0,000 000 000 000 000 000 009 89 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 009 89(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 009 89(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 009 89.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 009 89 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 019 78;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 019 78 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 039 56;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 039 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 079 12;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 079 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 158 24;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 158 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 316 48;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 316 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 632 96;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 632 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 265 92;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 265 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 531 84;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 531 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 005 063 68;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 005 063 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 010 127 36;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 010 127 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 020 254 72;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 020 254 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 040 509 44;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 040 509 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 081 018 88;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 081 018 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 162 037 76;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 162 037 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 324 075 52;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 324 075 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 648 151 04;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 648 151 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 296 302 08;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 296 302 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 592 604 16;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 592 604 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 005 185 208 32;
  • 20) 0,000 000 000 000 005 185 208 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 010 370 416 64;
  • 21) 0,000 000 000 000 010 370 416 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 020 740 833 28;
  • 22) 0,000 000 000 000 020 740 833 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 041 481 666 56;
  • 23) 0,000 000 000 000 041 481 666 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 082 963 333 12;
  • 24) 0,000 000 000 000 082 963 333 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 165 926 666 24;
  • 25) 0,000 000 000 000 165 926 666 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 331 853 332 48;
  • 26) 0,000 000 000 000 331 853 332 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 663 706 664 96;
  • 27) 0,000 000 000 000 663 706 664 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 327 413 329 92;
  • 28) 0,000 000 000 001 327 413 329 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 654 826 659 84;
  • 29) 0,000 000 000 002 654 826 659 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 005 309 653 319 68;
  • 30) 0,000 000 000 005 309 653 319 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 010 619 306 639 36;
  • 31) 0,000 000 000 010 619 306 639 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 021 238 613 278 72;
  • 32) 0,000 000 000 021 238 613 278 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 042 477 226 557 44;
  • 33) 0,000 000 000 042 477 226 557 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 084 954 453 114 88;
  • 34) 0,000 000 000 084 954 453 114 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 169 908 906 229 76;
  • 35) 0,000 000 000 169 908 906 229 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 339 817 812 459 52;
