0,000 000 000 000 000 013 248 731 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 013 248 731 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 013 248 731 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 013 248 731 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 013 248 731 3 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 026 497 462 6;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 026 497 462 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 052 994 925 2;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 052 994 925 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 105 989 850 4;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 105 989 850 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 211 979 700 8;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 211 979 700 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 423 959 401 6;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 423 959 401 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 847 918 803 2;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 847 918 803 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 695 837 606 4;
  • 8) 0,000 000 000 000 001 695 837 606 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 003 391 675 212 8;
  • 9) 0,000 000 000 000 003 391 675 212 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 006 783 350 425 6;
  • 10) 0,000 000 000 000 006 783 350 425 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 013 566 700 851 2;
  • 11) 0,000 000 000 000 013 566 700 851 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 027 133 401 702 4;
  • 12) 0,000 000 000 000 027 133 401 702 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 054 266 803 404 8;
  • 13) 0,000 000 000 000 054 266 803 404 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 108 533 606 809 6;
  • 14) 0,000 000 000 000 108 533 606 809 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 217 067 213 619 2;
  • 15) 0,000 000 000 000 217 067 213 619 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 434 134 427 238 4;
  • 16) 0,000 000 000 000 434 134 427 238 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 868 268 854 476 8;
  • 17) 0,000 000 000 000 868 268 854 476 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 736 537 708 953 6;
  • 18) 0,000 000 000 001 736 537 708 953 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 003 473 075 417 907 2;
  • 19) 0,000 000 000 003 473 075 417 907 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 006 946 150 835 814 4;
  • 20) 0,000 000 000 006 946 150 835 814 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 013 892 301 671 628 8;
  • 21) 0,000 000 000 013 892 301 671 628 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 027 784 603 343 257 6;
  • 22) 0,000 000 000 027 784 603 343 257 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 055 569 206 686 515 2;
  • 23) 0,000 000 000 055 569 206 686 515 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 111 138 413 373 030 4;
  • 24) 0,000 000 000 111 138 413 373 030 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 222 276 826 746 060 8;
  • 25) 0,000 000 000 222 276 826 746 060 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 444 553 653 492 121 6;
