0,000 000 000 000 000 013 248 735 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 013 248 735 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 013 248 735 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 013 248 735 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 013 248 735 9 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 026 497 471 8;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 026 497 471 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 052 994 943 6;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 052 994 943 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 105 989 887 2;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 105 989 887 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 211 979 774 4;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 211 979 774 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 423 959 548 8;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 423 959 548 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 847 919 097 6;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 847 919 097 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 695 838 195 2;
  • 8) 0,000 000 000 000 001 695 838 195 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 003 391 676 390 4;
  • 9) 0,000 000 000 000 003 391 676 390 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 006 783 352 780 8;
  • 10) 0,000 000 000 000 006 783 352 780 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 013 566 705 561 6;
  • 11) 0,000 000 000 000 013 566 705 561 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 027 133 411 123 2;
  • 12) 0,000 000 000 000 027 133 411 123 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 054 266 822 246 4;
  • 13) 0,000 000 000 000 054 266 822 246 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 108 533 644 492 8;
  • 14) 0,000 000 000 000 108 533 644 492 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 217 067 288 985 6;
  • 15) 0,000 000 000 000 217 067 288 985 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 434 134 577 971 2;
  • 16) 0,000 000 000 000 434 134 577 971 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 868 269 155 942 4;
  • 17) 0,000 000 000 000 868 269 155 942 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 736 538 311 884 8;
  • 18) 0,000 000 000 001 736 538 311 884 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 003 473 076 623 769 6;
  • 19) 0,000 000 000 003 473 076 623 769 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 006 946 153 247 539 2;
  • 20) 0,000 000 000 006 946 153 247 539 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 013 892 306 495 078 4;
  • 21) 0,000 000 000 013 892 306 495 078 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 027 784 612 990 156 8;
  • 22) 0,000 000 000 027 784 612 990 156 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 055 569 225 980 313 6;
  • 23) 0,000 000 000 055 569 225 980 313 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 111 138 451 960 627 2;
  • 24) 0,000 000 000 111 138 451 960 627 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 222 276 903 921 254 4;
  • 25) 0,000 000 000 222 276 903 921 254 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 444 553 807 842 508 8;
