 + 0,001 237 805 350 383 526 084 608;
  • 58) 0,001 237 805 350 383 526 084 608 × 2 = 0 + 0,002 475 610 700 767 052 169 216;
  • 59) 0,002 475 610 700 767 052 169 216 × 2 = 0 + 0,004 951 221 401 534 104 338 432;
  • 60) 0,004 951 221 401 534 104 338 432 × 2 = 0 + 0,009 902 442 803 068 208 676 864;
  • 61) 0,009 902 442 803 068 208 676 864 × 2 = 0 + 0,019 804 885 606 136 417 353 728;
  • 62) 0,019 804 885 606 136 417 353 728 × 2 = 0 + 0,039 609 771 212 272 834 707 456;
  • 63) 0,039 609 771 212 272 834 707 456 × 2 = 0 + 0,079 219 542 424 545 669 414 912;
  • 64) 0,079 219 542 424 545 669 414 912 × 2 = 0 + 0,158 439 084 849 091 338 829 824;
  • 65) 0,158 439 084 849 091 338 829 824 × 2 = 0 + 0,316 878 169 698 182 677 659 648;
  • 66) 0,316 878 169 698 182 677 659 648 × 2 = 0 + 0,633 756 339 396 365 355 319 296;
  • 67) 0,633 756 339 396 365 355 319 296 × 2 = 1 + 0,267 512 678 792 730 710 638 592;
  • 68) 0,267 512 678 792 730 710 638 592 × 2 = 0 + 0,535 025 357 585 461 421 277 184;
  • 69) 0,535 025 357 585 461 421 277 184 × 2 = 1 + 0,070 050 715 170 922 842 554 368;
  • 70) 0,070 050 715 170 922 842 554 368 × 2 = 0 + 0,140 101 430 341 845 685 108 736;
  • 71) 0,140 101 430 341 845 685 108 736 × 2 = 0 + 0,280 202 860 683 691 370 217 472;
  • 72) 0,280 202 860 683 691 370 217 472 × 2 = 0 + 0,560 405 721 367 382 740 434 944;
  • 73) 0,560 405 721 367 382 740 434 944 × 2 = 1 + 0,120 811 442 734 765 480 869 888;
  • 74) 0,120 811 442 734 765 480 869 888 × 2 = 0 + 0,241 622 885 469 530 961 739 776;
  • 75) 0,241 622 885 469 530 961 739 776 × 2 = 0 + 0,483 245 770 939 061 923 479 552;
  • 76) 0,483 245 770 939 061 923 479 552 × 2 = 0 + 0,966 491 541 878 123 846 959 104;
  • 77) 0,966 491 541 878 123 846 959 104 × 2 = 1 + 0,932 983 083 756 247 693 918 208;
  • 78) 0,932 983 083 756 247 693 918 208 × 2 = 1 + 0,865 966 167 512 495 387 836 416;
  • 79) 0,865 966 167 512 495 387 836 416 × 2 = 1 + 0,731 932 335 024 990 775 672 832;
  • 80) 0,731 932 335 024 990 775 672 832 × 2 = 1 + 0,463 864 670 049 981 551 345 664;
  • 81) 0,463 864 670 049 981 551 345 664 × 2 = 0 + 0,927 729 340 099 963 102 691 328;
  • 82) 0,927 729 340 099 963 102 691 328 × 2 = 1 + 0,855 458 680 199 926 205 382 656;
  • 83) 0,855 458 680 199 926 205 382 656 × 2 = 1 + 0,710 917 360 399 852 410 765 312;
  • 84) 0,710 917 360 399 852 410 765 312 × 2 = 1 + 0,421 834 720 799 704 821 530 624;
  • 85) 0,421 834 720 799 704 821 530 624 × 2 = 0 + 0,843 669 441 599 409 643 061 248;
  • 86) 0,843 669 441 599 409 643 061 248 × 2 = 1 + 0,687 338 883 198 819 286 122 496;
  • 87) 0,687 338 883 198 819 286 122 496 × 2 = 1 + 0,374 677 766 397 638 572 244 992;
  • 88) 0,374 677 766 397 638 572 244 992 × 2 = 0 + 0,749 355 532 795 277 144 489 984;
  • 89) 0,749 355 532 795 277 144 489 984 × 2 = 1 + 0,498 711 065 590 554 288 979 968;
  • 90) 0,498 711 065 590 554 288 979 968 × 2 = 0 + 0,997 422 131 181 108 577 959 936;
  • 91) 0,997 422 131 181 108 577 959 936 × 2 = 1 + 0,994 844 262 362 217 155 919 872;
  • 92) 0,994 844 262 362 217 155 919 872 × 2 = 1 + 0,989 688 524 724 434 311 839 744;
  • 93) 0,989 688 524 724 434 311 839 744 × 2 = 1 + 0,979 377 049 448 868 623 679 488;
  • 94) 0,979 377 049 448 868 623 679 488 × 2 = 1 + 0,958 754 098 897 737 247 358 976;
  • 95) 0,958 754 098 897 737 247 358 976 × 2 = 1 + 0,917 508 197 795 474 494 717 952;
  • 96) 0,917 508 197 795 474 494 717 952 × 2 = 1 + 0,835 016 395 590 948 989 435 904;
