0,000 000 000 000 000 000 008 641 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 641(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 641(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 641.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 641 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 282;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 282 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 564;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 564 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 069 128;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 069 128 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 138 256;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 138 256 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 276 512;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 276 512 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 553 024;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 553 024 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 106 048;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 106 048 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 212 096;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 212 096 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 424 192;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 424 192 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 848 384;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 848 384 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 696 768;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 696 768 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 035 393 536;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 035 393 536 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 070 787 072;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 070 787 072 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 141 574 144;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 141 574 144 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 283 148 288;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 283 148 288 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 566 296 576;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 566 296 576 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 132 593 152;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 132 593 152 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 265 186 304;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 265 186 304 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 530 372 608;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 530 372 608 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 009 060 745 216;
  • 21) 0,000 000 000 000 009 060 745 216 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 018 121 490 432;
  • 22) 0,000 000 000 000 018 121 490 432 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 036 242 980 864;
  • 23) 0,000 000 000 000 036 242 980 864 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 072 485 961 728;
  • 24) 0,000 000 000 000 072 485 961 728 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 144 971 923 456;
  • 25) 0,000 000 000 000 144 971 923 456 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 289 943 846 912;
  • 26) 0,000 000 000 000 289 943 846 912 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 579 887 693 824;
  • 27) 0,000 000 000 000 579 887 693 824 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 159 775 387 648;
  • 28) 0,000 000 000 001 159 775 387 648 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 319 550 775 296;
  • 29) 0,000 000 000 002 319 550 775 296 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 639 101 550 592;
  • 30) 0,000 000 000 004 639 101 550 592 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 278 203 101 184;
  • 31) 0,000 000 000 009 278 203 101 184 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 556 406 202 368;
  • 32) 0,000 000 000 018 556 406 202 368 × 2 = 0 + 0,000 000 000 037 112 812 404 736;
  • 33) 0,000 000 000 037 112 812 404 736 × 2 = 0 + 0,000 000 000 074 225 624 809 472;
  • 34) 0,000 000 000 074 225 624 809 472 × 2 = 0 + 0,000 000 000 148 451 249 618 944;
  • 35) 0,000 000 000 148 451 249 618 944 × 2 = 0 + 0,000 000 000 296 902 499 237 888;
