0,000 000 000 000 000 000 009 34 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 009 34(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 009 34(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 009 34.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 009 34 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 018 68;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 018 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 037 36;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 037 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 074 72;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 074 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 149 44;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 149 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 298 88;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 298 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 597 76;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 597 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 195 52;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 195 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 391 04;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 391 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 782 08;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 782 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 009 564 16;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 009 564 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 019 128 32;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 019 128 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 038 256 64;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 038 256 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 076 513 28;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 076 513 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 153 026 56;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 153 026 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 306 053 12;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 306 053 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 612 106 24;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 612 106 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 224 212 48;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 224 212 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 448 424 96;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 448 424 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 896 849 92;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 896 849 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 009 793 699 84;
  • 21) 0,000 000 000 000 009 793 699 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 019 587 399 68;
  • 22) 0,000 000 000 000 019 587 399 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 039 174 799 36;
  • 23) 0,000 000 000 000 039 174 799 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 078 349 598 72;
  • 24) 0,000 000 000 000 078 349 598 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 156 699 197 44;
  • 25) 0,000 000 000 000 156 699 197 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 313 398 394 88;
  • 26) 0,000 000 000 000 313 398 394 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 626 796 789 76;
  • 27) 0,000 000 000 000 626 796 789 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 253 593 579 52;
  • 28) 0,000 000 000 001 253 593 579 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 507 187 159 04;
  • 29) 0,000 000 000 002 507 187 159 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 005 014 374 318 08;
  • 30) 0,000 000 000 005 014 374 318 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 010 028 748 636 16;
  • 31) 0,000 000 000 010 028 748 636 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 020 057 497 272 32;
  • 32) 0,000 000 000 020 057 497 272 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 040 114 994 544 64;
  • 33) 0,000 000 000 040 114 994 544 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 080 229 989 089 28;
  • 34) 0,000 000 000 080 229 989 089 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 160 459 978 178 56;
  • 35) 0,000 000 000 160 459 978 178 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 320 919 956 357 12;