  • 26) 0,000 000 000 444 553 807 842 508 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 889 107 615 685 017 6;
  • 27) 0,000 000 000 889 107 615 685 017 6 × 2 = 0 + 0,000 000 001 778 215 231 370 035 2;
  • 28) 0,000 000 001 778 215 231 370 035 2 × 2 = 0 + 0,000 000 003 556 430 462 740 070 4;
  • 29) 0,000 000 003 556 430 462 740 070 4 × 2 = 0 + 0,000 000 007 112 860 925 480 140 8;
  • 30) 0,000 000 007 112 860 925 480 140 8 × 2 = 0 + 0,000 000 014 225 721 850 960 281 6;
  • 31) 0,000 000 014 225 721 850 960 281 6 × 2 = 0 + 0,000 000 028 451 443 701 920 563 2;
  • 32) 0,000 000 028 451 443 701 920 563 2 × 2 = 0 + 0,000 000 056 902 887 403 841 126 4;
  • 33) 0,000 000 056 902 887 403 841 126 4 × 2 = 0 + 0,000 000 113 805 774 807 682 252 8;
  • 34) 0,000 000 113 805 774 807 682 252 8 × 2 = 0 + 0,000 000 227 611 549 615 364 505 6;
  • 35) 0,000 000 227 611 549 615 364 505 6 × 2 = 0 + 0,000 000 455 223 099 230 729 011 2;
  • 36) 0,000 000 455 223 099 230 729 011 2 × 2 = 0 + 0,000 000 910 446 198 461 458 022 4;
  • 37) 0,000 000 910 446 198 461 458 022 4 × 2 = 0 + 0,000 001 820 892 396 922 916 044 8;
  • 38) 0,000 001 820 892 396 922 916 044 8 × 2 = 0 + 0,000 003 641 784 793 845 832 089 6;
  • 39) 0,000 003 641 784 793 845 832 089 6 × 2 = 0 + 0,000 007 283 569 587 691 664 179 2;
  • 40) 0,000 007 283 569 587 691 664 179 2 × 2 = 0 + 0,000 014 567 139 175 383 328 358 4;
  • 41) 0,000 014 567 139 175 383 328 358 4 × 2 = 0 + 0,000 029 134 278 350 766 656 716 8;
  • 42) 0,000 029 134 278 350 766 656 716 8 × 2 = 0 + 0,000 058 268 556 701 533 313 433 6;
  • 43) 0,000 058 268 556 701 533 313 433 6 × 2 = 0 + 0,000 116 537 113 403 066 626 867 2;
  • 44) 0,000 116 537 113 403 066 626 867 2 × 2 = 0 + 0,000 233 074 226 806 133 253 734 4;
  • 45) 0,000 233 074 226 806 133 253 734 4 × 2 = 0 + 0,000 466 148 453 612 266 507 468 8;
  • 46) 0,000 466 148 453 612 266 507 468 8 × 2 = 0 + 0,000 932 296 907 224 533 014 937 6;
  • 47) 0,000 932 296 907 224 533 014 937 6 × 2 = 0 + 0,001 864 593 814 449 066 029 875 2;
  • 48) 0,001 864 593 814 449 066 029 875 2 × 2 = 0 + 0,003 729 187 628 898 132 059 750 4;
  • 49) 0,003 729 187 628 898 132 059 750 4 × 2 = 0 + 0,007 458 375 257 796 264 119 500 8;
  • 50) 0,007 458 375 257 796 264 119 500 8 × 2 = 0 + 0,014 916 750 515 592 528 239 001 6;
  • 51) 0,014 916 750 515 592 528 239 001 6 × 2 = 0 + 0,029 833 501 031 185 056 478 003 2;
  • 52) 0,029 833 501 031 185 056 478 003 2 × 2 = 0 + 0,059 667 002 062 370 112 956 006 4;
  • 53) 0,059 667 002 062 370 112 956 006 4 × 2 = 0 + 0,119 334 004 124 740 225 912 012 8;
  • 54) 0,119 334 004 124 740 225 912 012 8 × 2 = 0 + 0,238 668 008 249 480 451 824 025 6;
  • 55) 0,238 668 008 249 480 451 824 025 6 × 2 = 0 + 0,477 336 016 498 960 903 648 051 2;
  • 56) 0,477 336 016 498 960 903 648 051 2 × 2 = 0 + 0,954 672 032 997 921 807 296 102 4;
  • 57) 0,954 672 032 997 921 807 296 102 4 × 2 = 1 + 0,909 344 065 995 843 614 592 204 8;
  • 58) 0,909 344 065 995 843 614 592 204 8 × 2 = 1 + 0,818 688 131 991 687 229 184 409 6;
  • 59) 0,818 688 131 991 687 229 184 409 6 × 2 = 1 + 0,637 376 263 983 374 458 368 819 2;
  • 60) 0,637 376 263 983 374 458 368 819 2 × 2 = 1 + 0,274 752 527 966 748 916 737 638 4;
