0,000 000 000 000 000 000 009 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 009 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 009 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 009 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 009 3 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 018 6;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 018 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 037 2;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 037 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 074 4;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 074 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 148 8;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 148 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 297 6;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 297 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 595 2;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 595 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 190 4;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 190 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 380 8;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 380 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 761 6;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 761 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 009 523 2;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 009 523 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 019 046 4;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 019 046 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 038 092 8;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 038 092 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 076 185 6;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 076 185 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 152 371 2;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 152 371 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 304 742 4;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 304 742 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 609 484 8;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 609 484 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 218 969 6;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 218 969 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 437 939 2;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 437 939 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 875 878 4;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 875 878 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 009 751 756 8;
  • 21) 0,000 000 000 000 009 751 756 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 019 503 513 6;
  • 22) 0,000 000 000 000 019 503 513 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 039 007 027 2;
  • 23) 0,000 000 000 000 039 007 027 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 078 014 054 4;
  • 24) 0,000 000 000 000 078 014 054 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 156 028 108 8;
  • 25) 0,000 000 000 000 156 028 108 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 312 056 217 6;
  • 26) 0,000 000 000 000 312 056 217 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 624 112 435 2;
  • 27) 0,000 000 000 000 624 112 435 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 248 224 870 4;
  • 28) 0,000 000 000 001 248 224 870 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 496 449 740 8;
  • 29) 0,000 000 000 002 496 449 740 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 992 899 481 6;
  • 30) 0,000 000 000 004 992 899 481 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 985 798 963 2;
  • 31) 0,000 000 000 009 985 798 963 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 019 971 597 926 4;
  • 32) 0,000 000 000 019 971 597 926 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 039 943 195 852 8;
  • 33) 0,000 000 000 039 943 195 852 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 079 886 391 705 6;
  • 34) 0,000 000 000 079 886 391 705 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 159 772 783 411 2;
  • 35) 0,000 000 000 159 772 783 411 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 319 545 566 822 4;