  • 97) 0,835 016 395 590 948 989 435 904 × 2 = 1 + 0,670 032 791 181 897 978 871 808;
  • 98) 0,670 032 791 181 897 978 871 808 × 2 = 1 + 0,340 065 582 363 795 957 743 616;
  • 99) 0,340 065 582 363 795 957 743 616 × 2 = 0 + 0,680 131 164 727 591 915 487 232;
  • 100) 0,680 131 164 727 591 915 487 232 × 2 = 1 + 0,360 262 329 455 183 830 974 464;
  • 101) 0,360 262 329 455 183 830 974 464 × 2 = 0 + 0,720 524 658 910 367 661 948 928;
  • 102) 0,720 524 658 910 367 661 948 928 × 2 = 1 + 0,441 049 317 820 735 323 897 856;
  • 103) 0,441 049 317 820 735 323 897 856 × 2 = 0 + 0,882 098 635 641 470 647 795 712;
  • 104) 0,882 098 635 641 470 647 795 712 × 2 = 1 + 0,764 197 271 282 941 295 591 424;
  • 105) 0,764 197 271 282 941 295 591 424 × 2 = 1 + 0,528 394 542 565 882 591 182 848;
  • 106) 0,528 394 542 565 882 591 182 848 × 2 = 1 + 0,056 789 085 131 765 182 365 696;
  • 107) 0,056 789 085 131 765 182 365 696 × 2 = 0 + 0,113 578 170 263 530 364 731 392;
  • 108) 0,113 578 170 263 530 364 731 392 × 2 = 0 + 0,227 156 340 527 060 729 462 784;
  • 109) 0,227 156 340 527 060 729 462 784 × 2 = 0 + 0,454 312 681 054 121 458 925 568;
  • 110) 0,454 312 681 054 121 458 925 568 × 2 = 0 + 0,908 625 362 108 242 917 851 136;
  • 111) 0,908 625 362 108 242 917 851 136 × 2 = 1 + 0,817 250 724 216 485 835 702 272;
  • 112) 0,817 250 724 216 485 835 702 272 × 2 = 1 + 0,634 501 448 432 971 671 404 544;
  • 113) 0,634 501 448 432 971 671 404 544 × 2 = 1 + 0,269 002 896 865 943 342 809 088;
  • 114) 0,269 002 896 865 943 342 809 088 × 2 = 0 + 0,538 005 793 731 886 685 618 176;
  • 115) 0,538 005 793 731 886 685 618 176 × 2 = 1 + 0,076 011 587 463 773 371 236 352;
  • 116) 0,076 011 587 463 773 371 236 352 × 2 = 0 + 0,152 023 174 927 546 742 472 704;
  • 117) 0,152 023 174 927 546 742 472 704 × 2 = 0 + 0,304 046 349 855 093 484 945 408;
  • 118) 0,304 046 349 855 093 484 945 408 × 2 = 0 + 0,608 092 699 710 186 969 890 816;
  • 119) 0,608 092 699 710 186 969 890 816 × 2 = 1 + 0,216 185 399 420 373 939 781 632;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 589(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1000 1111 0111 0110 1011 1111 1101 0101 1100 0011 1010 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 589(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1000 1111 0111 0110 1011 1111 1101 0101 1100 0011 1010 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 589(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1000 1111 0111 0110 1011 1111 1101 0101 1100 0011 1010 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1000 1111 0111 0110 1011 1111 1101 0101 1100 0011 1010 001(2) × 20 =

1,0100 0100 0111 1011 1011 0101 1111 1110 1010 1110 0001 1101 0001(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0100 0111 1011 1011 0101 1111 1110 1010 1110 0001 1101 0001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0100 0111 1011 1011 0101 1111 1110 1010 1110 0001 1101 0001 =

0100 0100 0111 1011 1011 0101 1111 1110 1010 1110 0001 1101 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0100 0111 1011 1011 0101 1111 1110 1010 1110 0001 1101 0001


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 589 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0100 0111 1011 1011 0101 1111 1110 1010 1110 0001 1101 0001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 585 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100