  • 36) 0,000 000 000 296 902 499 237 888 × 2 = 0 + 0,000 000 000 593 804 998 475 776;
  • 37) 0,000 000 000 593 804 998 475 776 × 2 = 0 + 0,000 000 001 187 609 996 951 552;
  • 38) 0,000 000 001 187 609 996 951 552 × 2 = 0 + 0,000 000 002 375 219 993 903 104;
  • 39) 0,000 000 002 375 219 993 903 104 × 2 = 0 + 0,000 000 004 750 439 987 806 208;
  • 40) 0,000 000 004 750 439 987 806 208 × 2 = 0 + 0,000 000 009 500 879 975 612 416;
  • 41) 0,000 000 009 500 879 975 612 416 × 2 = 0 + 0,000 000 019 001 759 951 224 832;
  • 42) 0,000 000 019 001 759 951 224 832 × 2 = 0 + 0,000 000 038 003 519 902 449 664;
  • 43) 0,000 000 038 003 519 902 449 664 × 2 = 0 + 0,000 000 076 007 039 804 899 328;
  • 44) 0,000 000 076 007 039 804 899 328 × 2 = 0 + 0,000 000 152 014 079 609 798 656;
  • 45) 0,000 000 152 014 079 609 798 656 × 2 = 0 + 0,000 000 304 028 159 219 597 312;
  • 46) 0,000 000 304 028 159 219 597 312 × 2 = 0 + 0,000 000 608 056 318 439 194 624;
  • 47) 0,000 000 608 056 318 439 194 624 × 2 = 0 + 0,000 001 216 112 636 878 389 248;
  • 48) 0,000 001 216 112 636 878 389 248 × 2 = 0 + 0,000 002 432 225 273 756 778 496;
  • 49) 0,000 002 432 225 273 756 778 496 × 2 = 0 + 0,000 004 864 450 547 513 556 992;
  • 50) 0,000 004 864 450 547 513 556 992 × 2 = 0 + 0,000 009 728 901 095 027 113 984;
  • 51) 0,000 009 728 901 095 027 113 984 × 2 = 0 + 0,000 019 457 802 190 054 227 968;
  • 52) 0,000 019 457 802 190 054 227 968 × 2 = 0 + 0,000 038 915 604 380 108 455 936;
  • 53) 0,000 038 915 604 380 108 455 936 × 2 = 0 + 0,000 077 831 208 760 216 911 872;
  • 54) 0,000 077 831 208 760 216 911 872 × 2 = 0 + 0,000 155 662 417 520 433 823 744;
  • 55) 0,000 155 662 417 520 433 823 744 × 2 = 0 + 0,000 311 324 835 040 867 647 488;
  • 56) 0,000 311 324 835 040 867 647 488 × 2 = 0 + 0,000 622 649 670 081 735 294 976;
  • 57) 0,000 622 649 670 081 735 294 976 × 2 = 0 + 0,001 245 299 340 163 470 589 952;
  • 58) 0,001 245 299 340 163 470 589 952 × 2 = 0 + 0,002 490 598 680 326 941 179 904;
  • 59) 0,002 490 598 680 326 941 179 904 × 2 = 0 + 0,004 981 197 360 653 882 359 808;
  • 60) 0,004 981 197 360 653 882 359 808 × 2 = 0 + 0,009 962 394 721 307 764 719 616;
  • 61) 0,009 962 394 721 307 764 719 616 × 2 = 0 + 0,019 924 789 442 615 529 439 232;
  • 62) 0,019 924 789 442 615 529 439 232 × 2 = 0 + 0,039 849 578 885 231 058 878 464;
  • 63) 0,039 849 578 885 231 058 878 464 × 2 = 0 + 0,079 699 157 770 462 117 756 928;
  • 64) 0,079 699 157 770 462 117 756 928 × 2 = 0 + 0,159 398 315 540 924 235 513 856;
  • 65) 0,159 398 315 540 924 235 513 856 × 2 = 0 + 0,318 796 631 081 848 471 027 712;
  • 66) 0,318 796 631 081 848 471 027 712 × 2 = 0 + 0,637 593 262 163 696 942 055 424;
  • 67) 0,637 593 262 163 696 942 055 424 × 2 = 1 + 0,275 186 524 327 393 884 110 848;
  • 68) 0,275 186 524 327 393 884 110 848 × 2 = 0 + 0,550 373 048 654 787 768 221 696;
  • 69) 0,550 373 048 654 787 768 221 696 × 2 = 1 + 0,100 746 097 309 575 536 443 392;
  • 70) 0,100 746 097 309 575 536 443 392 × 2 = 0 + 0,201 492 194 619 151 072 886 784;
  • 71) 0,201 492 194 619 151 072 886 784 × 2 = 0 + 0,402 984 389 238 302 145 773 568;
  • 72) 0,402 984 389 238 302 145 773 568 × 2 = 0 + 0,805 968 778 476 604 291 547 136;
  • 73) 0,805 968 778 476 604 291 547 136 × 2 = 1 + 0,611 937 556 953 208 583 094 272;
  • 74) 0,611 937 556 953 208 583 094 272 × 2 = 1 + 0,223 875 113 906 417 166 188 544;
  • 75) 0,223 875 113 906 417 166 188 544 × 2 = 0 + 0,447 750 227 812 834 332 377 088;
  • 76) 0,447 750 227 812 834 332 377 088 × 2 = 0 + 0,895 500 455 625 668 664 754 176;
  • 77) 0,895 500 455 625 668 664 754 176 × 2 = 1 + 0,791 000 911 251 337 329 508 352;
  • 78) 0,791 000 911 251 337 329 508 352 × 2 = 1 + 0,582 001 822 502 674 659 016 704;
  • 79) 0,582 001 822 502 674 659 016 704 × 2 = 1 + 0,164 003 645 005 349 318 033 408;
  • 80) 0,164 003 645 005 349 318 033 408 × 2 = 0 + 0,328 007 290 010 698 636 066 816;
  • 81) 0,328 007 290 010 698 636 066 816 × 2 = 0 + 0,656 014 580 021 397 272 133 632;
  • 82) 0,656 014 580 021 397 272 133 632 × 2 = 1 + 0,312 029 160 042 794 544 267 264;
  • 83) 0,312 029 160 042 794 544 267 264 × 2 = 0 + 0,624 058 320 085 589 088 534 528;
  • 84) 0,624 058 320 085 589 088 534 528 × 2 = 1 + 0,248 116 640 171 178 177 069 056;
  • 85) 0,248 116 640 171 178 177 069 056 × 2 = 0 + 0,496 233 280 342 356 354 138 112;
