0,000 000 000 000 000 000 008 73 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 73(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 73(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 73.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 73 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 46;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 46 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 92;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 069 84;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 069 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 139 68;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 139 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 279 36;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 279 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 558 72;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 558 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 117 44;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 117 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 234 88;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 234 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 469 76;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 469 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 939 52;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 939 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 879 04;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 879 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 035 758 08;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 035 758 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 071 516 16;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 071 516 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 143 032 32;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 143 032 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 286 064 64;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 286 064 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 572 129 28;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 572 129 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 144 258 56;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 144 258 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 288 517 12;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 288 517 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 577 034 24;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 577 034 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 009 154 068 48;
  • 21) 0,000 000 000 000 009 154 068 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 018 308 136 96;
  • 22) 0,000 000 000 000 018 308 136 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 036 616 273 92;
  • 23) 0,000 000 000 000 036 616 273 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 073 232 547 84;
  • 24) 0,000 000 000 000 073 232 547 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 146 465 095 68;
  • 25) 0,000 000 000 000 146 465 095 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 292 930 191 36;
  • 26) 0,000 000 000 000 292 930 191 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 585 860 382 72;
  • 27) 0,000 000 000 000 585 860 382 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 171 720 765 44;
  • 28) 0,000 000 000 001 171 720 765 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 343 441 530 88;
  • 29) 0,000 000 000 002 343 441 530 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 686 883 061 76;
  • 30) 0,000 000 000 004 686 883 061 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 373 766 123 52;
  • 31) 0,000 000 000 009 373 766 123 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 747 532 247 04;
  • 32) 0,000 000 000 018 747 532 247 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 037 495 064 494 08;
  • 33) 0,000 000 000 037 495 064 494 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 074 990 128 988 16;
  • 34) 0,000 000 000 074 990 128 988 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 149 980 257 976 32;
  • 35) 0,000 000 000 149 980 257 976 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 299 960 515 952 64;