  • 61) 0,274 752 527 966 748 916 737 638 4 × 2 = 0 + 0,549 505 055 933 497 833 475 276 8;
  • 62) 0,549 505 055 933 497 833 475 276 8 × 2 = 1 + 0,099 010 111 866 995 666 950 553 6;
  • 63) 0,099 010 111 866 995 666 950 553 6 × 2 = 0 + 0,198 020 223 733 991 333 901 107 2;
  • 64) 0,198 020 223 733 991 333 901 107 2 × 2 = 0 + 0,396 040 447 467 982 667 802 214 4;
  • 65) 0,396 040 447 467 982 667 802 214 4 × 2 = 0 + 0,792 080 894 935 965 335 604 428 8;
  • 66) 0,792 080 894 935 965 335 604 428 8 × 2 = 1 + 0,584 161 789 871 930 671 208 857 6;
  • 67) 0,584 161 789 871 930 671 208 857 6 × 2 = 1 + 0,168 323 579 743 861 342 417 715 2;
  • 68) 0,168 323 579 743 861 342 417 715 2 × 2 = 0 + 0,336 647 159 487 722 684 835 430 4;
  • 69) 0,336 647 159 487 722 684 835 430 4 × 2 = 0 + 0,673 294 318 975 445 369 670 860 8;
  • 70) 0,673 294 318 975 445 369 670 860 8 × 2 = 1 + 0,346 588 637 950 890 739 341 721 6;
  • 71) 0,346 588 637 950 890 739 341 721 6 × 2 = 0 + 0,693 177 275 901 781 478 683 443 2;
  • 72) 0,693 177 275 901 781 478 683 443 2 × 2 = 1 + 0,386 354 551 803 562 957 366 886 4;
  • 73) 0,386 354 551 803 562 957 366 886 4 × 2 = 0 + 0,772 709 103 607 125 914 733 772 8;
  • 74) 0,772 709 103 607 125 914 733 772 8 × 2 = 1 + 0,545 418 207 214 251 829 467 545 6;
  • 75) 0,545 418 207 214 251 829 467 545 6 × 2 = 1 + 0,090 836 414 428 503 658 935 091 2;
  • 76) 0,090 836 414 428 503 658 935 091 2 × 2 = 0 + 0,181 672 828 857 007 317 870 182 4;
  • 77) 0,181 672 828 857 007 317 870 182 4 × 2 = 0 + 0,363 345 657 714 014 635 740 364 8;
  • 78) 0,363 345 657 714 014 635 740 364 8 × 2 = 0 + 0,726 691 315 428 029 271 480 729 6;
  • 79) 0,726 691 315 428 029 271 480 729 6 × 2 = 1 + 0,453 382 630 856 058 542 961 459 2;
  • 80) 0,453 382 630 856 058 542 961 459 2 × 2 = 0 + 0,906 765 261 712 117 085 922 918 4;
  • 81) 0,906 765 261 712 117 085 922 918 4 × 2 = 1 + 0,813 530 523 424 234 171 845 836 8;
  • 82) 0,813 530 523 424 234 171 845 836 8 × 2 = 1 + 0,627 061 046 848 468 343 691 673 6;
  • 83) 0,627 061 046 848 468 343 691 673 6 × 2 = 1 + 0,254 122 093 696 936 687 383 347 2;
  • 84) 0,254 122 093 696 936 687 383 347 2 × 2 = 0 + 0,508 244 187 393 873 374 766 694 4;
  • 85) 0,508 244 187 393 873 374 766 694 4 × 2 = 1 + 0,016 488 374 787 746 749 533 388 8;
  • 86) 0,016 488 374 787 746 749 533 388 8 × 2 = 0 + 0,032 976 749 575 493 499 066 777 6;
  • 87) 0,032 976 749 575 493 499 066 777 6 × 2 = 0 + 0,065 953 499 150 986 998 133 555 2;
  • 88) 0,065 953 499 150 986 998 133 555 2 × 2 = 0 + 0,131 906 998 301 973 996 267 110 4;
  • 89) 0,131 906 998 301 973 996 267 110 4 × 2 = 0 + 0,263 813 996 603 947 992 534 220 8;
  • 90) 0,263 813 996 603 947 992 534 220 8 × 2 = 0 + 0,527 627 993 207 895 985 068 441 6;
  • 91) 0,527 627 993 207 895 985 068 441 6 × 2 = 1 + 0,055 255 986 415 791 970 136 883 2;
  • 92) 0,055 255 986 415 791 970 136 883 2 × 2 = 0 + 0,110 511 972 831 583 940 273 766 4;
  • 93) 0,110 511 972 831 583 940 273 766 4 × 2 = 0 + 0,221 023 945 663 167 880 547 532 8;
  • 94) 0,221 023 945 663 167 880 547 532 8 × 2 = 0 + 0,442 047 891 326 335 761 095 065 6;
  • 95) 0,442 047 891 326 335 761 095 065 6 × 2 = 0 + 0,884 095 782 652 671 522 190 131 2;
