0,000 000 000 000 000 000 009 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 009 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 009 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 009 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 009 7 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 019 4;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 019 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 038 8;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 038 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 077 6;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 077 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 155 2;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 155 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 310 4;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 310 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 620 8;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 620 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 241 6;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 241 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 483 2;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 483 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 966 4;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 966 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 009 932 8;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 009 932 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 019 865 6;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 019 865 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 039 731 2;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 039 731 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 079 462 4;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 079 462 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 158 924 8;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 158 924 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 317 849 6;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 317 849 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 635 699 2;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 635 699 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 271 398 4;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 271 398 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 542 796 8;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 542 796 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 005 085 593 6;
  • 20) 0,000 000 000 000 005 085 593 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 010 171 187 2;
  • 21) 0,000 000 000 000 010 171 187 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 020 342 374 4;
  • 22) 0,000 000 000 000 020 342 374 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 040 684 748 8;
  • 23) 0,000 000 000 000 040 684 748 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 081 369 497 6;
  • 24) 0,000 000 000 000 081 369 497 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 162 738 995 2;
  • 25) 0,000 000 000 000 162 738 995 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 325 477 990 4;
  • 26) 0,000 000 000 000 325 477 990 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 650 955 980 8;
  • 27) 0,000 000 000 000 650 955 980 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 301 911 961 6;
  • 28) 0,000 000 000 001 301 911 961 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 603 823 923 2;
  • 29) 0,000 000 000 002 603 823 923 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 005 207 647 846 4;
  • 30) 0,000 000 000 005 207 647 846 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 010 415 295 692 8;
  • 31) 0,000 000 000 010 415 295 692 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 020 830 591 385 6;
  • 32) 0,000 000 000 020 830 591 385 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 041 661 182 771 2;
  • 33) 0,000 000 000 041 661 182 771 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 083 322 365 542 4;
  • 34) 0,000 000 000 083 322 365 542 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 166 644 731 084 8;
  • 35) 0,000 000 000 166 644 731 084 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 333 289 462 169 6;