  • 86) 0,496 233 280 342 356 354 138 112 × 2 = 0 + 0,992 466 560 684 712 708 276 224;
  • 87) 0,992 466 560 684 712 708 276 224 × 2 = 1 + 0,984 933 121 369 425 416 552 448;
  • 88) 0,984 933 121 369 425 416 552 448 × 2 = 1 + 0,969 866 242 738 850 833 104 896;
  • 89) 0,969 866 242 738 850 833 104 896 × 2 = 1 + 0,939 732 485 477 701 666 209 792;
  • 90) 0,939 732 485 477 701 666 209 792 × 2 = 1 + 0,879 464 970 955 403 332 419 584;
  • 91) 0,879 464 970 955 403 332 419 584 × 2 = 1 + 0,758 929 941 910 806 664 839 168;
  • 92) 0,758 929 941 910 806 664 839 168 × 2 = 1 + 0,517 859 883 821 613 329 678 336;
  • 93) 0,517 859 883 821 613 329 678 336 × 2 = 1 + 0,035 719 767 643 226 659 356 672;
  • 94) 0,035 719 767 643 226 659 356 672 × 2 = 0 + 0,071 439 535 286 453 318 713 344;
  • 95) 0,071 439 535 286 453 318 713 344 × 2 = 0 + 0,142 879 070 572 906 637 426 688;
  • 96) 0,142 879 070 572 906 637 426 688 × 2 = 0 + 0,285 758 141 145 813 274 853 376;
  • 97) 0,285 758 141 145 813 274 853 376 × 2 = 0 + 0,571 516 282 291 626 549 706 752;
  • 98) 0,571 516 282 291 626 549 706 752 × 2 = 1 + 0,143 032 564 583 253 099 413 504;
  • 99) 0,143 032 564 583 253 099 413 504 × 2 = 0 + 0,286 065 129 166 506 198 827 008;
  • 100) 0,286 065 129 166 506 198 827 008 × 2 = 0 + 0,572 130 258 333 012 397 654 016;
  • 101) 0,572 130 258 333 012 397 654 016 × 2 = 1 + 0,144 260 516 666 024 795 308 032;
  • 102) 0,144 260 516 666 024 795 308 032 × 2 = 0 + 0,288 521 033 332 049 590 616 064;
  • 103) 0,288 521 033 332 049 590 616 064 × 2 = 0 + 0,577 042 066 664 099 181 232 128;
  • 104) 0,577 042 066 664 099 181 232 128 × 2 = 1 + 0,154 084 133 328 198 362 464 256;
  • 105) 0,154 084 133 328 198 362 464 256 × 2 = 0 + 0,308 168 266 656 396 724 928 512;
  • 106) 0,308 168 266 656 396 724 928 512 × 2 = 0 + 0,616 336 533 312 793 449 857 024;
  • 107) 0,616 336 533 312 793 449 857 024 × 2 = 1 + 0,232 673 066 625 586 899 714 048;
  • 108) 0,232 673 066 625 586 899 714 048 × 2 = 0 + 0,465 346 133 251 173 799 428 096;
  • 109) 0,465 346 133 251 173 799 428 096 × 2 = 0 + 0,930 692 266 502 347 598 856 192;
  • 110) 0,930 692 266 502 347 598 856 192 × 2 = 1 + 0,861 384 533 004 695 197 712 384;
  • 111) 0,861 384 533 004 695 197 712 384 × 2 = 1 + 0,722 769 066 009 390 395 424 768;
  • 112) 0,722 769 066 009 390 395 424 768 × 2 = 1 + 0,445 538 132 018 780 790 849 536;
  • 113) 0,445 538 132 018 780 790 849 536 × 2 = 0 + 0,891 076 264 037 561 581 699 072;
  • 114) 0,891 076 264 037 561 581 699 072 × 2 = 1 + 0,782 152 528 075 123 163 398 144;
  • 115) 0,782 152 528 075 123 163 398 144 × 2 = 1 + 0,564 305 056 150 246 326 796 288;
  • 116) 0,564 305 056 150 246 326 796 288 × 2 = 1 + 0,128 610 112 300 492 653 592 576;
  • 117) 0,128 610 112 300 492 653 592 576 × 2 = 0 + 0,257 220 224 600 985 307 185 152;
  • 118) 0,257 220 224 600 985 307 185 152 × 2 = 0 + 0,514 440 449 201 970 614 370 304;
  • 119) 0,514 440 449 201 970 614 370 304 × 2 = 1 + 0,028 880 898 403 941 228 740 608;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 641(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1100 1110 0101 0011 1111 1000 0100 1001 0010 0111 0111 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 641(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1100 1110 0101 0011 1111 1000 0100 1001 0010 0111 0111 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 641(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1100 1110 0101 0011 1111 1000 0100 1001 0010 0111 0111 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 1100 1110 0101 0011 1111 1000 0100 1001 0010 0111 0111 001(2) × 20 =

1,0100 0110 0111 0010 1001 1111 1100 0010 0100 1001 0011 1011 1001(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0110 0111 0010 1001 1111 1100 0010 0100 1001 0011 1011 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0110 0111 0010 1001 1111 1100 0010 0100 1001 0011 1011 1001 =

0100 0110 0111 0010 1001 1111 1100 0010 0100 1001 0011 1011 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0110 0111 0010 1001 1111 1100 0010 0100 1001 0011 1011 1001


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 641 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0110 0111 0010 1001 1111 1100 0010 0100 1001 0011 1011 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 595 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100