  • 36) 0,000 000 000 319 545 566 822 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 639 091 133 644 8;
  • 37) 0,000 000 000 639 091 133 644 8 × 2 = 0 + 0,000 000 001 278 182 267 289 6;
  • 38) 0,000 000 001 278 182 267 289 6 × 2 = 0 + 0,000 000 002 556 364 534 579 2;
  • 39) 0,000 000 002 556 364 534 579 2 × 2 = 0 + 0,000 000 005 112 729 069 158 4;
  • 40) 0,000 000 005 112 729 069 158 4 × 2 = 0 + 0,000 000 010 225 458 138 316 8;
  • 41) 0,000 000 010 225 458 138 316 8 × 2 = 0 + 0,000 000 020 450 916 276 633 6;
  • 42) 0,000 000 020 450 916 276 633 6 × 2 = 0 + 0,000 000 040 901 832 553 267 2;
  • 43) 0,000 000 040 901 832 553 267 2 × 2 = 0 + 0,000 000 081 803 665 106 534 4;
  • 44) 0,000 000 081 803 665 106 534 4 × 2 = 0 + 0,000 000 163 607 330 213 068 8;
  • 45) 0,000 000 163 607 330 213 068 8 × 2 = 0 + 0,000 000 327 214 660 426 137 6;
  • 46) 0,000 000 327 214 660 426 137 6 × 2 = 0 + 0,000 000 654 429 320 852 275 2;
  • 47) 0,000 000 654 429 320 852 275 2 × 2 = 0 + 0,000 001 308 858 641 704 550 4;
  • 48) 0,000 001 308 858 641 704 550 4 × 2 = 0 + 0,000 002 617 717 283 409 100 8;
  • 49) 0,000 002 617 717 283 409 100 8 × 2 = 0 + 0,000 005 235 434 566 818 201 6;
  • 50) 0,000 005 235 434 566 818 201 6 × 2 = 0 + 0,000 010 470 869 133 636 403 2;
  • 51) 0,000 010 470 869 133 636 403 2 × 2 = 0 + 0,000 020 941 738 267 272 806 4;
  • 52) 0,000 020 941 738 267 272 806 4 × 2 = 0 + 0,000 041 883 476 534 545 612 8;
  • 53) 0,000 041 883 476 534 545 612 8 × 2 = 0 + 0,000 083 766 953 069 091 225 6;
  • 54) 0,000 083 766 953 069 091 225 6 × 2 = 0 + 0,000 167 533 906 138 182 451 2;
  • 55) 0,000 167 533 906 138 182 451 2 × 2 = 0 + 0,000 335 067 812 276 364 902 4;
  • 56) 0,000 335 067 812 276 364 902 4 × 2 = 0 + 0,000 670 135 624 552 729 804 8;
  • 57) 0,000 670 135 624 552 729 804 8 × 2 = 0 + 0,001 340 271 249 105 459 609 6;
  • 58) 0,001 340 271 249 105 459 609 6 × 2 = 0 + 0,002 680 542 498 210 919 219 2;
  • 59) 0,002 680 542 498 210 919 219 2 × 2 = 0 + 0,005 361 084 996 421 838 438 4;
  • 60) 0,005 361 084 996 421 838 438 4 × 2 = 0 + 0,010 722 169 992 843 676 876 8;
  • 61) 0,010 722 169 992 843 676 876 8 × 2 = 0 + 0,021 444 339 985 687 353 753 6;
  • 62) 0,021 444 339 985 687 353 753 6 × 2 = 0 + 0,042 888 679 971 374 707 507 2;
  • 63) 0,042 888 679 971 374 707 507 2 × 2 = 0 + 0,085 777 359 942 749 415 014 4;
  • 64) 0,085 777 359 942 749 415 014 4 × 2 = 0 + 0,171 554 719 885 498 830 028 8;
  • 65) 0,171 554 719 885 498 830 028 8 × 2 = 0 + 0,343 109 439 770 997 660 057 6;
  • 66) 0,343 109 439 770 997 660 057 6 × 2 = 0 + 0,686 218 879 541 995 320 115 2;
  • 67) 0,686 218 879 541 995 320 115 2 × 2 = 1 + 0,372 437 759 083 990 640 230 4;
  • 68) 0,372 437 759 083 990 640 230 4 × 2 = 0 + 0,744 875 518 167 981 280 460 8;
  • 69) 0,744 875 518 167 981 280 460 8 × 2 = 1 + 0,489 751 036 335 962 560 921 6;
  • 70) 0,489 751 036 335 962 560 921 6 × 2 = 0 + 0,979 502 072 671 925 121 843 2;
  • 71) 0,979 502 072 671 925 121 843 2 × 2 = 1 + 0,959 004 145 343 850 243 686 4;
  • 72) 0,959 004 145 343 850 243 686 4 × 2 = 1 + 0,918 008 290 687 700 487 372 8;
  • 73) 0,918 008 290 687 700 487 372 8 × 2 = 1 + 0,836 016 581 375 400 974 745 6;
  • 74) 0,836 016 581 375 400 974 745 6 × 2 = 1 + 0,672 033 162 750 801 949 491 2;
  • 75) 0,672 033 162 750 801 949 491 2 × 2 = 1 + 0,344 066 325 501 603 898 982 4;
  • 76) 0,344 066 325 501 603 898 982 4 × 2 = 0 + 0,688 132 651 003 207 797 964 8;
  • 77) 0,688 132 651 003 207 797 964 8 × 2 = 1 + 0,376 265 302 006 415 595 929 6;
  • 78) 0,376 265 302 006 415 595 929 6 × 2 = 0 + 0,752 530 604 012 831 191 859 2;
  • 79) 0,752 530 604 012 831 191 859 2 × 2 = 1 + 0,505 061 208 025 662 383 718 4;
  • 80) 0,505 061 208 025 662 383 718 4 × 2 = 1 + 0,010 122 416 051 324 767 436 8;
  • 81) 0,010 122 416 051 324 767 436 8 × 2 = 0 + 0,020 244 832 102 649 534 873 6;
  • 82) 0,020 244 832 102 649 534 873 6 × 2 = 0 + 0,040 489 664 205 299 069 747 2;
  • 83) 0,040 489 664 205 299 069 747 2 × 2 = 0 + 0,080 979 328 410 598 139 494 4;
  • 84) 0,080 979 328 410 598 139 494 4 × 2 = 0 + 0,161 958 656 821 196 278 988 8;
  • 85) 0,161 958 656 821 196 278 988 8 × 2 = 0 + 0,323 917 313 642 392 557 977 6;