  • 26) 0,000 000 000 444 553 653 492 121 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 889 107 306 984 243 2;
  • 27) 0,000 000 000 889 107 306 984 243 2 × 2 = 0 + 0,000 000 001 778 214 613 968 486 4;
  • 28) 0,000 000 001 778 214 613 968 486 4 × 2 = 0 + 0,000 000 003 556 429 227 936 972 8;
  • 29) 0,000 000 003 556 429 227 936 972 8 × 2 = 0 + 0,000 000 007 112 858 455 873 945 6;
  • 30) 0,000 000 007 112 858 455 873 945 6 × 2 = 0 + 0,000 000 014 225 716 911 747 891 2;
  • 31) 0,000 000 014 225 716 911 747 891 2 × 2 = 0 + 0,000 000 028 451 433 823 495 782 4;
  • 32) 0,000 000 028 451 433 823 495 782 4 × 2 = 0 + 0,000 000 056 902 867 646 991 564 8;
  • 33) 0,000 000 056 902 867 646 991 564 8 × 2 = 0 + 0,000 000 113 805 735 293 983 129 6;
  • 34) 0,000 000 113 805 735 293 983 129 6 × 2 = 0 + 0,000 000 227 611 470 587 966 259 2;
  • 35) 0,000 000 227 611 470 587 966 259 2 × 2 = 0 + 0,000 000 455 222 941 175 932 518 4;
  • 36) 0,000 000 455 222 941 175 932 518 4 × 2 = 0 + 0,000 000 910 445 882 351 865 036 8;
  • 37) 0,000 000 910 445 882 351 865 036 8 × 2 = 0 + 0,000 001 820 891 764 703 730 073 6;
  • 38) 0,000 001 820 891 764 703 730 073 6 × 2 = 0 + 0,000 003 641 783 529 407 460 147 2;
  • 39) 0,000 003 641 783 529 407 460 147 2 × 2 = 0 + 0,000 007 283 567 058 814 920 294 4;
  • 40) 0,000 007 283 567 058 814 920 294 4 × 2 = 0 + 0,000 014 567 134 117 629 840 588 8;
  • 41) 0,000 014 567 134 117 629 840 588 8 × 2 = 0 + 0,000 029 134 268 235 259 681 177 6;
  • 42) 0,000 029 134 268 235 259 681 177 6 × 2 = 0 + 0,000 058 268 536 470 519 362 355 2;
  • 43) 0,000 058 268 536 470 519 362 355 2 × 2 = 0 + 0,000 116 537 072 941 038 724 710 4;
  • 44) 0,000 116 537 072 941 038 724 710 4 × 2 = 0 + 0,000 233 074 145 882 077 449 420 8;
  • 45) 0,000 233 074 145 882 077 449 420 8 × 2 = 0 + 0,000 466 148 291 764 154 898 841 6;
  • 46) 0,000 466 148 291 764 154 898 841 6 × 2 = 0 + 0,000 932 296 583 528 309 797 683 2;
  • 47) 0,000 932 296 583 528 309 797 683 2 × 2 = 0 + 0,001 864 593 167 056 619 595 366 4;
  • 48) 0,001 864 593 167 056 619 595 366 4 × 2 = 0 + 0,003 729 186 334 113 239 190 732 8;
  • 49) 0,003 729 186 334 113 239 190 732 8 × 2 = 0 + 0,007 458 372 668 226 478 381 465 6;
  • 50) 0,007 458 372 668 226 478 381 465 6 × 2 = 0 + 0,014 916 745 336 452 956 762 931 2;
  • 51) 0,014 916 745 336 452 956 762 931 2 × 2 = 0 + 0,029 833 490 672 905 913 525 862 4;
  • 52) 0,029 833 490 672 905 913 525 862 4 × 2 = 0 + 0,059 666 981 345 811 827 051 724 8;
  • 53) 0,059 666 981 345 811 827 051 724 8 × 2 = 0 + 0,119 333 962 691 623 654 103 449 6;
  • 54) 0,119 333 962 691 623 654 103 449 6 × 2 = 0 + 0,238 667 925 383 247 308 206 899 2;
  • 55) 0,238 667 925 383 247 308 206 899 2 × 2 = 0 + 0,477 335 850 766 494 616 413 798 4;
  • 56) 0,477 335 850 766 494 616 413 798 4 × 2 = 0 + 0,954 671 701 532 989 232 827 596 8;
  • 57) 0,954 671 701 532 989 232 827 596 8 × 2 = 1 + 0,909 343 403 065 978 465 655 193 6;
  • 58) 0,909 343 403 065 978 465 655 193 6 × 2 = 1 + 0,818 686 806 131 956 931 310 387 2;
  • 59) 0,818 686 806 131 956 931 310 387 2 × 2 = 1 + 0,637 373 612 263 913 862 620 774 4;
  • 60) 0,637 373 612 263 913 862 620 774 4 × 2 = 1 + 0,274 747 224 527 827 725 241 548 8;