  • 96) 0,884 095 782 652 671 522 190 131 2 × 2 = 1 + 0,768 191 565 305 343 044 380 262 4;
  • 97) 0,768 191 565 305 343 044 380 262 4 × 2 = 1 + 0,536 383 130 610 686 088 760 524 8;
  • 98) 0,536 383 130 610 686 088 760 524 8 × 2 = 1 + 0,072 766 261 221 372 177 521 049 6;
  • 99) 0,072 766 261 221 372 177 521 049 6 × 2 = 0 + 0,145 532 522 442 744 355 042 099 2;
  • 100) 0,145 532 522 442 744 355 042 099 2 × 2 = 0 + 0,291 065 044 885 488 710 084 198 4;
  • 101) 0,291 065 044 885 488 710 084 198 4 × 2 = 0 + 0,582 130 089 770 977 420 168 396 8;
  • 102) 0,582 130 089 770 977 420 168 396 8 × 2 = 1 + 0,164 260 179 541 954 840 336 793 6;
  • 103) 0,164 260 179 541 954 840 336 793 6 × 2 = 0 + 0,328 520 359 083 909 680 673 587 2;
  • 104) 0,328 520 359 083 909 680 673 587 2 × 2 = 0 + 0,657 040 718 167 819 361 347 174 4;
  • 105) 0,657 040 718 167 819 361 347 174 4 × 2 = 1 + 0,314 081 436 335 638 722 694 348 8;
  • 106) 0,314 081 436 335 638 722 694 348 8 × 2 = 0 + 0,628 162 872 671 277 445 388 697 6;
  • 107) 0,628 162 872 671 277 445 388 697 6 × 2 = 1 + 0,256 325 745 342 554 890 777 395 2;
  • 108) 0,256 325 745 342 554 890 777 395 2 × 2 = 0 + 0,512 651 490 685 109 781 554 790 4;
  • 109) 0,512 651 490 685 109 781 554 790 4 × 2 = 1 + 0,025 302 981 370 219 563 109 580 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 013 248 735 9(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 0100 0110 0101 0110 0010 1110 1000 0010 0001 1100 0100 1010 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 013 248 735 9(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 0100 0110 0101 0110 0010 1110 1000 0010 0001 1100 0100 1010 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 57 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 013 248 735 9(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 0100 0110 0101 0110 0010 1110 1000 0010 0001 1100 0100 1010 1(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 0100 0110 0101 0110 0010 1110 1000 0010 0001 1100 0100 1010 1(2) × 20 =

1,1110 1000 1100 1010 1100 0101 1101 0000 0100 0011 1000 1001 0101(2) × 2-57


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -57

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 1000 1100 1010 1100 0101 1101 0000 0100 0011 1000 1001 0101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-57 + 2(11-1) - 1 =

(-57 + 1 023)(10) =

966(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 966 : 2 = 483 + 0;
  • 483 : 2 = 241 + 1;
  • 241 : 2 = 120 + 1;
  • 120 : 2 = 60 + 0;
  • 60 : 2 = 30 + 0;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

966(10) =

011 1100 0110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 1000 1100 1010 1100 0101 1101 0000 0100 0011 1000 1001 0101 =

1110 1000 1100 1010 1100 0101 1101 0000 0100 0011 1000 1001 0101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1100 0110

Mantisă (52 biți) =
1110 1000 1100 1010 1100 0101 1101 0000 0100 0011 1000 1001 0101


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 013 248 735 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1100 0110 - 1110 1000 1100 1010 1100 0101 1101 0000 0100 0011 1000 1001 0101

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 013 248 731 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100