  • 36) 0,000 000 000 320 919 956 357 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 641 839 912 714 24;
  • 37) 0,000 000 000 641 839 912 714 24 × 2 = 0 + 0,000 000 001 283 679 825 428 48;
  • 38) 0,000 000 001 283 679 825 428 48 × 2 = 0 + 0,000 000 002 567 359 650 856 96;
  • 39) 0,000 000 002 567 359 650 856 96 × 2 = 0 + 0,000 000 005 134 719 301 713 92;
  • 40) 0,000 000 005 134 719 301 713 92 × 2 = 0 + 0,000 000 010 269 438 603 427 84;
  • 41) 0,000 000 010 269 438 603 427 84 × 2 = 0 + 0,000 000 020 538 877 206 855 68;
  • 42) 0,000 000 020 538 877 206 855 68 × 2 = 0 + 0,000 000 041 077 754 413 711 36;
  • 43) 0,000 000 041 077 754 413 711 36 × 2 = 0 + 0,000 000 082 155 508 827 422 72;
  • 44) 0,000 000 082 155 508 827 422 72 × 2 = 0 + 0,000 000 164 311 017 654 845 44;
  • 45) 0,000 000 164 311 017 654 845 44 × 2 = 0 + 0,000 000 328 622 035 309 690 88;
  • 46) 0,000 000 328 622 035 309 690 88 × 2 = 0 + 0,000 000 657 244 070 619 381 76;
  • 47) 0,000 000 657 244 070 619 381 76 × 2 = 0 + 0,000 001 314 488 141 238 763 52;
  • 48) 0,000 001 314 488 141 238 763 52 × 2 = 0 + 0,000 002 628 976 282 477 527 04;
  • 49) 0,000 002 628 976 282 477 527 04 × 2 = 0 + 0,000 005 257 952 564 955 054 08;
  • 50) 0,000 005 257 952 564 955 054 08 × 2 = 0 + 0,000 010 515 905 129 910 108 16;
  • 51) 0,000 010 515 905 129 910 108 16 × 2 = 0 + 0,000 021 031 810 259 820 216 32;
  • 52) 0,000 021 031 810 259 820 216 32 × 2 = 0 + 0,000 042 063 620 519 640 432 64;
  • 53) 0,000 042 063 620 519 640 432 64 × 2 = 0 + 0,000 084 127 241 039 280 865 28;
  • 54) 0,000 084 127 241 039 280 865 28 × 2 = 0 + 0,000 168 254 482 078 561 730 56;
  • 55) 0,000 168 254 482 078 561 730 56 × 2 = 0 + 0,000 336 508 964 157 123 461 12;
  • 56) 0,000 336 508 964 157 123 461 12 × 2 = 0 + 0,000 673 017 928 314 246 922 24;
  • 57) 0,000 673 017 928 314 246 922 24 × 2 = 0 + 0,001 346 035 856 628 493 844 48;
  • 58) 0,001 346 035 856 628 493 844 48 × 2 = 0 + 0,002 692 071 713 256 987 688 96;
  • 59) 0,002 692 071 713 256 987 688 96 × 2 = 0 + 0,005 384 143 426 513 975 377 92;
  • 60) 0,005 384 143 426 513 975 377 92 × 2 = 0 + 0,010 768 286 853 027 950 755 84;
  • 61) 0,010 768 286 853 027 950 755 84 × 2 = 0 + 0,021 536 573 706 055 901 511 68;
  • 62) 0,021 536 573 706 055 901 511 68 × 2 = 0 + 0,043 073 147 412 111 803 023 36;
  • 63) 0,043 073 147 412 111 803 023 36 × 2 = 0 + 0,086 146 294 824 223 606 046 72;
  • 64) 0,086 146 294 824 223 606 046 72 × 2 = 0 + 0,172 292 589 648 447 212 093 44;
  • 65) 0,172 292 589 648 447 212 093 44 × 2 = 0 + 0,344 585 179 296 894 424 186 88;
  • 66) 0,344 585 179 296 894 424 186 88 × 2 = 0 + 0,689 170 358 593 788 848 373 76;
  • 67) 0,689 170 358 593 788 848 373 76 × 2 = 1 + 0,378 340 717 187 577 696 747 52;
  • 68) 0,378 340 717 187 577 696 747 52 × 2 = 0 + 0,756 681 434 375 155 393 495 04;
  • 69) 0,756 681 434 375 155 393 495 04 × 2 = 1 + 0,513 362 868 750 310 786 990 08;
  • 70) 0,513 362 868 750 310 786 990 08 × 2 = 1 + 0,026 725 737 500 621 573 980 16;
  • 71) 0,026 725 737 500 621 573 980 16 × 2 = 0 + 0,053 451 475 001 243 147 960 32;
  • 72) 0,053 451 475 001 243 147 960 32 × 2 = 0 + 0,106 902 950 002 486 295 920 64;
  • 73) 0,106 902 950 002 486 295 920 64 × 2 = 0 + 0,213 805 900 004 972 591 841 28;
  • 74) 0,213 805 900 004 972 591 841 28 × 2 = 0 + 0,427 611 800 009 945 183 682 56;
  • 75) 0,427 611 800 009 945 183 682 56 × 2 = 0 + 0,855 223 600 019 890 367 365 12;
  • 76) 0,855 223 600 019 890 367 365 12 × 2 = 1 + 0,710 447 200 039 780 734 730 24;
  • 77) 0,710 447 200 039 780 734 730 24 × 2 = 1 + 0,420 894 400 079 561 469 460 48;
  • 78) 0,420 894 400 079 561 469 460 48 × 2 = 0 + 0,841 788 800 159 122 938 920 96;
  • 79) 0,841 788 800 159 122 938 920 96 × 2 = 1 + 0,683 577 600 318 245 877 841 92;
  • 80) 0,683 577 600 318 245 877 841 92 × 2 = 1 + 0,367 155 200 636 491 755 683 84;
  • 81) 0,367 155 200 636 491 755 683 84 × 2 = 0 + 0,734 310 401 272 983 511 367 68;
  • 82) 0,734 310 401 272 983 511 367 68 × 2 = 1 + 0,468 620 802 545 967 022 735 36;
  • 83) 0,468 620 802 545 967 022 735 36 × 2 = 0 + 0,937 241 605 091 934 045 470 72;
  • 84) 0,937 241 605 091 934 045 470 72 × 2 = 1 + 0,874 483 210 183 868 090 941 44;
  • 85) 0,874 483 210 183 868 090 941 44 × 2 = 1 + 0,748 966 420 367 736 181 882 88;