  • 61) 0,274 747 224 527 827 725 241 548 8 × 2 = 0 + 0,549 494 449 055 655 450 483 097 6;
  • 62) 0,549 494 449 055 655 450 483 097 6 × 2 = 1 + 0,098 988 898 111 310 900 966 195 2;
  • 63) 0,098 988 898 111 310 900 966 195 2 × 2 = 0 + 0,197 977 796 222 621 801 932 390 4;
  • 64) 0,197 977 796 222 621 801 932 390 4 × 2 = 0 + 0,395 955 592 445 243 603 864 780 8;
  • 65) 0,395 955 592 445 243 603 864 780 8 × 2 = 0 + 0,791 911 184 890 487 207 729 561 6;
  • 66) 0,791 911 184 890 487 207 729 561 6 × 2 = 1 + 0,583 822 369 780 974 415 459 123 2;
  • 67) 0,583 822 369 780 974 415 459 123 2 × 2 = 1 + 0,167 644 739 561 948 830 918 246 4;
  • 68) 0,167 644 739 561 948 830 918 246 4 × 2 = 0 + 0,335 289 479 123 897 661 836 492 8;
  • 69) 0,335 289 479 123 897 661 836 492 8 × 2 = 0 + 0,670 578 958 247 795 323 672 985 6;
  • 70) 0,670 578 958 247 795 323 672 985 6 × 2 = 1 + 0,341 157 916 495 590 647 345 971 2;
  • 71) 0,341 157 916 495 590 647 345 971 2 × 2 = 0 + 0,682 315 832 991 181 294 691 942 4;
  • 72) 0,682 315 832 991 181 294 691 942 4 × 2 = 1 + 0,364 631 665 982 362 589 383 884 8;
  • 73) 0,364 631 665 982 362 589 383 884 8 × 2 = 0 + 0,729 263 331 964 725 178 767 769 6;
  • 74) 0,729 263 331 964 725 178 767 769 6 × 2 = 1 + 0,458 526 663 929 450 357 535 539 2;
  • 75) 0,458 526 663 929 450 357 535 539 2 × 2 = 0 + 0,917 053 327 858 900 715 071 078 4;
  • 76) 0,917 053 327 858 900 715 071 078 4 × 2 = 1 + 0,834 106 655 717 801 430 142 156 8;
  • 77) 0,834 106 655 717 801 430 142 156 8 × 2 = 1 + 0,668 213 311 435 602 860 284 313 6;
  • 78) 0,668 213 311 435 602 860 284 313 6 × 2 = 1 + 0,336 426 622 871 205 720 568 627 2;
  • 79) 0,336 426 622 871 205 720 568 627 2 × 2 = 0 + 0,672 853 245 742 411 441 137 254 4;
  • 80) 0,672 853 245 742 411 441 137 254 4 × 2 = 1 + 0,345 706 491 484 822 882 274 508 8;
  • 81) 0,345 706 491 484 822 882 274 508 8 × 2 = 0 + 0,691 412 982 969 645 764 549 017 6;
  • 82) 0,691 412 982 969 645 764 549 017 6 × 2 = 1 + 0,382 825 965 939 291 529 098 035 2;
  • 83) 0,382 825 965 939 291 529 098 035 2 × 2 = 0 + 0,765 651 931 878 583 058 196 070 4;
  • 84) 0,765 651 931 878 583 058 196 070 4 × 2 = 1 + 0,531 303 863 757 166 116 392 140 8;
  • 85) 0,531 303 863 757 166 116 392 140 8 × 2 = 1 + 0,062 607 727 514 332 232 784 281 6;
  • 86) 0,062 607 727 514 332 232 784 281 6 × 2 = 0 + 0,125 215 455 028 664 465 568 563 2;
  • 87) 0,125 215 455 028 664 465 568 563 2 × 2 = 0 + 0,250 430 910 057 328 931 137 126 4;
  • 88) 0,250 430 910 057 328 931 137 126 4 × 2 = 0 + 0,500 861 820 114 657 862 274 252 8;
  • 89) 0,500 861 820 114 657 862 274 252 8 × 2 = 1 + 0,001 723 640 229 315 724 548 505 6;
  • 90) 0,001 723 640 229 315 724 548 505 6 × 2 = 0 + 0,003 447 280 458 631 449 097 011 2;
  • 91) 0,003 447 280 458 631 449 097 011 2 × 2 = 0 + 0,006 894 560 917 262 898 194 022 4;
  • 92) 0,006 894 560 917 262 898 194 022 4 × 2 = 0 + 0,013 789 121 834 525 796 388 044 8;
  • 93) 0,013 789 121 834 525 796 388 044 8 × 2 = 0 + 0,027 578 243 669 051 592 776 089 6;
  • 94) 0,027 578 243 669 051 592 776 089 6 × 2 = 0 + 0,055 156 487 338 103 185 552 179 2;
  • 95) 0,055 156 487 338 103 185 552 179 2 × 2 = 0 + 0,110 312 974 676 206 371 104 358 4;