  • 36) 0,000 000 000 299 960 515 952 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 599 921 031 905 28;
  • 37) 0,000 000 000 599 921 031 905 28 × 2 = 0 + 0,000 000 001 199 842 063 810 56;
  • 38) 0,000 000 001 199 842 063 810 56 × 2 = 0 + 0,000 000 002 399 684 127 621 12;
  • 39) 0,000 000 002 399 684 127 621 12 × 2 = 0 + 0,000 000 004 799 368 255 242 24;
  • 40) 0,000 000 004 799 368 255 242 24 × 2 = 0 + 0,000 000 009 598 736 510 484 48;
  • 41) 0,000 000 009 598 736 510 484 48 × 2 = 0 + 0,000 000 019 197 473 020 968 96;
  • 42) 0,000 000 019 197 473 020 968 96 × 2 = 0 + 0,000 000 038 394 946 041 937 92;
  • 43) 0,000 000 038 394 946 041 937 92 × 2 = 0 + 0,000 000 076 789 892 083 875 84;
  • 44) 0,000 000 076 789 892 083 875 84 × 2 = 0 + 0,000 000 153 579 784 167 751 68;
  • 45) 0,000 000 153 579 784 167 751 68 × 2 = 0 + 0,000 000 307 159 568 335 503 36;
  • 46) 0,000 000 307 159 568 335 503 36 × 2 = 0 + 0,000 000 614 319 136 671 006 72;
  • 47) 0,000 000 614 319 136 671 006 72 × 2 = 0 + 0,000 001 228 638 273 342 013 44;
  • 48) 0,000 001 228 638 273 342 013 44 × 2 = 0 + 0,000 002 457 276 546 684 026 88;
  • 49) 0,000 002 457 276 546 684 026 88 × 2 = 0 + 0,000 004 914 553 093 368 053 76;
  • 50) 0,000 004 914 553 093 368 053 76 × 2 = 0 + 0,000 009 829 106 186 736 107 52;
  • 51) 0,000 009 829 106 186 736 107 52 × 2 = 0 + 0,000 019 658 212 373 472 215 04;
  • 52) 0,000 019 658 212 373 472 215 04 × 2 = 0 + 0,000 039 316 424 746 944 430 08;
  • 53) 0,000 039 316 424 746 944 430 08 × 2 = 0 + 0,000 078 632 849 493 888 860 16;
  • 54) 0,000 078 632 849 493 888 860 16 × 2 = 0 + 0,000 157 265 698 987 777 720 32;
  • 55) 0,000 157 265 698 987 777 720 32 × 2 = 0 + 0,000 314 531 397 975 555 440 64;
  • 56) 0,000 314 531 397 975 555 440 64 × 2 = 0 + 0,000 629 062 795 951 110 881 28;
  • 57) 0,000 629 062 795 951 110 881 28 × 2 = 0 + 0,001 258 125 591 902 221 762 56;
  • 58) 0,001 258 125 591 902 221 762 56 × 2 = 0 + 0,002 516 251 183 804 443 525 12;
  • 59) 0,002 516 251 183 804 443 525 12 × 2 = 0 + 0,005 032 502 367 608 887 050 24;
  • 60) 0,005 032 502 367 608 887 050 24 × 2 = 0 + 0,010 065 004 735 217 774 100 48;
  • 61) 0,010 065 004 735 217 774 100 48 × 2 = 0 + 0,020 130 009 470 435 548 200 96;
  • 62) 0,020 130 009 470 435 548 200 96 × 2 = 0 + 0,040 260 018 940 871 096 401 92;
  • 63) 0,040 260 018 940 871 096 401 92 × 2 = 0 + 0,080 520 037 881 742 192 803 84;
  • 64) 0,080 520 037 881 742 192 803 84 × 2 = 0 + 0,161 040 075 763 484 385 607 68;
  • 65) 0,161 040 075 763 484 385 607 68 × 2 = 0 + 0,322 080 151 526 968 771 215 36;
  • 66) 0,322 080 151 526 968 771 215 36 × 2 = 0 + 0,644 160 303 053 937 542 430 72;
  • 67) 0,644 160 303 053 937 542 430 72 × 2 = 1 + 0,288 320 606 107 875 084 861 44;
  • 68) 0,288 320 606 107 875 084 861 44 × 2 = 0 + 0,576 641 212 215 750 169 722 88;
  • 69) 0,576 641 212 215 750 169 722 88 × 2 = 1 + 0,153 282 424 431 500 339 445 76;
  • 70) 0,153 282 424 431 500 339 445 76 × 2 = 0 + 0,306 564 848 863 000 678 891 52;
  • 71) 0,306 564 848 863 000 678 891 52 × 2 = 0 + 0,613 129 697 726 001 357 783 04;
  • 72) 0,613 129 697 726 001 357 783 04 × 2 = 1 + 0,226 259 395 452 002 715 566 08;
  • 73) 0,226 259 395 452 002 715 566 08 × 2 = 0 + 0,452 518 790 904 005 431 132 16;
  • 74) 0,452 518 790 904 005 431 132 16 × 2 = 0 + 0,905 037 581 808 010 862 264 32;
  • 75) 0,905 037 581 808 010 862 264 32 × 2 = 1 + 0,810 075 163 616 021 724 528 64;
  • 76) 0,810 075 163 616 021 724 528 64 × 2 = 1 + 0,620 150 327 232 043 449 057 28;
  • 77) 0,620 150 327 232 043 449 057 28 × 2 = 1 + 0,240 300 654 464 086 898 114 56;
  • 78) 0,240 300 654 464 086 898 114 56 × 2 = 0 + 0,480 601 308 928 173 796 229 12;
  • 79) 0,480 601 308 928 173 796 229 12 × 2 = 0 + 0,961 202 617 856 347 592 458 24;
  • 80) 0,961 202 617 856 347 592 458 24 × 2 = 1 + 0,922 405 235 712 695 184 916 48;
  • 81) 0,922 405 235 712 695 184 916 48 × 2 = 1 + 0,844 810 471 425 390 369 832 96;
  • 82) 0,844 810 471 425 390 369 832 96 × 2 = 1 + 0,689 620 942 850 780 739 665 92;
  • 83) 0,689 620 942 850 780 739 665 92 × 2 = 1 + 0,379 241 885 701 561 479 331 84;
  • 84) 0,379 241 885 701 561 479 331 84 × 2 = 0 + 0,758 483 771 403 122 958 663 68;
  • 85) 0,758 483 771 403 122 958 663 68 × 2 = 1 + 0,516 967 542 806 245 917 327 36;