  • 36) 0,000 000 000 339 817 812 459 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 679 635 624 919 04;
  • 37) 0,000 000 000 679 635 624 919 04 × 2 = 0 + 0,000 000 001 359 271 249 838 08;
  • 38) 0,000 000 001 359 271 249 838 08 × 2 = 0 + 0,000 000 002 718 542 499 676 16;
  • 39) 0,000 000 002 718 542 499 676 16 × 2 = 0 + 0,000 000 005 437 084 999 352 32;
  • 40) 0,000 000 005 437 084 999 352 32 × 2 = 0 + 0,000 000 010 874 169 998 704 64;
  • 41) 0,000 000 010 874 169 998 704 64 × 2 = 0 + 0,000 000 021 748 339 997 409 28;
  • 42) 0,000 000 021 748 339 997 409 28 × 2 = 0 + 0,000 000 043 496 679 994 818 56;
  • 43) 0,000 000 043 496 679 994 818 56 × 2 = 0 + 0,000 000 086 993 359 989 637 12;
  • 44) 0,000 000 086 993 359 989 637 12 × 2 = 0 + 0,000 000 173 986 719 979 274 24;
  • 45) 0,000 000 173 986 719 979 274 24 × 2 = 0 + 0,000 000 347 973 439 958 548 48;
  • 46) 0,000 000 347 973 439 958 548 48 × 2 = 0 + 0,000 000 695 946 879 917 096 96;
  • 47) 0,000 000 695 946 879 917 096 96 × 2 = 0 + 0,000 001 391 893 759 834 193 92;
  • 48) 0,000 001 391 893 759 834 193 92 × 2 = 0 + 0,000 002 783 787 519 668 387 84;
  • 49) 0,000 002 783 787 519 668 387 84 × 2 = 0 + 0,000 005 567 575 039 336 775 68;
  • 50) 0,000 005 567 575 039 336 775 68 × 2 = 0 + 0,000 011 135 150 078 673 551 36;
  • 51) 0,000 011 135 150 078 673 551 36 × 2 = 0 + 0,000 022 270 300 157 347 102 72;
  • 52) 0,000 022 270 300 157 347 102 72 × 2 = 0 + 0,000 044 540 600 314 694 205 44;
  • 53) 0,000 044 540 600 314 694 205 44 × 2 = 0 + 0,000 089 081 200 629 388 410 88;
  • 54) 0,000 089 081 200 629 388 410 88 × 2 = 0 + 0,000 178 162 401 258 776 821 76;
  • 55) 0,000 178 162 401 258 776 821 76 × 2 = 0 + 0,000 356 324 802 517 553 643 52;
  • 56) 0,000 356 324 802 517 553 643 52 × 2 = 0 + 0,000 712 649 605 035 107 287 04;
  • 57) 0,000 712 649 605 035 107 287 04 × 2 = 0 + 0,001 425 299 210 070 214 574 08;
  • 58) 0,001 425 299 210 070 214 574 08 × 2 = 0 + 0,002 850 598 420 140 429 148 16;
  • 59) 0,002 850 598 420 140 429 148 16 × 2 = 0 + 0,005 701 196 840 280 858 296 32;
  • 60) 0,005 701 196 840 280 858 296 32 × 2 = 0 + 0,011 402 393 680 561 716 592 64;
  • 61) 0,011 402 393 680 561 716 592 64 × 2 = 0 + 0,022 804 787 361 123 433 185 28;
  • 62) 0,022 804 787 361 123 433 185 28 × 2 = 0 + 0,045 609 574 722 246 866 370 56;
  • 63) 0,045 609 574 722 246 866 370 56 × 2 = 0 + 0,091 219 149 444 493 732 741 12;
  • 64) 0,091 219 149 444 493 732 741 12 × 2 = 0 + 0,182 438 298 888 987 465 482 24;
  • 65) 0,182 438 298 888 987 465 482 24 × 2 = 0 + 0,364 876 597 777 974 930 964 48;
  • 66) 0,364 876 597 777 974 930 964 48 × 2 = 0 + 0,729 753 195 555 949 861 928 96;
  • 67) 0,729 753 195 555 949 861 928 96 × 2 = 1 + 0,459 506 391 111 899 723 857 92;
  • 68) 0,459 506 391 111 899 723 857 92 × 2 = 0 + 0,919 012 782 223 799 447 715 84;
  • 69) 0,919 012 782 223 799 447 715 84 × 2 = 1 + 0,838 025 564 447 598 895 431 68;
  • 70) 0,838 025 564 447 598 895 431 68 × 2 = 1 + 0,676 051 128 895 197 790 863 36;
  • 71) 0,676 051 128 895 197 790 863 36 × 2 = 1 + 0,352 102 257 790 395 581 726 72;
  • 72) 0,352 102 257 790 395 581 726 72 × 2 = 0 + 0,704 204 515 580 791 163 453 44;
  • 73) 0,704 204 515 580 791 163 453 44 × 2 = 1 + 0,408 409 031 161 582 326 906 88;
  • 74) 0,408 409 031 161 582 326 906 88 × 2 = 0 + 0,816 818 062 323 164 653 813 76;
  • 75) 0,816 818 062 323 164 653 813 76 × 2 = 1 + 0,633 636 124 646 329 307 627 52;
  • 76) 0,633 636 124 646 329 307 627 52 × 2 = 1 + 0,267 272 249 292 658 615 255 04;
  • 77) 0,267 272 249 292 658 615 255 04 × 2 = 0 + 0,534 544 498 585 317 230 510 08;
  • 78) 0,534 544 498 585 317 230 510 08 × 2 = 1 + 0,069 088 997 170 634 461 020 16;
  • 79) 0,069 088 997 170 634 461 020 16 × 2 = 0 + 0,138 177 994 341 268 922 040 32;
  • 80) 0,138 177 994 341 268 922 040 32 × 2 = 0 + 0,276 355 988 682 537 844 080 64;
  • 81) 0,276 355 988 682 537 844 080 64 × 2 = 0 + 0,552 711 977 365 075 688 161 28;
  • 82) 0,552 711 977 365 075 688 161 28 × 2 = 1 + 0,105 423 954 730 151 376 322 56;
  • 83) 0,105 423 954 730 151 376 322 56 × 2 = 0 + 0,210 847 909 460 302 752 645 12;
  • 84) 0,210 847 909 460 302 752 645 12 × 2 = 0 + 0,421 695 818 920 605 505 290 24;
  • 85) 0,421 695 818 920 605 505 290 24 × 2 = 0 + 0,843 391 637 841 211 010 580 48;