  • 96) 0,110 312 974 676 206 371 104 358 4 × 2 = 0 + 0,220 625 949 352 412 742 208 716 8;
  • 97) 0,220 625 949 352 412 742 208 716 8 × 2 = 0 + 0,441 251 898 704 825 484 417 433 6;
  • 98) 0,441 251 898 704 825 484 417 433 6 × 2 = 0 + 0,882 503 797 409 650 968 834 867 2;
  • 99) 0,882 503 797 409 650 968 834 867 2 × 2 = 1 + 0,765 007 594 819 301 937 669 734 4;
  • 100) 0,765 007 594 819 301 937 669 734 4 × 2 = 1 + 0,530 015 189 638 603 875 339 468 8;
  • 101) 0,530 015 189 638 603 875 339 468 8 × 2 = 1 + 0,060 030 379 277 207 750 678 937 6;
  • 102) 0,060 030 379 277 207 750 678 937 6 × 2 = 0 + 0,120 060 758 554 415 501 357 875 2;
  • 103) 0,120 060 758 554 415 501 357 875 2 × 2 = 0 + 0,240 121 517 108 831 002 715 750 4;
  • 104) 0,240 121 517 108 831 002 715 750 4 × 2 = 0 + 0,480 243 034 217 662 005 431 500 8;
  • 105) 0,480 243 034 217 662 005 431 500 8 × 2 = 0 + 0,960 486 068 435 324 010 863 001 6;
  • 106) 0,960 486 068 435 324 010 863 001 6 × 2 = 1 + 0,920 972 136 870 648 021 726 003 2;
  • 107) 0,920 972 136 870 648 021 726 003 2 × 2 = 1 + 0,841 944 273 741 296 043 452 006 4;
  • 108) 0,841 944 273 741 296 043 452 006 4 × 2 = 1 + 0,683 888 547 482 592 086 904 012 8;
  • 109) 0,683 888 547 482 592 086 904 012 8 × 2 = 1 + 0,367 777 094 965 184 173 808 025 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 013 248 731 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 0100 0110 0101 0101 1101 0101 1000 1000 0000 0011 1000 0111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 013 248 731 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 0100 0110 0101 0101 1101 0101 1000 1000 0000 0011 1000 0111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 57 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 013 248 731 3(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 0100 0110 0101 0101 1101 0101 1000 1000 0000 0011 1000 0111 1(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 0100 0110 0101 0101 1101 0101 1000 1000 0000 0011 1000 0111 1(2) × 20 =

1,1110 1000 1100 1010 1011 1010 1011 0001 0000 0000 0111 0000 1111(2) × 2-57


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -57

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 1000 1100 1010 1011 1010 1011 0001 0000 0000 0111 0000 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-57 + 2(11-1) - 1 =

(-57 + 1 023)(10) =

966(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 966 : 2 = 483 + 0;
  • 483 : 2 = 241 + 1;
  • 241 : 2 = 120 + 1;
  • 120 : 2 = 60 + 0;
  • 60 : 2 = 30 + 0;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

966(10) =

011 1100 0110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 1000 1100 1010 1011 1010 1011 0001 0000 0000 0111 0000 1111 =

1110 1000 1100 1010 1011 1010 1011 0001 0000 0000 0111 0000 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1100 0110

Mantisă (52 biți) =
1110 1000 1100 1010 1011 1010 1011 0001 0000 0000 0111 0000 1111


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 013 248 731 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1100 0110 - 1110 1000 1100 1010 1011 1010 1011 0001 0000 0000 0111 0000 1111

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 013 248 739 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100