  • 36) 0,000 000 000 333 289 462 169 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 666 578 924 339 2;
  • 37) 0,000 000 000 666 578 924 339 2 × 2 = 0 + 0,000 000 001 333 157 848 678 4;
  • 38) 0,000 000 001 333 157 848 678 4 × 2 = 0 + 0,000 000 002 666 315 697 356 8;
  • 39) 0,000 000 002 666 315 697 356 8 × 2 = 0 + 0,000 000 005 332 631 394 713 6;
  • 40) 0,000 000 005 332 631 394 713 6 × 2 = 0 + 0,000 000 010 665 262 789 427 2;
  • 41) 0,000 000 010 665 262 789 427 2 × 2 = 0 + 0,000 000 021 330 525 578 854 4;
  • 42) 0,000 000 021 330 525 578 854 4 × 2 = 0 + 0,000 000 042 661 051 157 708 8;
  • 43) 0,000 000 042 661 051 157 708 8 × 2 = 0 + 0,000 000 085 322 102 315 417 6;
  • 44) 0,000 000 085 322 102 315 417 6 × 2 = 0 + 0,000 000 170 644 204 630 835 2;
  • 45) 0,000 000 170 644 204 630 835 2 × 2 = 0 + 0,000 000 341 288 409 261 670 4;
  • 46) 0,000 000 341 288 409 261 670 4 × 2 = 0 + 0,000 000 682 576 818 523 340 8;
  • 47) 0,000 000 682 576 818 523 340 8 × 2 = 0 + 0,000 001 365 153 637 046 681 6;
  • 48) 0,000 001 365 153 637 046 681 6 × 2 = 0 + 0,000 002 730 307 274 093 363 2;
  • 49) 0,000 002 730 307 274 093 363 2 × 2 = 0 + 0,000 005 460 614 548 186 726 4;
  • 50) 0,000 005 460 614 548 186 726 4 × 2 = 0 + 0,000 010 921 229 096 373 452 8;
  • 51) 0,000 010 921 229 096 373 452 8 × 2 = 0 + 0,000 021 842 458 192 746 905 6;
  • 52) 0,000 021 842 458 192 746 905 6 × 2 = 0 + 0,000 043 684 916 385 493 811 2;
  • 53) 0,000 043 684 916 385 493 811 2 × 2 = 0 + 0,000 087 369 832 770 987 622 4;
  • 54) 0,000 087 369 832 770 987 622 4 × 2 = 0 + 0,000 174 739 665 541 975 244 8;
  • 55) 0,000 174 739 665 541 975 244 8 × 2 = 0 + 0,000 349 479 331 083 950 489 6;
  • 56) 0,000 349 479 331 083 950 489 6 × 2 = 0 + 0,000 698 958 662 167 900 979 2;
  • 57) 0,000 698 958 662 167 900 979 2 × 2 = 0 + 0,001 397 917 324 335 801 958 4;
  • 58) 0,001 397 917 324 335 801 958 4 × 2 = 0 + 0,002 795 834 648 671 603 916 8;
  • 59) 0,002 795 834 648 671 603 916 8 × 2 = 0 + 0,005 591 669 297 343 207 833 6;
  • 60) 0,005 591 669 297 343 207 833 6 × 2 = 0 + 0,011 183 338 594 686 415 667 2;
  • 61) 0,011 183 338 594 686 415 667 2 × 2 = 0 + 0,022 366 677 189 372 831 334 4;
  • 62) 0,022 366 677 189 372 831 334 4 × 2 = 0 + 0,044 733 354 378 745 662 668 8;
  • 63) 0,044 733 354 378 745 662 668 8 × 2 = 0 + 0,089 466 708 757 491 325 337 6;
  • 64) 0,089 466 708 757 491 325 337 6 × 2 = 0 + 0,178 933 417 514 982 650 675 2;
  • 65) 0,178 933 417 514 982 650 675 2 × 2 = 0 + 0,357 866 835 029 965 301 350 4;
  • 66) 0,357 866 835 029 965 301 350 4 × 2 = 0 + 0,715 733 670 059 930 602 700 8;
  • 67) 0,715 733 670 059 930 602 700 8 × 2 = 1 + 0,431 467 340 119 861 205 401 6;
  • 68) 0,431 467 340 119 861 205 401 6 × 2 = 0 + 0,862 934 680 239 722 410 803 2;
  • 69) 0,862 934 680 239 722 410 803 2 × 2 = 1 + 0,725 869 360 479 444 821 606 4;
  • 70) 0,725 869 360 479 444 821 606 4 × 2 = 1 + 0,451 738 720 958 889 643 212 8;
  • 71) 0,451 738 720 958 889 643 212 8 × 2 = 0 + 0,903 477 441 917 779 286 425 6;
  • 72) 0,903 477 441 917 779 286 425 6 × 2 = 1 + 0,806 954 883 835 558 572 851 2;
  • 73) 0,806 954 883 835 558 572 851 2 × 2 = 1 + 0,613 909 767 671 117 145 702 4;
  • 74) 0,613 909 767 671 117 145 702 4 × 2 = 1 + 0,227 819 535 342 234 291 404 8;
  • 75) 0,227 819 535 342 234 291 404 8 × 2 = 0 + 0,455 639 070 684 468 582 809 6;
  • 76) 0,455 639 070 684 468 582 809 6 × 2 = 0 + 0,911 278 141 368 937 165 619 2;
  • 77) 0,911 278 141 368 937 165 619 2 × 2 = 1 + 0,822 556 282 737 874 331 238 4;
  • 78) 0,822 556 282 737 874 331 238 4 × 2 = 1 + 0,645 112 565 475 748 662 476 8;
  • 79) 0,645 112 565 475 748 662 476 8 × 2 = 1 + 0,290 225 130 951 497 324 953 6;
  • 80) 0,290 225 130 951 497 324 953 6 × 2 = 0 + 0,580 450 261 902 994 649 907 2;
  • 81) 0,580 450 261 902 994 649 907 2 × 2 = 1 + 0,160 900 523 805 989 299 814 4;
  • 82) 0,160 900 523 805 989 299 814 4 × 2 = 0 + 0,321 801 047 611 978 599 628 8;
  • 83) 0,321 801 047 611 978 599 628 8 × 2 = 0 + 0,643 602 095 223 957 199 257 6;
  • 84) 0,643 602 095 223 957 199 257 6 × 2 = 1 + 0,287 204 190 447 914 398 515 2;
  • 85) 0,287 204 190 447 914 398 515 2 × 2 = 0 + 0,574 408 380 895 828 797 030 4;