  • 86) 0,323 917 313 642 392 557 977 6 × 2 = 0 + 0,647 834 627 284 785 115 955 2;
  • 87) 0,647 834 627 284 785 115 955 2 × 2 = 1 + 0,295 669 254 569 570 231 910 4;
  • 88) 0,295 669 254 569 570 231 910 4 × 2 = 0 + 0,591 338 509 139 140 463 820 8;
  • 89) 0,591 338 509 139 140 463 820 8 × 2 = 1 + 0,182 677 018 278 280 927 641 6;
  • 90) 0,182 677 018 278 280 927 641 6 × 2 = 0 + 0,365 354 036 556 561 855 283 2;
  • 91) 0,365 354 036 556 561 855 283 2 × 2 = 0 + 0,730 708 073 113 123 710 566 4;
  • 92) 0,730 708 073 113 123 710 566 4 × 2 = 1 + 0,461 416 146 226 247 421 132 8;
  • 93) 0,461 416 146 226 247 421 132 8 × 2 = 0 + 0,922 832 292 452 494 842 265 6;
  • 94) 0,922 832 292 452 494 842 265 6 × 2 = 1 + 0,845 664 584 904 989 684 531 2;
  • 95) 0,845 664 584 904 989 684 531 2 × 2 = 1 + 0,691 329 169 809 979 369 062 4;
  • 96) 0,691 329 169 809 979 369 062 4 × 2 = 1 + 0,382 658 339 619 958 738 124 8;
  • 97) 0,382 658 339 619 958 738 124 8 × 2 = 0 + 0,765 316 679 239 917 476 249 6;
  • 98) 0,765 316 679 239 917 476 249 6 × 2 = 1 + 0,530 633 358 479 834 952 499 2;
  • 99) 0,530 633 358 479 834 952 499 2 × 2 = 1 + 0,061 266 716 959 669 904 998 4;
  • 100) 0,061 266 716 959 669 904 998 4 × 2 = 0 + 0,122 533 433 919 339 809 996 8;
  • 101) 0,122 533 433 919 339 809 996 8 × 2 = 0 + 0,245 066 867 838 679 619 993 6;
  • 102) 0,245 066 867 838 679 619 993 6 × 2 = 0 + 0,490 133 735 677 359 239 987 2;
  • 103) 0,490 133 735 677 359 239 987 2 × 2 = 0 + 0,980 267 471 354 718 479 974 4;
  • 104) 0,980 267 471 354 718 479 974 4 × 2 = 1 + 0,960 534 942 709 436 959 948 8;
  • 105) 0,960 534 942 709 436 959 948 8 × 2 = 1 + 0,921 069 885 418 873 919 897 6;
  • 106) 0,921 069 885 418 873 919 897 6 × 2 = 1 + 0,842 139 770 837 747 839 795 2;
  • 107) 0,842 139 770 837 747 839 795 2 × 2 = 1 + 0,684 279 541 675 495 679 590 4;
  • 108) 0,684 279 541 675 495 679 590 4 × 2 = 1 + 0,368 559 083 350 991 359 180 8;
  • 109) 0,368 559 083 350 991 359 180 8 × 2 = 0 + 0,737 118 166 701 982 718 361 6;
  • 110) 0,737 118 166 701 982 718 361 6 × 2 = 1 + 0,474 236 333 403 965 436 723 2;
  • 111) 0,474 236 333 403 965 436 723 2 × 2 = 0 + 0,948 472 666 807 930 873 446 4;
  • 112) 0,948 472 666 807 930 873 446 4 × 2 = 1 + 0,896 945 333 615 861 746 892 8;
  • 113) 0,896 945 333 615 861 746 892 8 × 2 = 1 + 0,793 890 667 231 723 493 785 6;
  • 114) 0,793 890 667 231 723 493 785 6 × 2 = 1 + 0,587 781 334 463 446 987 571 2;
  • 115) 0,587 781 334 463 446 987 571 2 × 2 = 1 + 0,175 562 668 926 893 975 142 4;
  • 116) 0,175 562 668 926 893 975 142 4 × 2 = 0 + 0,351 125 337 853 787 950 284 8;
  • 117) 0,351 125 337 853 787 950 284 8 × 2 = 0 + 0,702 250 675 707 575 900 569 6;
  • 118) 0,702 250 675 707 575 900 569 6 × 2 = 1 + 0,404 501 351 415 151 801 139 2;
  • 119) 0,404 501 351 415 151 801 139 2 × 2 = 0 + 0,809 002 702 830 303 602 278 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 009 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1011 1110 1011 0000 0010 1001 0111 0110 0001 1111 0101 1110 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 009 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1011 1110 1011 0000 0010 1001 0111 0110 0001 1111 0101 1110 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 009 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1011 1110 1011 0000 0010 1001 0111 0110 0001 1111 0101 1110 010(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1011 1110 1011 0000 0010 1001 0111 0110 0001 1111 0101 1110 010(2) × 20 =

1,0101 1111 0101 1000 0001 0100 1011 1011 0000 1111 1010 1111 0010(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1111 0101 1000 0001 0100 1011 1011 0000 1111 1010 1111 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1111 0101 1000 0001 0100 1011 1011 0000 1111 1010 1111 0010 =

0101 1111 0101 1000 0001 0100 1011 1011 0000 1111 1010 1111 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0101 1111 0101 1000 0001 0100 1011 1011 0000 1111 1010 1111 0010


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 009 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0101 1111 0101 1000 0001 0100 1011 1011 0000 1111 1010 1111 0010

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 001 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100