  • 86) 0,748 966 420 367 736 181 882 88 × 2 = 1 + 0,497 932 840 735 472 363 765 76;
  • 87) 0,497 932 840 735 472 363 765 76 × 2 = 0 + 0,995 865 681 470 944 727 531 52;
  • 88) 0,995 865 681 470 944 727 531 52 × 2 = 1 + 0,991 731 362 941 889 455 063 04;
  • 89) 0,991 731 362 941 889 455 063 04 × 2 = 1 + 0,983 462 725 883 778 910 126 08;
  • 90) 0,983 462 725 883 778 910 126 08 × 2 = 1 + 0,966 925 451 767 557 820 252 16;
  • 91) 0,966 925 451 767 557 820 252 16 × 2 = 1 + 0,933 850 903 535 115 640 504 32;
  • 92) 0,933 850 903 535 115 640 504 32 × 2 = 1 + 0,867 701 807 070 231 281 008 64;
  • 93) 0,867 701 807 070 231 281 008 64 × 2 = 1 + 0,735 403 614 140 462 562 017 28;
  • 94) 0,735 403 614 140 462 562 017 28 × 2 = 1 + 0,470 807 228 280 925 124 034 56;
  • 95) 0,470 807 228 280 925 124 034 56 × 2 = 0 + 0,941 614 456 561 850 248 069 12;
  • 96) 0,941 614 456 561 850 248 069 12 × 2 = 1 + 0,883 228 913 123 700 496 138 24;
  • 97) 0,883 228 913 123 700 496 138 24 × 2 = 1 + 0,766 457 826 247 400 992 276 48;
  • 98) 0,766 457 826 247 400 992 276 48 × 2 = 1 + 0,532 915 652 494 801 984 552 96;
  • 99) 0,532 915 652 494 801 984 552 96 × 2 = 1 + 0,065 831 304 989 603 969 105 92;
  • 100) 0,065 831 304 989 603 969 105 92 × 2 = 0 + 0,131 662 609 979 207 938 211 84;
  • 101) 0,131 662 609 979 207 938 211 84 × 2 = 0 + 0,263 325 219 958 415 876 423 68;
  • 102) 0,263 325 219 958 415 876 423 68 × 2 = 0 + 0,526 650 439 916 831 752 847 36;
  • 103) 0,526 650 439 916 831 752 847 36 × 2 = 1 + 0,053 300 879 833 663 505 694 72;
  • 104) 0,053 300 879 833 663 505 694 72 × 2 = 0 + 0,106 601 759 667 327 011 389 44;
  • 105) 0,106 601 759 667 327 011 389 44 × 2 = 0 + 0,213 203 519 334 654 022 778 88;
  • 106) 0,213 203 519 334 654 022 778 88 × 2 = 0 + 0,426 407 038 669 308 045 557 76;
  • 107) 0,426 407 038 669 308 045 557 76 × 2 = 0 + 0,852 814 077 338 616 091 115 52;
  • 108) 0,852 814 077 338 616 091 115 52 × 2 = 1 + 0,705 628 154 677 232 182 231 04;
  • 109) 0,705 628 154 677 232 182 231 04 × 2 = 1 + 0,411 256 309 354 464 364 462 08;
  • 110) 0,411 256 309 354 464 364 462 08 × 2 = 0 + 0,822 512 618 708 928 728 924 16;
  • 111) 0,822 512 618 708 928 728 924 16 × 2 = 1 + 0,645 025 237 417 857 457 848 32;
  • 112) 0,645 025 237 417 857 457 848 32 × 2 = 1 + 0,290 050 474 835 714 915 696 64;
  • 113) 0,290 050 474 835 714 915 696 64 × 2 = 0 + 0,580 100 949 671 429 831 393 28;
  • 114) 0,580 100 949 671 429 831 393 28 × 2 = 1 + 0,160 201 899 342 859 662 786 56;
  • 115) 0,160 201 899 342 859 662 786 56 × 2 = 0 + 0,320 403 798 685 719 325 573 12;
  • 116) 0,320 403 798 685 719 325 573 12 × 2 = 0 + 0,640 807 597 371 438 651 146 24;
  • 117) 0,640 807 597 371 438 651 146 24 × 2 = 1 + 0,281 615 194 742 877 302 292 48;
  • 118) 0,281 615 194 742 877 302 292 48 × 2 = 0 + 0,563 230 389 485 754 604 584 96;
  • 119) 0,563 230 389 485 754 604 584 96 × 2 = 1 + 0,126 460 778 971 509 209 169 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 009 34(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1100 0001 1011 0101 1101 1111 1101 1110 0010 0001 1011 0100 101(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 009 34(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1100 0001 1011 0101 1101 1111 1101 1110 0010 0001 1011 0100 101(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 009 34(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1100 0001 1011 0101 1101 1111 1101 1110 0010 0001 1011 0100 101(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1100 0001 1011 0101 1101 1111 1101 1110 0010 0001 1011 0100 101(2) × 20 =

1,0110 0000 1101 1010 1110 1111 1110 1111 0001 0000 1101 1010 0101(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 0000 1101 1010 1110 1111 1110 1111 0001 0000 1101 1010 0101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 0000 1101 1010 1110 1111 1110 1111 0001 0000 1101 1010 0101 =

0110 0000 1101 1010 1110 1111 1110 1111 0001 0000 1101 1010 0101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0110 0000 1101 1010 1110 1111 1110 1111 0001 0000 1101 1010 0101


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 009 34 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0110 0000 1101 1010 1110 1111 1110 1111 0001 0000 1101 1010 0101

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 009 05 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100