  • 86) 0,516 967 542 806 245 917 327 36 × 2 = 1 + 0,033 935 085 612 491 834 654 72;
  • 87) 0,033 935 085 612 491 834 654 72 × 2 = 0 + 0,067 870 171 224 983 669 309 44;
  • 88) 0,067 870 171 224 983 669 309 44 × 2 = 0 + 0,135 740 342 449 967 338 618 88;
  • 89) 0,135 740 342 449 967 338 618 88 × 2 = 0 + 0,271 480 684 899 934 677 237 76;
  • 90) 0,271 480 684 899 934 677 237 76 × 2 = 0 + 0,542 961 369 799 869 354 475 52;
  • 91) 0,542 961 369 799 869 354 475 52 × 2 = 1 + 0,085 922 739 599 738 708 951 04;
  • 92) 0,085 922 739 599 738 708 951 04 × 2 = 0 + 0,171 845 479 199 477 417 902 08;
  • 93) 0,171 845 479 199 477 417 902 08 × 2 = 0 + 0,343 690 958 398 954 835 804 16;
  • 94) 0,343 690 958 398 954 835 804 16 × 2 = 0 + 0,687 381 916 797 909 671 608 32;
  • 95) 0,687 381 916 797 909 671 608 32 × 2 = 1 + 0,374 763 833 595 819 343 216 64;
  • 96) 0,374 763 833 595 819 343 216 64 × 2 = 0 + 0,749 527 667 191 638 686 433 28;
  • 97) 0,749 527 667 191 638 686 433 28 × 2 = 1 + 0,499 055 334 383 277 372 866 56;
  • 98) 0,499 055 334 383 277 372 866 56 × 2 = 0 + 0,998 110 668 766 554 745 733 12;
  • 99) 0,998 110 668 766 554 745 733 12 × 2 = 1 + 0,996 221 337 533 109 491 466 24;
  • 100) 0,996 221 337 533 109 491 466 24 × 2 = 1 + 0,992 442 675 066 218 982 932 48;
  • 101) 0,992 442 675 066 218 982 932 48 × 2 = 1 + 0,984 885 350 132 437 965 864 96;
  • 102) 0,984 885 350 132 437 965 864 96 × 2 = 1 + 0,969 770 700 264 875 931 729 92;
  • 103) 0,969 770 700 264 875 931 729 92 × 2 = 1 + 0,939 541 400 529 751 863 459 84;
  • 104) 0,939 541 400 529 751 863 459 84 × 2 = 1 + 0,879 082 801 059 503 726 919 68;
  • 105) 0,879 082 801 059 503 726 919 68 × 2 = 1 + 0,758 165 602 119 007 453 839 36;
  • 106) 0,758 165 602 119 007 453 839 36 × 2 = 1 + 0,516 331 204 238 014 907 678 72;
  • 107) 0,516 331 204 238 014 907 678 72 × 2 = 1 + 0,032 662 408 476 029 815 357 44;
  • 108) 0,032 662 408 476 029 815 357 44 × 2 = 0 + 0,065 324 816 952 059 630 714 88;
  • 109) 0,065 324 816 952 059 630 714 88 × 2 = 0 + 0,130 649 633 904 119 261 429 76;
  • 110) 0,130 649 633 904 119 261 429 76 × 2 = 0 + 0,261 299 267 808 238 522 859 52;
  • 111) 0,261 299 267 808 238 522 859 52 × 2 = 0 + 0,522 598 535 616 477 045 719 04;
  • 112) 0,522 598 535 616 477 045 719 04 × 2 = 1 + 0,045 197 071 232 954 091 438 08;
  • 113) 0,045 197 071 232 954 091 438 08 × 2 = 0 + 0,090 394 142 465 908 182 876 16;
  • 114) 0,090 394 142 465 908 182 876 16 × 2 = 0 + 0,180 788 284 931 816 365 752 32;
  • 115) 0,180 788 284 931 816 365 752 32 × 2 = 0 + 0,361 576 569 863 632 731 504 64;
  • 116) 0,361 576 569 863 632 731 504 64 × 2 = 0 + 0,723 153 139 727 265 463 009 28;
  • 117) 0,723 153 139 727 265 463 009 28 × 2 = 1 + 0,446 306 279 454 530 926 018 56;
  • 118) 0,446 306 279 454 530 926 018 56 × 2 = 0 + 0,892 612 558 909 061 852 037 12;
  • 119) 0,892 612 558 909 061 852 037 12 × 2 = 1 + 0,785 225 117 818 123 704 074 24;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 73(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1001 0011 1001 1110 1100 0010 0010 1011 1111 1110 0001 0000 101(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 73(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1001 0011 1001 1110 1100 0010 0010 1011 1111 1110 0001 0000 101(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 73(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1001 0011 1001 1110 1100 0010 0010 1011 1111 1110 0001 0000 101(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1001 0011 1001 1110 1100 0010 0010 1011 1111 1110 0001 0000 101(2) × 20 =

1,0100 1001 1100 1111 0110 0001 0001 0101 1111 1111 0000 1000 0101(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 1001 1100 1111 0110 0001 0001 0101 1111 1111 0000 1000 0101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 1001 1100 1111 0110 0001 0001 0101 1111 1111 0000 1000 0101 =

0100 1001 1100 1111 0110 0001 0001 0101 1111 1111 0000 1000 0101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 1001 1100 1111 0110 0001 0001 0101 1111 1111 0000 1000 0101


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 73 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 1001 1100 1111 0110 0001 0001 0101 1111 1111 0000 1000 0101

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100