  • 86) 0,843 391 637 841 211 010 580 48 × 2 = 1 + 0,686 783 275 682 422 021 160 96;
  • 87) 0,686 783 275 682 422 021 160 96 × 2 = 1 + 0,373 566 551 364 844 042 321 92;
  • 88) 0,373 566 551 364 844 042 321 92 × 2 = 0 + 0,747 133 102 729 688 084 643 84;
  • 89) 0,747 133 102 729 688 084 643 84 × 2 = 1 + 0,494 266 205 459 376 169 287 68;
  • 90) 0,494 266 205 459 376 169 287 68 × 2 = 0 + 0,988 532 410 918 752 338 575 36;
  • 91) 0,988 532 410 918 752 338 575 36 × 2 = 1 + 0,977 064 821 837 504 677 150 72;
  • 92) 0,977 064 821 837 504 677 150 72 × 2 = 1 + 0,954 129 643 675 009 354 301 44;
  • 93) 0,954 129 643 675 009 354 301 44 × 2 = 1 + 0,908 259 287 350 018 708 602 88;
  • 94) 0,908 259 287 350 018 708 602 88 × 2 = 1 + 0,816 518 574 700 037 417 205 76;
  • 95) 0,816 518 574 700 037 417 205 76 × 2 = 1 + 0,633 037 149 400 074 834 411 52;
  • 96) 0,633 037 149 400 074 834 411 52 × 2 = 1 + 0,266 074 298 800 149 668 823 04;
  • 97) 0,266 074 298 800 149 668 823 04 × 2 = 0 + 0,532 148 597 600 299 337 646 08;
  • 98) 0,532 148 597 600 299 337 646 08 × 2 = 1 + 0,064 297 195 200 598 675 292 16;
  • 99) 0,064 297 195 200 598 675 292 16 × 2 = 0 + 0,128 594 390 401 197 350 584 32;
  • 100) 0,128 594 390 401 197 350 584 32 × 2 = 0 + 0,257 188 780 802 394 701 168 64;
  • 101) 0,257 188 780 802 394 701 168 64 × 2 = 0 + 0,514 377 561 604 789 402 337 28;
  • 102) 0,514 377 561 604 789 402 337 28 × 2 = 1 + 0,028 755 123 209 578 804 674 56;
  • 103) 0,028 755 123 209 578 804 674 56 × 2 = 0 + 0,057 510 246 419 157 609 349 12;
  • 104) 0,057 510 246 419 157 609 349 12 × 2 = 0 + 0,115 020 492 838 315 218 698 24;
  • 105) 0,115 020 492 838 315 218 698 24 × 2 = 0 + 0,230 040 985 676 630 437 396 48;
  • 106) 0,230 040 985 676 630 437 396 48 × 2 = 0 + 0,460 081 971 353 260 874 792 96;
  • 107) 0,460 081 971 353 260 874 792 96 × 2 = 0 + 0,920 163 942 706 521 749 585 92;
  • 108) 0,920 163 942 706 521 749 585 92 × 2 = 1 + 0,840 327 885 413 043 499 171 84;
  • 109) 0,840 327 885 413 043 499 171 84 × 2 = 1 + 0,680 655 770 826 086 998 343 68;
  • 110) 0,680 655 770 826 086 998 343 68 × 2 = 1 + 0,361 311 541 652 173 996 687 36;
  • 111) 0,361 311 541 652 173 996 687 36 × 2 = 0 + 0,722 623 083 304 347 993 374 72;
  • 112) 0,722 623 083 304 347 993 374 72 × 2 = 1 + 0,445 246 166 608 695 986 749 44;
  • 113) 0,445 246 166 608 695 986 749 44 × 2 = 0 + 0,890 492 333 217 391 973 498 88;
  • 114) 0,890 492 333 217 391 973 498 88 × 2 = 1 + 0,780 984 666 434 783 946 997 76;
  • 115) 0,780 984 666 434 783 946 997 76 × 2 = 1 + 0,561 969 332 869 567 893 995 52;
  • 116) 0,561 969 332 869 567 893 995 52 × 2 = 1 + 0,123 938 665 739 135 787 991 04;
  • 117) 0,123 938 665 739 135 787 991 04 × 2 = 0 + 0,247 877 331 478 271 575 982 08;
  • 118) 0,247 877 331 478 271 575 982 08 × 2 = 0 + 0,495 754 662 956 543 151 964 16;
  • 119) 0,495 754 662 956 543 151 964 16 × 2 = 0 + 0,991 509 325 913 086 303 928 32;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 009 89(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1110 1011 0100 0100 0110 1011 1111 0100 0100 0001 1101 0111 000(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 009 89(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1110 1011 0100 0100 0110 1011 1111 0100 0100 0001 1101 0111 000(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 009 89(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1110 1011 0100 0100 0110 1011 1111 0100 0100 0001 1101 0111 000(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1110 1011 0100 0100 0110 1011 1111 0100 0100 0001 1101 0111 000(2) × 20 =

1,0111 0101 1010 0010 0011 0101 1111 1010 0010 0000 1110 1011 1000(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 0101 1010 0010 0011 0101 1111 1010 0010 0000 1110 1011 1000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 0101 1010 0010 0011 0101 1111 1010 0010 0000 1110 1011 1000 =

0111 0101 1010 0010 0011 0101 1111 1010 0010 0000 1110 1011 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0111 0101 1010 0010 0011 0101 1111 1010 0010 0000 1110 1011 1000


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 009 89 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0111 0101 1010 0010 0011 0101 1111 1010 0010 0000 1110 1011 1000

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 010 06 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100