  • 86) 0,574 408 380 895 828 797 030 4 × 2 = 1 + 0,148 816 761 791 657 594 060 8;
  • 87) 0,148 816 761 791 657 594 060 8 × 2 = 0 + 0,297 633 523 583 315 188 121 6;
  • 88) 0,297 633 523 583 315 188 121 6 × 2 = 0 + 0,595 267 047 166 630 376 243 2;
  • 89) 0,595 267 047 166 630 376 243 2 × 2 = 1 + 0,190 534 094 333 260 752 486 4;
  • 90) 0,190 534 094 333 260 752 486 4 × 2 = 0 + 0,381 068 188 666 521 504 972 8;
  • 91) 0,381 068 188 666 521 504 972 8 × 2 = 0 + 0,762 136 377 333 043 009 945 6;
  • 92) 0,762 136 377 333 043 009 945 6 × 2 = 1 + 0,524 272 754 666 086 019 891 2;
  • 93) 0,524 272 754 666 086 019 891 2 × 2 = 1 + 0,048 545 509 332 172 039 782 4;
  • 94) 0,048 545 509 332 172 039 782 4 × 2 = 0 + 0,097 091 018 664 344 079 564 8;
  • 95) 0,097 091 018 664 344 079 564 8 × 2 = 0 + 0,194 182 037 328 688 159 129 6;
  • 96) 0,194 182 037 328 688 159 129 6 × 2 = 0 + 0,388 364 074 657 376 318 259 2;
  • 97) 0,388 364 074 657 376 318 259 2 × 2 = 0 + 0,776 728 149 314 752 636 518 4;
  • 98) 0,776 728 149 314 752 636 518 4 × 2 = 1 + 0,553 456 298 629 505 273 036 8;
  • 99) 0,553 456 298 629 505 273 036 8 × 2 = 1 + 0,106 912 597 259 010 546 073 6;
  • 100) 0,106 912 597 259 010 546 073 6 × 2 = 0 + 0,213 825 194 518 021 092 147 2;
  • 101) 0,213 825 194 518 021 092 147 2 × 2 = 0 + 0,427 650 389 036 042 184 294 4;
  • 102) 0,427 650 389 036 042 184 294 4 × 2 = 0 + 0,855 300 778 072 084 368 588 8;
  • 103) 0,855 300 778 072 084 368 588 8 × 2 = 1 + 0,710 601 556 144 168 737 177 6;
  • 104) 0,710 601 556 144 168 737 177 6 × 2 = 1 + 0,421 203 112 288 337 474 355 2;
  • 105) 0,421 203 112 288 337 474 355 2 × 2 = 0 + 0,842 406 224 576 674 948 710 4;
  • 106) 0,842 406 224 576 674 948 710 4 × 2 = 1 + 0,684 812 449 153 349 897 420 8;
  • 107) 0,684 812 449 153 349 897 420 8 × 2 = 1 + 0,369 624 898 306 699 794 841 6;
  • 108) 0,369 624 898 306 699 794 841 6 × 2 = 0 + 0,739 249 796 613 399 589 683 2;
  • 109) 0,739 249 796 613 399 589 683 2 × 2 = 1 + 0,478 499 593 226 799 179 366 4;
  • 110) 0,478 499 593 226 799 179 366 4 × 2 = 0 + 0,956 999 186 453 598 358 732 8;
  • 111) 0,956 999 186 453 598 358 732 8 × 2 = 1 + 0,913 998 372 907 196 717 465 6;
  • 112) 0,913 998 372 907 196 717 465 6 × 2 = 1 + 0,827 996 745 814 393 434 931 2;
  • 113) 0,827 996 745 814 393 434 931 2 × 2 = 1 + 0,655 993 491 628 786 869 862 4;
  • 114) 0,655 993 491 628 786 869 862 4 × 2 = 1 + 0,311 986 983 257 573 739 724 8;
  • 115) 0,311 986 983 257 573 739 724 8 × 2 = 0 + 0,623 973 966 515 147 479 449 6;
  • 116) 0,623 973 966 515 147 479 449 6 × 2 = 1 + 0,247 947 933 030 294 958 899 2;
  • 117) 0,247 947 933 030 294 958 899 2 × 2 = 0 + 0,495 895 866 060 589 917 798 4;
  • 118) 0,495 895 866 060 589 917 798 4 × 2 = 0 + 0,991 791 732 121 179 835 596 8;
  • 119) 0,991 791 732 121 179 835 596 8 × 2 = 1 + 0,983 583 464 242 359 671 193 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 009 7(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1101 1100 1110 1001 0100 1001 1000 0110 0011 0110 1011 1101 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 009 7(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1101 1100 1110 1001 0100 1001 1000 0110 0011 0110 1011 1101 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 009 7(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1101 1100 1110 1001 0100 1001 1000 0110 0011 0110 1011 1101 001(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1101 1100 1110 1001 0100 1001 1000 0110 0011 0110 1011 1101 001(2) × 20 =

1,0110 1110 0111 0100 1010 0100 1100 0011 0001 1011 0101 1110 1001(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 1110 0111 0100 1010 0100 1100 0011 0001 1011 0101 1110 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 1110 0111 0100 1010 0100 1100 0011 0001 1011 0101 1110 1001 =

0110 1110 0111 0100 1010 0100 1100 0011 0001 1011 0101 1110 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0110 1110 0111 0100 1010 0100 1100 0011 0001 1011 0101 1110 1001


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 009 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0110 1110 0111 0100 1010 0100 1100 0011 0001 1011 0101 1110 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 007 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100